热力学与统计物理第六章部分习题解.doc

6.1 解. （1） 设归一化因子为c，则推得所以归一化概率分布函数为（2） 因为y为任意值，所以概率分布函数变为6.3证明：指定得某个粒子出现在中的概率为/V，因而指定的n个粒子出现在中的概率为其余的（Nn）个粒子不出现在中的概率为所以，指定的n个粒子出现在中，同时其余的（N-n）个粒子不出现在中的概率是又因为，本题只要求有n个粒子出现在中，所以这n个粒子的选取有种方法。所以，在体积中含有n个粒子的概率为6.4解 气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从波尔兹曼分布。与分布相应的气体的微观状态数为 （1）其对数为（见（6.31）式） （2） 在气体沿z方向作整体运动的情形下，则在z轴方向上动量不变，所以分布必须满足下述条件： （3）其中Pz是气体在z方向的总动量，Plz是处在能级l的分子所具有的z方向动量。气体分子的最概然分布是在限制条件（3）下，使为极大的分布。令各有的变化，将因有变化（见（6.32）式），限制条件（3）要求用拉氏因子，乘这三个式子并从中减去，得用拉氏乘子法原理，每个的系数都等于零，所以有，或 （4）可以将（4）式改写为动量的连续分布：在体积V内，在动量Px到PxdPx，Py到PydPy，Pz到PzdPz内的分子数为（参见课本第132页）或其中，6.6当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N1，总能量为E，体积为V，两种粒子的分布和必须满足条件 （1）才有可能实现平衡。 在粒子可以分辨，且处于一个量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布和满足Blotzmann分布，那么各自的微观状态数为 （2）系统的微观状态数为 （3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下，使或为极大的分布。利用string公式，由（3）可得（见（6.31）式），为求使为极大的分布，令 和 各有 和 的变化，将因而有的变化。使为极大的分布和 必使，即但这些和 不完全是独立的，它们必须满足条件用拉氏乘子分别乘这三个式子并从中减去，得根据拉氏乘子法原理，每个和 得系数都等于零，所以得，即拉氏因子由条件（1）确定。6.7（1）由提示知，在晶体中形成n个缺位和n个填隙原子时，可能得微观状态数为所以其熵S为（2）假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为T时平衡态的自由能为极小要求由自由能F及熵S的公式，可得或表示为当时，上式可以近似为6.10解（1） 因为有 （） 又考虑到式（6.83）和（6.82），有 和所以（2）根据，将上述代入（6.78）式，则麦克斯韦速率分布率化为如下形式可以求得所以 6.12解根据波尔兹曼分布的经典表示（见（6.61）式），对于二维自由粒子有考虑到能量有因为配分函数Z为（见（6.60）式）所以其中，处于Vx与VxdVx，Vy与VydVy间隔内的分子数为（同时考虑到和）因此二维理想气体分子的速度分布将上述转换成圆极坐标，则其速率分布为可以利用前面的方法求平均速率、最概然速率和方均根速率，如下同理求得对于最概然分布根据求得最概然速率为6.17若二相平衡，则在单位时间内以液体单位表面上蒸发出的分子数等于单位时间内由蒸汽中进入液体中的分子数为（见（6.87）式）。 （1）因蒸汽可以看成理想气体，则由（6.64）和（6.82）有，上述二式代入（1），得 （2）将p、m、k、T得值代入（2），可以推的（每秒平方厘米）值得提到的是：p的单位应为国际单位制即牛顿/平方米（帕），1Torr=101325/760=133.322（帕）。对于m应考虑为一个蒸气分子的质量，其单位应为Kg。（）6.191摩