高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答.doc

莃高 等 代 数(上)(No. 8)芁一、填空题(每小题1分, 共8分) 罿 1一非空复数集P为数域, 若其 包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭. 螅 2 设d(x)为f (x), g(x) 的一个最大公因式, 则d(x)与(f (x), g(x)的关系 蒂 倍数关系即d(x)k(f (x), g(x) . 蚀3设i1,i2,in=1,2, n,则t( i1i2in)+ t( inin-1i1)= . 虿4设n2, a1,an两两不同, 则的不同根为 a1, a2,an . 袇5设t1,tr两两不同, 则ai=(1,ti,), i=1, r线性 无关 . 袄6若b可由a1,ar唯一表示, 则a1,ar线性 无关 . 肀7设a1,am为n维向量组, 且R (a1,am)=n, 则n m. 蒀8若A为n级实对称阵且AA= O, 则A= O . 蚄二、选择题(每小题1分, 共8分) 羂1 对于“命题甲：将n(1)级行列式D的主对角线上元素反号, 则行列式变为-D；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( B ) . 蕿 A. 甲成立, 乙不成立 B. 甲不成立, 乙成立 袆C. 甲, 乙均成立 D. 甲, 乙均不成立螅 2整系数多项式f (x)在Z不可约是f (x)在Q上不可约的( B ) 条件. 肁A. 充分 B. 充分必要 C. 必要 D. 既不充分也不必要羈3设D=|aij|n, Aij为aij的代数余子式, 则=( C ) . 蚆A. D B . -D C. Dn D. (-1)nD螇4下述中, 错误的是( D ) . 蒃A. 奇数次实系数多项式必有实根 B. 代数基本定理适用于复数域蚂C. 任一数域包含Q D. 在Px中, f (x)g(x)= f (x)h(x)g(x)=h(x) 莇5设A, B为n级方阵, mN, 则“命题甲：|-A|=-A；命题乙：(AB)m= AmBm”中正确的是( D ) . 薄A. 甲成立, 乙不成立 B. 甲不成立, 乙成立 薁C. 甲, 乙均成立 D. 甲, 乙均不成立肁6. 任n级矩阵A 与-A, 下述判断成立的是( B ) . 膇A. |A|=-|A| B. AX=0 与(-A)X=0同解 蚅C. 若A可逆, 则(-A)-1=(-1)nA-1 D. A反对称, -A反对称羄 7 向量组a1,as线性无关( C ) . 蒁A. 不含零向量 B. 存在向量不能由其余向量线性表出袈C. 每个向量均不能由其余向量表出 D. 与单位向量等价蚇 8 设A, B均为P上矩阵, 则由( A ) 不能断言AB. 肂A. R(A)= R(B) B. 存在可逆阵P与Q使A=PBQ 羀C. A与B均为n级可逆 D. A可经初等变换变成B蚈三、简要回答(每小题5分, 共20分) 蒄1设f (x), g(x)Px, g(x)0, 若f (x)= g(x)q(x)+r(x), 则 (f (x), g(x)=(f (x), r(x)成立吗？为什么？蒅答: 不一定成立. 如：f (x)=6x2, g(x)=2x, q(x)=3x, r(x)=0, (f (x), g(x)= x, (f (x), r(x)=x2.荿2 设, 则当a,b,c,d满足何条件时, A=A？ A=A2？为什么？莈答: 当b=c时, A是一个对称矩阵, 因此A=A.当a+d=1或c=b=0且a, d0,1时, A=A2.直接根据矩阵相等的定义. 薆3若a1,as与b1,b s均相关, 则a1+b1,as+b s相关吗？为什么？薃答: 不一定. 如：a1=(0, 2, 0), a2=(1, 0, 1), a3=(2, 1, 2), b1=(0, -1, 0), b2=( -1, 0, 0), b3=(-1, -1, 0), 显然a1, a2, a3; b1, b2, b3两组向量均相关, 但a1+b1, a2+b2, a3+b3是线性无关的.蝿4若A, B均为n级阵, 且AB, 则A与B的行向量组等价吗？为什么？聿答：等价。因为AB, 所以存在可逆矩阵P, Q, 使得A=PBQ, 设A=(a1,an)T, B=(b1, bn)T, P=(pij), Q=(Q1, , Qn), 则根据矩阵相等的定义得到薇同理可得到，其中P-1=().蚁四计算题(每小题10分, 共40分) 12 蒂把f (x)=5x4-6x3+x2+4按x-1的方幂展开. 衿解：利用综合除法可得莄1肄1袁-6/5蕿1蒆1/5膂-1/5莁0肆0薇4/5薅0螀螆1莄-1/5蚃1膀0薇4/5莆0螁4/5虿4/5蒇1膄4/5肈1肇4/5芄9/5节4/5螂芆19/5113/5114/51所以f (x)= 5x4-6x3+x2+45(x4-x3+x2+) =5(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+ =5(x-1)4+14(x-1)3+13(x-1)2+4(x-1)+4方法2 用待定系数法。3 计算. 解：Dn4 求向量组a1= (1,-1,2,4), a2=(0,3,1,2), a3=(3,0,7,14), a4=(1,-1,2,0), a5=(2,1,5,6)的极大无关组, 并求出组中其余向量被该极大无关组线性表出的表达式. 解：所以a5=a1+a2+a4, a3=3a1+a2 , a1, a2 ,a4,为向量组的极大线性无关组。解：设A=, 则|A|=60, 则A可逆. 从而可求出A的逆A-1.所以，从而X=五、证明题(每小题8分, 共24分) 1 若(x3+x2+x+1)|(f (x2)+xg(x2), 则(x+1)|f (x), (x+1)|g(x). 证明：因为x3+x2+x+1= (x-i) (x+i) (x +1), 所以x=i, x=-i, x=-1为其根,因此由已知条件可得x=i, x=-i, x=-1为f (x2)+xg(x2)的根, 所以从而f (-1)=g(-1) =0, 故(x+1)|f (x), (x+1)|g(x).2 试证：.证明：=3 设h1, , hs 为AX=B0的解, 若k1+ks=1, 则x= k1h1+ +kshs 也为AX=B的解. 证明：因为h1, , hs 为AX=B0的解, 所以Ah1= Ah2= Ahs=B0, 则Ax= A(k1h1+ +kshs)= A(k1h1)+ + A(kshs)= k1Ah1+ + ksAhs=k1B +ksB=B. 故x= k1h1+ +kshs 也为AX=B的解. 以下无正文 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 , , .For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr S