自动控制第三章.doc

南京工程学院教案【教学单元首页】第 712 次课 授课学时 12 教案完成时间： 2009.8 章、节第三章 时域分析法第一节 系统性能指标第二节 一阶系统性能分析第三节 二阶系统性能分析第四节 高阶系统的时域分析第五节 控制系统的稳定性分析第六节 控制系统的稳态误差分析第七节 用时域法分析系统性能举例主要内容这一单元主要完成第三章时域分析法的教学内容。首先介绍采用时域法分析自动控制系统性能中常用的性能指标。求一阶系统的单位阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应并求性能指标。求典型二阶系统的单位阶跃响应表达式以及性能指标计算的表达式，举例说明二阶系统单位阶跃响应和性能指标的计算。然后介绍控制系统稳定性的分析，采用劳斯判据判断系统稳定性的方法，举例说明劳斯判据的应用。最后介绍控制系统的稳态误差分析，推导出求系统稳态误差的公式并举例说明系统稳态误差的求取。用一个综合实例介绍用时域法分析自动控制系统的过程。目的与要求本单元的教学目的是让学生通过这一章的学习了解和掌握时域法分析控制系统性能的基本方法，即对控制系统稳定性、快速性和准确性的分析过程。要求学生了解和掌握典型一阶系统和典型二阶系统单位阶跃响应和性能指标求取的步骤和方法，掌握利用劳斯稳定判据判断控制系统稳定性的基本方法。掌握给定信号作用下控制系统稳态误差求取的方法，了解扰动信号作用下控制系统稳态误差求取的方法。重点与难点本单元的重点：采用时域法分析控制系统性能的基本思路，典型一阶系统和典型二阶系统单位阶跃响应和性能指标的求取。用劳斯判据判断系统稳定性的方法和过程。控制系统稳态误差的求取。本单元的难点：根据性能指标的要求确定系统的参数。教学方法与手段主要采用多媒体教学，有些重要的概念加板书解释。第三章 时域分析法 对线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频率法。本章讨论的是时域分析法。第一节 系统性能指标 一、典型输入信号在控制工程中常采用下述五种信号作为典型的输入信号。1阶跃信号 称为单位阶跃函数，记为。 2斜坡信号 称为单位斜坡函数。3抛物线信号 称为单位抛物线函数。 4脉冲信号 称为单位理想脉冲函数。 5正弦信号 二、控制系统的性能指标1跟随性能指标（1）上升时间系统输出响应从零开始第一次上升到稳态值所需的时间。 （2）峰值时间系统输出响应由零开始，第一次到达峰值所需时间。（3）超调量系统输出响应超出稳态值的最大偏离量占稳态值的百分比。 （4）调节时间系统的输出响应达到并保持在稳态值的(或)误差范围内所需的时间。（5）振荡次数在调节时间内，系统输出量在稳态值上下摆动的次数。2抗扰性能指标（1）动态降落突加负扰动量，输出量的最大降落值。 （2）恢复时间从扰动开始，到系统输出量基本恢复稳态，距新稳态值之差进入某基准值的（或）范围内所需的时间。3稳态性能指标常用稳态误差表述。是系统期望值与实际最终稳态值之间的差值。第二节 一阶系统性能分析一、一阶系统的数学模型当控制系统的数学模型为一阶微分方程式时，称其为一阶系统。一阶系统的动态结构如图所示：_R(s)E(s)C(s)TS1 1 二、一阶系统的时间响应及性能分析1单位阶跃响应设输入 系统的动态性能指标主要是调节时间： 时 故 （按5% 误差带 ） 时 故 （按2% 误差带 ）在单位阶跃信号作用下，系统的输出最终稳态值，而输入期望值也为1，故稳态误差=0。2单位斜坡响应 设输入 单位斜坡响应为： 3单位脉冲响应 单位脉冲响应为 综合以上分析，可得出线性定常系统的一个重要性质：某输入信号导数的输出响应，就等于该输入信号输出响应的导数；同理，某输入信号积分的输出响应，就等于该输入信号输出响应的积分。SC(s)R(s)_KkKH 例 一阶系统的结构如图所示，设, 。试求系统的调节时间t（按误差带）；如果要求，求反馈系数。 解 由结构图得系统的闭环传递函数 （按5误差带）若要求 有 例 试分析液位控制系统的参数与系统性能之间的关系。解 系统的闭环传递函数 当时 系统的调节时间为 第三节 二阶系统性能分析 s2+2ns+n2n2C(s)R(s)_一、二阶系统的数学模型二阶系统的典型结构如图所示： ：阻尼比 ：无阻尼自然振荡频率 例如电路的传递函数为 有 二、二阶系统的单位阶跃响应 c(t)t01 不同的值，的单位阶跃响应的形式也不相同1. 1 过阻尼 1c(t)t0系统输出随时间单调上升，无振荡和超调2.=1 临界阻尼 一对重负实根 输出响应曲线无振荡和超调。3. 01 欠阻尼 令 ， 为一对复数根。 设二阶系统的一对共轭复根如图所示：S1S2 21- nn-1=tg = nncos=-1=tg 21- c(t)t01 二阶系统在欠阻尼时的响应为衰减振荡波形，必然有超调产生。 4. =0 无阻尼 一对纯虚根。 c(t)t01=0 输出的拉氏变换为 系统的单位阶跃响应为等幅振荡波形。 三、二阶系统的性能指标主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论和计算。1上升时间tr 2峰值时间tp 3超调量% 将代入欠阻尼二阶系统单位阶跃响应表达式，求得 4调节时间ts ， 误差带 ， 误差带 5稳态误差ess根据稳态误差的定义和终值定理有 当 时， 得 。 二阶系统性能分析要点：（1） 平稳性：主要由决定， 平稳性越好。时，系统等幅振荡。一定时，系统平稳性变差。（2）快速性 一定时，若较小，则，而当之后又有。即太小或太大，快速性均变差。（3） 准确性 的增加和的减小虽然对系统的平稳性有利，但将使得 系统跟踪斜坡信号的稳态误差增加。综合考虑系统的平稳性和快速性，一般将称为最佳阻尼比,对应的二阶系统称为最佳二阶系统。例 已知系统的闭环传递函数，求系统参数时，系统的单位阶跃响应和性能指标，。解（1） 系统性能指标 ， （2） 系统性能指标 Ks Ka1/iCes(Tms+1)_r(s)c(s)例 随动系统的结构图可简化成如图所示，试计算在不同参数下，系统的动态性能指标。解 系统的闭环传递函数 其中 ， 分别计算时，系统的动态性能指标。 （1） 得动态性能指标 （按5误差带）（2） （3） 系统处于过阻尼态，无超调。 动态性能指标 四、带零点二阶系统的单位阶跃响应具有闭环零点的二阶系统的闭环传递函数为 为时间常数， 为闭环零点的模值。设 则 ， 当 时，有 S1S2 为极点与零点之间的距离，如图所示。 系统的性能指标： 增加零点后，上升时间减短，系统的初始响应加快。另外，由于零点的存在，系统的振荡性增加，零点的模值越小，系统的超调量越大，振荡越强烈。_s+1s(s+2 n)2nR(s)C(s)五、改善二阶系统性能的措施1比例微分控制图为采用比例微分控制的二阶系统。二阶系统的开环传递函数为 增加了开环零点后，二阶系统的阻尼比增大，超调量将减少，使得系统响应加快。2微分负反馈控制二阶系统中加入微分负反馈环节如图所示。s-s(s+2 n)2nR(s)C(s)-系统的开环传递函数 系统的阻尼比增大，超调量减少，平稳性变好。第四节 高阶系统的时域分析三阶及三阶以上的系统通常称为高阶系统。其传递函数的一般表达式为 瞬态分量按指数衰减,系数与极点到零点的距离成正比,与极点到其他极点的距离以及极点到虚轴的距离成反比. 由上述分析可以得出：（1）高阶系统的时域响应是由惯性环节和二阶振荡环节的响应函数所组成。（2）所有闭环极点必须位于左半平面系统才能稳定。如果有一个极点在右 半平面，系统不稳定。（3）极点的实部在左半平面上离虚轴远近，确定相应的瞬态分量衰减快慢；（4）系统中离虚轴最近极点附近没有零点，其它极点离虚轴的距离是这个 极点3倍以上，这个为主导极点。（5）高阶系统中加入校正装置，使系统具有一对合适的共轭复数主导极点， 此时系统的动态性能比较理想。（6）一对靠得很近的闭环零、极点为偶极子,在系统动态响应中可以忽略不计。第五节 控制系统的稳定性分析稳定是系统正常工作的首要条件一、系统稳定的充分与必要条件设系统： 系统的输出响应 。系统稳定的充分与必要条件是：系统所有特征根的实部小于零，即其特征方程的根都在左半平面。二、劳斯稳定判据设系统的特征方程为 根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表 从第三行开始，各元素的计算按下述规律推算： 劳斯稳定判据：若特征方程式的各项系数都大于零，且劳斯表中第一列元素均为正值，相应的系统是稳定的。否则，系统为不稳定.第一列元素符号改变的次数等于该特征方程的正实部根的个数。例 已知系统的特征方程，试判断该系统的稳定性。解 劳斯表如下： 由劳斯表可见，第一列元素的符号改变了两次，表示有两个正实部根，系统不稳定。例 系统如图所示。为使系统稳定，试确定放大倍数K的取值范围。Ks(0.1s+1)(0.25s+1)_R(s)C(s)解 首先求出系统的闭环传递函数 系统的特征方程为 劳斯表 系统稳定的条件为 如果劳斯表中某行的第一个元素为零，而该行中其余各元素不等于零或没有其它元素，将使得劳斯表无法往下排列。此时，可用一个接近于零的很小的正数来代替零，完成劳斯表的排列。例 已知系统的特征方程，试判断系统的稳定性。解 劳斯表为 可通过因式分解来验证， 即求得 ，。这与用劳斯判据所得的结论是一致的。例 设系统的特征方程为 试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的分布。解 劳斯表为 可见，表中第一列元素的符号变化了两次。该方程有两个根在右半平面。把原方程改写为 ，； 如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示相应方程中含共轭根。此时，应以上一行的元素为系数，构成一辅助方程。例 控制系统的特征方程为 列劳斯表 由于这一行的元素全为零，可由上一行的元素作为系数组成辅助多项式 对求导，得 用系数和代替全零行中的元素，并将劳斯表排完。 三、结构性不稳定系统的改进措施结构性不稳定系统Ks2(Ts+1)_R(s)C(s)：如果无论怎样调整系统的参数，也无法使其稳定。图示系统闭环传递函数为特征方程式为 这类系统称为结构性不稳定系统。解决这个问题的办法一般有以下两种：1s_R(s)C(s)1改变环节的积分性质在积分环节外面加单位负反馈，环节的传递函数变为 系统开环传递函数变成了 系统的闭环传递函数为 特征方程式 劳斯表 即 2加入比例微分节在结构性不稳定系统的前向通道中加入比例微分环节，_R(s)s+1Ks2(Ts+1)C(s)系统的闭环传递函数变为 劳斯表： 即 第六节 控制系统的稳态误差分析-B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)+D(s)C(s)系统误差的一般定义为期望值与实际值的差值。通常，系统的输入量和输出量为不同的物理量，因此系统的误差不直接用它们的差值来表示，而是用输入量与反馈量的差值来定义： 稳态误差即 一、给定信号作用下的稳态误差及误差系数给定信号作用时，设扰动信号。误差函数的拉氏变换为 设系统输入的一般表达式为 开环传递函数的一般表达式为 系统的稳态误差可表示为 可根据系统的静态误差系数来计算系统在不同输入信号之下的稳态误差。1静态位置误差系数Kp 定义静态位置误差系数： 可得： =0 1 =0不同型别时系统的阶跃响应曲线：2静态速度误差系数Kv 定义静态速度误差系数： 可得： =0 =0 =1 2 0不同型别时系统的斜坡响应曲线：3静态加速度误差系数Ka 定义静态加速度误差系数： 可得： 1 2 3 0不同型别的系统，在抛物线输入信号作用下的响应曲线：0.5_100s(s+10）R(s)C(s) 例 已知系统的结构如图所示。求时系统的稳态误差。解 系统的开环传递函数为 时， ， 时， ， Ks(Tms+1)_r(s)c(s)系统总的稳态误差 例 位置随动系统的稳态误差分析。（1）随动系统的结构图如图。 系统的开环传递函数为 ： ： （2） 在系统的输入端增加一个比例微分环节，如图所示。s+1Ks(Tms+1)_r(s)c(s)系统的闭环传递函数为 其稳态误差为 当 时， （3）如果将比例微分环节加在前向通道中，如图所示s+1Ks(Tms+1)_r(s)c(s)系统的开环传递函数为 ： ： 可见，开环零点对稳态误差没有影响。二、扰动信号作用下的稳态误差作用时， ，典型结构图表示成如图所示。+G1(s)G2(s)-H(s)D(s)E(s)动信号引起的误差： 扰动作用之下的稳态误差为 例 设系统 ，又设 ， ，求系统的稳态误差。解 当 时 系统总的稳态误差：三、改善系统稳态精度的方法1引入输入补偿+R(s)C(s)E(s)Gc(s)G1(s)G2(s)_为了减少给定信号引起的稳态误差，从输入端引入一补偿环节：系统的稳态误差为 _R(s)C(s)+D(s)E(s)+G1(s)G2(s)Gc(s)若使 则 即取 2引入扰动补偿系统如图所示： 设 使必须满足 即取 在负反馈控制的基础上，又引入补偿控制的系统称为复合控制的系统。第七节 用时域法分析系统性能举例一、单闭环有静差调速系统的组成-+-udidM+-TGnufR0R0unuctKs+R1KpKs1/Ra1+TdsRaCeTmsCeN(s)KsfTss+1_EbUctUdId_UfnILUn(s)二、系统动态结构图 可得闭环传递