2011年数学建模-重金属污染模型(特等奖作品).doc

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 兰州理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2011 年 9 月 11 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2城市表层土壤重金属污染分析摘要随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。本文根据大气中重金属污染物的传播特征，将高斯扩散模型应用于土壤重金属污染问题，建立数学模型并进行求解。问题一中，利用题目所提供的重金属元素样本值，借助matlab软件，形象地绘制出了城市地形图以及八种重金属在该城市五个功能区的二维等高线分布图。对所收集的土壤样品分别采用单因子污染指数法与内梅罗（N.L.Nemerow）综合污染指数法对该城市分区进行污染程度评价。问题二中，通过对所给数据的分析，利用主成分分析法，推断出了重金属污染的主要原因。 问题三中，通过数据分析，发现了金属污染物的传播特征，由此建立重金属高斯扩散模型。利用数形结合的方法最终确定了污染源的位置。问题四中，通过对建模过程中考虑因素的全面性以及所忽略因素的得当性分析，评估了所建模型的优缺点，确定了更好地研究城市地质环境的演变模式所需要搜集的信息，并给出了更合理建立数学模型的方法。关键词：重金属污染 主成分分析法 单因子指数法 内梅罗综合污染指数法 高斯模型 污染源 一. 问题的提出随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。通过对城市城区土壤地质环境进行调查，采集土壤样本，需要给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度；通过数据分析，说明重金属污染的主要原因；分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置；最后还需分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，提出还应收集的信息，以及有了这些信息，如何建立模型解决问题。二问题的分析由题意可知，问题主要要求建立重金属扩散模型，从而研究城市地质环境的演变模式。问题一，要求给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。拟利用差值拟合法绘制出各种重金属污染物的二维等高线分布图。对所收集的土壤样品采用内梅罗（N L Nem-erow）污染指数法对该城区进行污染程度评价。问题二，要求通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。通过对所给数据提取，可利用主成分分析法推断出重金属污染的主要原因。问题三，要求分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。可通过大量数据分析拟合找到金属污染物的传播特征。参考重金属扩散的文献，将高斯扩散模型应用于土壤重金属污染问题，并利用数形结合的方法确定污染源的位置。问题四，要求分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集的信息以及有了这些信息，如何建立模型解决问题。建模过程中考虑因素的全面程度以及忽略因素的得当程度已经决定了所建模型的优缺点，通过对实际问题的思考和阅读相关资料，可以确定需要进一步搜集的信息，从而更加准确地建立数学模型和解决问题。三.建模过程1问题一的求解1.1模型假设a. 污染物浓度不随时间变化，只与采样点的空间位置有关；b. 建模过程不考虑气候，季节因素的影响。1.2模型建立1.2.1 8种主要重金属元素在该城区的空间分布（画图程序见附录2）图1 城市立体三维图图2 元素As二维等高线分布图 图3 元素Cd二维等高线分布图图4 元素Cr二维等高线分布图图5 元素Cu二维等高线分布图图6 元素Hg二维等高线分布图图7 元素Ni二维等高线分布图图8 元素Pb二维等高线分布图图9元素Zn二维等高线分布图1.2.2 分析该城区内不同区域重金属的污染程度对所收集的土壤样品分别采用单因子指数法和内梅罗（N.L.Nem-erow）污染指数法对土壤重金属污染现状进行评价。单因子指数法：, （1）其中式（1）中：为污染指数；为重金属元素在该区的平均浓度；为该区土壤的第i种金属元素的背景值；i为重金属元素的种类。表1 单因子对土壤污染程度污染程度单因子污染指数毒害效应正常0P1严重毒害综合污染指数法： , （2） 其中（2）中为功能区的编号，为重金属的种类，为功能区N中第i个元素的污染金属元素种类的总数，为功能区N的综合污染指数。表2 土壤重金属污染程标准污染程度综合污染指数毒害效应正常或轻度12正常或轻微毒害中度23产生一定毒害作用重度大于3产生强烈毒害作用表3 单因子污染指数AsCdCrCuHgNiPbZn1区1.742.232.233.742.661.492.233.432区2.013.021.729.6618.351.613.004.033区1.121.171.261.311.171.261.181.064区1.592.771.874.7112.771.432.053.525区1.742.161.412.293.291.241.962.24表4 各区域综合污染指数表1区2区3区4区5区综合污染指数3.17059313.533621.253149.4264152.734361污染程度重重轻重中2. 问题二的求解由所给的数据求出每个区域的各种金属的平均值，采用主成分分析法并利用spss软件对其进行综合评价分析。2.1 模型的建立2.1.1 对原数据进行标准化处理假设进行主成分分析的指标变量为种重金属元素：，评价对象可以分为个区域，第个评价对象的第个指标的取值为。将各个指标转换成标准化指标， ， （3）其中， 分别为第个指标的样本均值和样本标准差。而称 ， 为标准化指标变量。2.1.2 相关系数矩阵的计算相关系数矩阵, （4）2.1.3计算特征值和特征向量 计算相关系数矩阵的特征值，及对应的特征向量,由特征向量组成个新的指标变量 , （5）式中是第一主成分，是第二主成分，是第个主成分。2.1.4 选择个主成分，计算综合评价值a、 计算特征值的信息贡献率和累积贡献率。称 （6）为主成分的信息贡献率；称 , （7）为主成分的累积贡献率，当接近于1（）时，则选择前个指标变量作为个主成分，代替原来个指标变量，从而可对个主成分进行综合分析。b、 计算综合得分： , （8）其中为第个主成分的信息贡献率，根据综合得分就可进行评价。2.2 模型的求解经过对土壤单点样重金属元素含量的数据标准化处理后，利用matlab软件进行主成分分析，可得出如下结果；表5 变量相关矩阵指标AsCdCrCuHgNiPbZnAs1.000.739-.296.473.319.100.892.590Cd.7391.000-.546.731.762.225.830.646Cr-.296-.5461.000-.780-.842-.015-.523.242Cu.473.731-.7801.000.943.595.809.292Hg.319.762-.842.9431.000.423.656.205Ni.100.225-.015.595.4231.000.442.501Pb.892.830-.523.809.656.4421.000.585Zn.590.646.242.292.205.501.5851.000再利用SPSS统计软件可得到前几个因子的累积贡献率和初始特征值，如表6所示：表6 因子的累积贡献率和初始特征值因子初始特征值提取平方和载入合计方差百分比%累积贡献值%合计方差百分比%累积贡献值%14.82860.35560.3554.82860.35560.35521.67620.95681.3101.67620.95681.31031.10913.86295.1721.10913.86295.17240.3684.828100.00053.913E-84.891E-7100.00062.643E-93.304E-8100.00072.194E-92.743E-8100.00086.468E-188.085E-17100.000由表6可见，前三个主成分分别累计提取了总方差的95.172%，表明所提取的主成分能够较好地代表源数据所蕴涵的信息。将表6的前三个主成分的主要元素因子和土壤中的重金属元素的载荷矩阵反映在表7中：表7 载荷矩阵因子元素123As.730.368-.508Cd.909.104-.245Cr-.660.736.146Cu.928-.272.245Hg.861-.422.187Ni.495.274.806Pb.942.176-.144Zn.549.794.070从表7可见，Cd、Cu和Pb在主成分1中具有非常高的载荷，Hg和As在主成分1中的载荷仅次于前三种。研究证实Pb和Cd在来源上关系较密切，并且Pb主要来源于汽车尾气排放而汽车轮胎磨损可以释放Cd，再加上Cu可以来源于汽油和车体的磨损，从而可以推断出因子1可能主要代表汽车交通运输活动的影响。其次Hg污染不仅与燃煤污染有关，在很大的程度上还与汽车尾气的排放有关；As和S一样在空气中以为主，也可以是由汽车燃料燃烧所释放的，进一步的加大了推断的可能性。由表格可以看出，第一主成分解释的原变量方差最多（60.355%），而其后的主成分所解释的方差逐渐在减少，因此可以认为第一主成分是污染的主要来源，鉴于此，可认为主干道路区上的尾气排放和轮胎磨损是重金属Cd、Cu、Pb、Hg和As污染的主要原因。表7体现了Cr和Zn在主成分2中具有较高的载荷。有学者研究表明，厂矿企业的三废排放中含有大量的Zn和Cr，因此可以断定因子2为工业活动的影响。因此我们可以认为工业区的工业废气排放是重金属Zn和Cr的主要原因。表7也体现了Ni单独在主成分3中具有较高的载荷，且与其他元素关系不密切。由资料显示，废水中含有较多的Ni，因此也可以认为生活区的生活废水、污水是重金属Ni的主要原因。综合以上所述，可知Ni使生活区的污染变严重，Cr和Zn使工业区的污染变严重，Cd、Cu、Pb、Hg和As使主干道路区的污染变严重。与第一问的结果一致，验证了两个模型的准确性。3问题三的求解 3.1分析重金属污染物的传播特征土壤中的重金属污染物与其它的污染物具有不一样的物理化学性质，因此也具有不一样的环境效应。其它的污染物一般能够被土壤中的微生物降解和分解，因而可以自己降低在土壤中的含量，但是土壤中的重金属污染物则不被微生物降解，因而如果不采取相应的治理措施，可长期滞留在土壤中（汞除外，因为汞具有挥发性，土壤经太阳照射后温度会升高，可使少量的汞逸出土壤进入大气中）。而且重金属污染物一般是在土壤中的耕作层中累积，很容易被作物所富集，或者是通过降雨淋溶渗透或由地表径流的方式污染地下水。种植在耕作层中的作物和地下水是人类食物和饮用水的来源，食入这些被重金属污染的食物和水后，重金属元素就会在人体中累积，当累积达到一定程度时，就会对人类的健康产生严重威胁。上世纪发生在日本的“水俣病”和“骨痛病”就是一个很好的例证。另外，由于土壤大部分是直接裸露在环境中的，因此，可在风力等外力的作用下形成微小的颗粒物，人类通过呼吸或皮肤接触等多种方式直接或间接地吸入这些微粒，而这些微粒中也包含着重金属元素，因此，也会导致重金属元素在人体中的累积，最终危害人体健康。重金属污染物进入土壤的主要方式有干湿沉降、污水灌溉、废弃物的淋溶三种方式。1)有些重金属污染物具有挥发性，或者是工厂尤其是燃煤的工厂等排放的废气和粉尘等含有重金属污染物，直接排放到大气之后，这些废气和粉尘就会在大气中漂移，在地球重力作用以及雨雪的冲刷作用而降落到土壤中。重力作用对颗粒较大的污染物颗粒有比较好的去除作用即大颗粒的污染物绝大部分在重力作用下回落到土壤中，颗粒较小的污染物在大气中漂移的受到重力作用较小，它们基本是通过雨水的冲刷作用才回落到土壤中的。2)在农业上为了解决缺水问题常用污水灌溉，这些污水主要是来自生活污水以及冶炼厂等工业部门排放的废水，这些废水基本上没有经过净化处理，其中含有较多的重金属污染物。这些废水被引入到田地中，引起了田地的重金属污染，也使得重金属污染物进入土壤而滞留其中。在农业上，使用化肥，农药以及薄膜等农业物资也会使重金属污染物进入土壤中，因为化肥、农药及薄膜等这些农用物资都不同程度的含有某种或几种重金属元素，这些重金属元素会随着农用物资的使用而进入土壤中，导致重金属元素在土壤中的累积而变成重金属污染物。3)生活垃圾及各种工业废弃物、尾矿等的堆放也会使重金属污染物进入土壤中。这些废弃物尤其是工业废弃物以及尾矿中含有大量的重金属污染物，这些重金属污染物在干燥的时候较难进入土壤中，但是由于废弃物都是裸露的，在降雨的时候就会造成废弃物的淋溶，形成废弃物的渗滤液，重金属污染物溶解在这中渗滤液中，并且随着渗滤液进入土壤中并且在土壤水作用下向周围扩散，而且会在重力作用下向土壤的纵深方向渗透，造成土壤的污染。3.2建立模型并确定污染源的位置3.2.1 高斯模型相关假设1.污染物浓度在风向上为正态分布2.全部高度风速均匀稳定3.污染源是连续均匀稳定的4.扩散中污染物的质量是守恒的（不考虑转化）3.2.2建立模型以排放点在地面上的投影点为原点，平均风向为 轴，在水平面上垂直于轴的为 轴，而铅直于水平面者为 轴。这样便可以写出沿风向任何一点处污染物平均浓度分布的函数： (9)其中：是待定函数；是坐标点位置；是未知量它的方差表达式为： ， (10) . (11)从式(9)可以看出未知量为，四个量， 和 可以根据国标法用幂函数确定，故为已知量。但四个未知量、三个方程显然属于超定问题，要求解必须通过其它途径寻找一个补充方程。通过分析发现，一般情况可以认为烟羽扩散遵循质量守恒定律，即认为其没有发生化学变化、转移和损失。单位时间排出的污染物量等于扩散的污染物量。故补充方程： （12）式中：（）为单位时间污染物的排放量，可由煤矿提供或工程分析给出;（）为质量浓度;V为烟流体,; 为有效高度处的平均风速，可从气象台查得或现场测定。3.2.3 模型的求解联立式(9)、(10)、(11)、(12)：先把式(9)代入式（10）得 （13）上式中和对于变量可视为常数，可以由积分式中提出并相约消掉，则式(10)可变为； (14)对式（14）的分子进行分部积分下面求积分所以 （15）同理可以得出 （16）接下来求，将式（9）代入式（12），得查定积分公式，知同理所以从而 （17）将式（15）-式（17）代入式（9）得 （18） 这样便求得了沿风向任意一点处处污染物平均质量浓度分布的函数。但同时注意到上式是在以地面为原点坐标系中求得的，而工业区实际中烟羽都是有组织地排放(通过烟囱排放)，故往往是高架点源，也就是需要考虑地面对扩散的影响，从而需要对式(18)进行修正。考虑到满足质量守恒定律，故根据全反射原理，应考虑有实源和虚源两个源，则应有相应的坐标变换。比如我们要求点的污染物浓度，即考虑此处的污染是由两源扩散所至的污染叠加，一是原点所在地为(0，0， )的实源，一是原点所在地为(0，0，- )的虚源。实源和虚源的贡献值分别如下：，则点处的污染物浓度为： 3.2.3 确定污染源的位置一般认为，污染源的位置应该在重金属元素的浓度最大的地方。因此以下通过对浓度分布函数求偏导数的方法来确定污染源的位置。求解如下方程组：通过求解，确定污染源位置坐标（按照常理推断坐标值应该落在工业区内）。另外，应用内梅罗综合污染指数法，求出每一个采样点中的土壤重金属综合污染指数（见附录1 ），对所有采样点的值进行统计分析，统计所得：对所有采样点，值均不相同，所以可以将值作为采样点的唯一标记去对所有采样点进行研究，以值为轴，对应点的综合污染指数值为轴，用matlab去描绘各个采样点的综合污染指数分布规律，从而确定污染源。程序如下：x=load(D:xzhou.txt);%将x轴数据读入xy=load(D:zhishu.txt);%将综合污染指数值读入yplot(x,y,*)end图10各采样点综合污染指数图对图10 中所得离散点分析可得，大部分采样点的综合污染指数基本接近，因此可以以此为基准来判断污染源的位置。对高于该基准的采样点可以初步判断为污染源，然后结合离散点的分布的离散程度，在图10上可以做出污染源的中心为，三处；通过采样点可以确定它们分别在工业区和交通区，这样可以大致找出污染源的位置。4问题四的求解4.1建立模型的优缺点本模型的最大的优点是采用了高斯扩散模型对重金属的污染情况做了详细具体的分析，可以更形象直观的达到预期目的。充分体现了重金属元素的空间分布。尽管如此，本模型还存在一定的局限性。（1）由于所给条件有限，在对模型的设定时，未考虑到风速的大小及风向，故而本模型不能充分考虑到不同风速对重金属污染的影响。（2）受条件所限，本模型未考虑到雨水在地表的流动对重金属元素的转移和运输的影响。4.2优化模型所应考虑的相关因素为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集该城区有关河流附近及河水中的重金属元素样本，进一步研究河水、雨水在地表的流动对重金属元素的转移和运输的影响。另外，为了研究土壤溶质的迁移运动对于重金属传播的影响，还得采集较深层土壤的样本。如果有了这些信息，亦可以将高斯扩散模型应用到河水中建模研究，对于深层土壤，则可以由土壤溶质运动的基本理论建立数学模型和必要的仿真进行探究。四.参考文献1王雄军等，基于因子分析法研究太原市土壤重金属污染的主要来源 ，生态环境2008，17(2)：671-676 2郑海龙,陈杰,邓文靖,檀满枝，南京城市边缘带化工园区土壤重金属污染评价,环境科学学报,2005,25(9):1182-11883张圣勤，MATLAB7.0实用教程，机械工业出版社，2006.74王鲜霞，冯国瑞，高斯分布在山西煤矿烟羽扩散中的应用，太原理工大学学报，2006.5，37（3）：331-3345刘大海，李宁，晁阳，SPSS 15.0统计分析从入门到精通，清华大学出版社,2008.05 附录1：按功能区整理后的数据与各采样点综合污染指数编号x(m)y(m)海拔(m)功能区综合污染指数12404318951413.881324273971212.6316477748978111.871865345641615.7820459246036118.082124865999212.772335736213516.322553758643151133730452301015.11369328431124130.239807764012916.85427056834837113.71631546786581711.87671484455196212.95681656960557813.83721429874183611.899421418107213511.221062645355771110.721072641665081413.56152510140801315.18154538230125017.1115655031127611.61157563613317111.41586605374611.41761164935152712.641801259110631813.051831385533457912.551841486225242811.7818615387729811.29187158102307811.71951720362184011.981981630182992411.641991790482872511.522431039511203812.6525415467120802311.372581642890692012.0325916289100724311.626712153123361612.0826811958133131311.512691080013282913.812729277161481813.7227311121164322319.0227612625162596611.8330617981184499311.894017874219.486164727286222.7282383369272278.4329474272939231.2830494872936217.83155676782727.210322674121735222.09153543839941023.871771273440154322.86185148961603421.771971694774874121.8522150068846627.04223639510443425.88224740510981627.492258446112004211.76226761211938225.58228886613143324.02230947512000922.71231921211305525.792328629120861236.9233777610613922.46237710694674421.98238642388314022.54239745889203624.152461164693811424.362471264195601122.912481400089701421.552491420799801422.225515140111013025.4726216440132322421.632701002212204522.88271933314631422.6927410856147274124.1327512644149434328.54277903617538321.8527810599179801122.67621432586662331.577617044106919330.688018413117218831.748119007114888431.468218738109215333.98922366497904631.7310018993123717831.9110119968129614231.710422535112935431.991082781655811131.51092536164234934.4311024065735310432.021112599870325131.111122717777711731.511142607388073832.11152463194227631.131162470295226231.161172546198346831.0611926086110945331.1612026015120785732.1121277001160916531.16122276961162116931.43123273461333110031.42124265911371512630.85125278231473718931.51126272321448215030.89127245801331910731.4212824153124507132.8112922965135357832.2213124685142789830.871322865487552330.7913324003152869031.12134216841310111430.9713522193121857934.681361707958948130.9613715255511011030.681381500755357032.0918915801396611532.071941700847758231.322072147585408531.12092026175862931.72101956973487030.862111941169342831.32172335953252832.5421823238650216931.92192262448182732.942202170365916531.6725112734103443231.67280144051803215232.92281140741651612431.7928214262151296631.328620591135494232.4828720983158629331.69288201771764227631.24290189061634617331.15291184671700130831.8295166071736515531.19296159521839710331.4729722605143019331.53298231461538215331.11299220461763417131.75300237851764319431.13301259811805117331.24302273801820213631.02304233251670110531.69305268521611422531.6174781545.6213737311142.053132117912843.8951049212712416.937288336171543.04927082295224326.31029331767742.171435264357749.461550624339545.8617586849041649.51954816004044.622329960184475.06265635796529413.0327539486311244.2728529173491042.9432700462261144.434704846002447.4135818044961546.0737909053652044.9938804954391844.9340801772103949.3416869728618438.9743774782604947.0544845789912147.13459460831145412.7946906276394543.6547931967994943.51481063164725742.054910685552834418.79501064344724544.57511170244807143.09521173055325443.6531148263546143.295410700818450415.2551063087742942.41561167886181743.92571190277093043.02581324470563743.48591274684502144.06601285589451842.986113797962118439.08641244243296542.1651309343395644.39661392053547943.2711565875942442.05731417766843543.34751277857999342.037717087119334342.047817075129242540.857917962128232542.878317814107076441.468418134100464146.31851719898103742.51861714490812043.03871839391832641.26881976788104641.53892100688195541.34902109194824345.15912284691496941.4493223041052740435.039521439113834548.999620554112284343.129720101107744041.299821072104043242.39992021599513148.3910221766123486741.461052522157952741.82113264248639841.511824813107994641.3913023198135236241.76150402029902745.35151402639131343.86155531420604042.01159709313814542.95160710024498942.12161683734902846.8162790639782244.76163804530523947.56164839420352743.1116584031075644.6166807901644.7316796631288344.02168946922861542.06169917832994241.75170909539752643.521711022538211941.821721021027891941.18173103401764744.03174115571581746.071751141525851246.1117812696302427417.261791240020601345.061811376513531543.67182136942357334303.591881603230613541.631911687227981044.