欧式与美式期权二叉树定价及程序实现.doc

姓 名： 卢众 专 业： 数学与应用数学 学 号： 08101116 指导老师： 许志军 2011 年 6 月 3 日目录一、期权二叉树定价简介2二、假设2三、符号说明2四、欧式二叉树模型31、一步二叉树模型32、风险中性定价原理43、两步二叉树模型44、多步二叉树模型5五、美式二叉树模型61、单步二叉树62、多步二叉树7六、对于其他标的资产的期权的定价81、支付连续股息收益率股票期权的定价82、股指期权期权的定价83、货币期权84、期货期权8七、实例解析9八、程序10一、期权二叉树定价简介期权定价领域中一个有用并常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。在极限状况，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正式布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设。二、假设1、市场上无套利机会存在；2、所有的数据来源可靠；三、符号说明编号符号意义1无风险利率2股票上涨比率3股票下跌比率4股票初始价格5期权价值6时间步长7股票数量8股票上涨的概率9股票的波动大小10股票在初始时刻价格11期权的执行价格四、欧式二叉树模型1、一步二叉树模型在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。这是最简单的二叉树模型。一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步（至到期日t）后该股票价格有可能上升到 相应的期权价格为 ；也有可能下降到 相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。 为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有 （1）由此可得 （2）上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下，该组合是无风险的。以 r表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组合的当前价值是，故有： （3）则： （4）将(2)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为： （5）其中 （6）需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足：，亦即有：2、风险中性定价原理上述期权定价公式(5)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已经隐含在股票价格中了。不妨令股价上升的概率为，则股价下降的概率就是，在时间的期望股票价格为 如果我们假设市场是风险中性的（risk neutral），则所有证券的价格都以无风险利率增加，故有 于是，我们有 由此可得 与(6)比较，我们发现：股票的价格按无风险利率平均增长，一次，股票的上涨概率为等价于股票的收益率为无风险利率。3、两步二叉树模型如上图所示，假设初始股票价格为S0。在二叉树的每一步，股票价格或者上涨到初始价格的u倍，或者下跌到初始价格的d倍，期权价值显示在树中。我们假定无风险利率为r，二叉树的步长为t。因为步长为t，式（5）及式（6）变为: （7）重复应用式（5），我们得出 （9） （10）将式（8）和式（9）代入（10），最后得出 （11）以上结论与前面提到的风险中性定价理论是一致的。变量、分别对应与股票价格取上、中、下三个节点上值的概率。期权价格等于其在风险中性世界里的收益期望值以无风险利率进行贴现所得的数量。4、多步二叉树模型实际使用的二叉树要求具有多个离散的时间步长来计算期权的价值。通常从初始时间到期权到期日需要分成30或更多个时间步长。 两步二叉树模型的欧式股票期权定价公式容易推广到多步二叉树模型的情形。如果我们将初始时间距期权到期日的时间T分成个相等的时间步，则每个时间步长 。令股票的初始价格为，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的倍，或向下下降到当前价格的倍，无风险利率为的，则在期权到期日，股票价格有种可能结果： （12）它们在风险中性状态下出现的概率分别是： （13）令 为与种股票价格对应的期权价值，为期权的敲定价，则在无套利假设下，股票看涨权在到期日的价值为： （14）股票看跌权在到期日的价值为： （15）将该期权在到期日的期望价值贴现，我们即可得到期权的（初始）价值为： （16） 关于参数， 的取值，Cox，Ross和Rubinstein给出了由股票价格波动率确定的公式（为股票的波动大小，为时间步长）：，以及， （17）五、美式二叉树模型在欧式二叉树的基础上，接下来考虑美式二叉树。与欧式二叉数不同的是，美式期权中的二叉树的最后一个节点的价格为欧式期权的价格，而之前任一节点期权的价格等于以下数量的极大值：l 由式（5）所计算的值；l 提前行使期权的收益。由此可见，美式期权中使用二叉树进行期权定价的原理与欧式中的大致一样，故计算多步二叉树时，仍然可以使用前面的思想，将多步二叉树分解成多个单步二叉树。为此，在下面的过程中先考虑没事中的单步二叉树的计算，在考虑多步二叉树的计算。1、单步二叉树由于单步二叉树中的期权定价还与期权的类型有关，下面将分看涨与看跌期权分类讨论。（1）看涨期权股价上涨时，期权的价格为，若股票下跌时，则期权的价格为，由式（5）可知，,此时（初始时刻），将股票抛出，则收益为，（为股票在初始时刻价格以及期权的执行价格）：情形1、若，则这份期权的最佳收益为；情形2、若，则这份期权的最佳收益仍为；所以， （18）（2）看跌期权股价上涨时，期权的价格为，若股票下跌时，则期权的价格为，由式（5）可知，,此时（初始时刻），将股票抛出，则收益为，（为股票在初始时刻价格以及期权的执行价格）：情形1、若，则这份期权的最佳收益为；情形2、若，则这份期权的最佳收益仍为； （18）2、多步二叉树上面我们讨论了单步二叉树模型给美式股票期权定价。接下来讨论多步二叉树模型对美式股票期权定价。 假设股票价格经历了个时间步的演化到达期权到期日，且每一个时间步长为，这可用一个 步二叉树描述（图形省略）。若股票的初始价格为，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的倍，或向下下降到当前价格的 倍，无风险利率为的，则在第 个时间步后，二叉树上产生个节点，自上而下分别用 表示，则节点对应的股票价格为期权价值用表示。如果在节点处期权没有被提早执行，则期权价值 可通过式(8.2)和(8.3)来计算，即如果在节点处期权被提早执行是最优的，则期权价值就是提早执行的收益（payoff），令为期权的敲定价，a) 对股票看涨权，有 b) 对股票看跌权，有 显然，美式股票期权在节点处的价值应该取和中的较大者，即 由于美式股票期权在期权到期日的价值是已知的，因此美式股票期权的定价应该由前向后逐步计算，这也称作向后推演（backwards induction）。先由第步（期权到期日）的个节点上的期权价值通过公式(8.9)(8.13)推出第步对应的 个节点上的期权价值，依此下去，我们可以得到初始时间上的期权价值。六、对于其他标的资产的期权的定价1、支付连续股息收益率股票期权的定价考虑一个支付股息收益率为的股票，在风险中性世界里，股息加上资本收益等于，股息的收益率为，因此资本的收益率为。如果股票今天的价格为，在步长为时，第一步股票的期望值为：，因此即可见，在考虑有股息收益时，在计算期权价格时，只需将改为，其他的都不需要做任何变化。2、股指期权期权的定价对于股指期权，我们也可按照之前的假定，将标的股票的支付的股息收益率为，在进行股票期权的定价时，类似与前面的支付连续股息收益率股票的期权的定价3、货币期权按照前面所需的知识，外汇可以股息收益率等于外币利率的资产。同股指相比，可令来对货币期权进行定价。4、期货期权进入期货合约的长头寸或短头寸时，投资者无需任何费用，这说明，在风险中性世界里，期货的增长率期望为0。定义为价格上涨的概率，为价格上涨的比率，为价格下跌的比率，在一个步长之后，期货期望值仍为，则即同样可用欧式期权的定价原理进行定价。七、实例解析某股指的当前价格为810，波动率为20%，股息收益率为2%，无风险利率为5%，执行价格为810，期权为6个月的欧式看涨期权以及美式看涨期权的定价结果。欧式看涨期权a) 程序代码（qiquan可见附录）：r=0.05;w=0.2;t=3/12;T=6/12;H1=810;H2=800;flag1=1,0.02;flag2=1;flag3=0;f,g=qiquan(r,w,t,T,H1,H2,flag1,flag2,flag3)b) 运行结果：每一节点处股票的价格与期权的的价值如下：美式看涨期权每一节点处股票的价格与期权的的价值如下：八、程序1、求解期权价值代码（已考虑欧式、美式、有无股息、看涨看跌各种情况）function f,g=qiquan(r,w,t,T,H1,H2,flag1,flag2,flag3)%f为股票没事可的价格，g为期权任意时刻的价格；% r：表示年利率；w：波动率；% t：时间步长；T：期权期限；% H1：股票起始价格；H2：期权执行价格% flag1:有无红利，输入形式为：flag1(1)或flag1(1),flag1(2)，% flag1(1)为0代表无股息收益率，否则为有股息收益，且收益率为flag1(2)；% flag2表示看涨或看跌期权，值为1时为看涨期权，否则为看跌期权；% flag3表示欧式与美式期权，flag3为1代表美式期权，否则为欧式期权。%课本例11-1： r=0.05;w=0.2;t=3/12;T=6/12;H1=810;H2=800;flag1=1,0.02;flag2=1;flag3=0;u=exp(w*sqrt(t);d=1/u;k=T/t;if flag1(1)=0 %无红利 a=exp(r*t);else a=exp(r-flag1(2)*t); %有红利，且股息收益率为flag1(2)endb=zeros(k+1);c=b;p=(a-d)/(u-d);for j=1:k+1 for i=1:j b(i,j)=H1*u(j-i)*d(i-1); endendif flag2=1 %看涨期权 for i=1:k+1 c(i,k+1)=b(i,k+1)-H2; if c(i,k+1)0 c(i,k+1)=0; end endelse