习题2—3.ppt

3函数的单调性 能用图形表示吗 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 想一想 艾宾浩斯记忆遗忘曲线 从左至右是如何变化的 艾宾浩斯记忆遗忘曲线的图形展示 1 了解单调函数 单调区间的概念 2 能根据函数的图像指出单调性 写出单调区间 重点 3 能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性 难点 4 了解函数最值的概念 会求某些函数的最大值及最小值 重点 难点 能用图像上动点P x y 的横 纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗 局部上升或下降 下降 上升 探究点1 函数在区间增加 或减少 O x y 以f x x2为例说明图像的变化特点 O x y x O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y x y O 0 上随x的增大而减小 0 上随x的增大而增大 对区间I内任意x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 图像在区间I逐渐上升 O 对区间I内x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 x1 x2 I f x1 f x2 O M N 任意 区间I内随着x的增大 y也增大 图像在区间I逐渐上升 对区间I内x1 x2 当x1 x2时 有f x1 f x2 x1 x2 都 f x1 f x2 O M N 任意 区间I内随着x的增大 y也增大 图像在区间I逐渐上升 I 根据以上的探究 同学们互相交流一下 试着总结出函数在区间增加的定义 那么就说f x 在这个区间上是减少的 A称为f x 的单调减区间 如果对于属于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1 x2 如果对于属于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1 x2 那么就说f x 在这个区间上是增加的 A称为f x 的单调增区间 当x1f x2 函数在区间增加 或减少 你能类比函数在区间增加的研究方法来定义函数在区间减少吗 探究点2 单调性 单调函数如果函数y f x 在定义域的某个子集上是增加的或是减少的 那么就称函数y f x 在这个子集上具有单调性 如果函数y f x 在整个定义域内是增加的或是减少的 我们分别称这个函数为增函数或减函数 统称为单调函数 2 函数单调性是针对某个区间而言的 是一个局部性质 1 如果函数y f x 在区间I是单调增加的或单调减少的 那么就说函数y f x 在区间I上具有单调性 在单调区间上 增函数的图像是上升的 减函数的图像是下降的 判断1 函数f x x2在 是单调增函数 提醒 2 函数单调性是针对某个区间而言的 是一个局部性质 1 如果函数y f x 在区间I是单调增加的或单调减少的 那么就说函数y f x 在区间I上具有单调性 在单调区间上 增函数的图像是上升的 减函数的图像是下降的 判断2 定义在R上的函数f x 满足f 2 f 1 则函数f x 在R上是增函数 3 x1 x2取值的任意性 注意 y 2x 1 增区间为 增区间为 增区间为 减区间为 即时训练 y y 写出下列函数的单调区间 例1说出函数的单调区间 并指明在该区间上的单调性 解 0 和 0 都是函数的单调区间 在这两个区间上函数是减少的 图像不是连续上升或连续下降时 相同单调区间不能合并 例2画出函数f x 3x 2的图像 判断它的单调性 并加以证明 解 作出f x 3x 2的图像 由图看出 函数f x 的图像在R上是上升的 函数f x 是R上的增函数 证明 设是R上的任意两个实数 且则 在R上是增函数 取值 作差变形 判断差值符号 下结论 取值 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 作差变形 即作差f x1 f x2 或f x2 f x1 并用因式分解 配方 有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形 定号 确定差f x1 f x2 或f x2 f x1 的符号 当符号不确定时 可进行分类讨论 判断 根据定义得出结论 利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤 提升总结 此为证明的关键点 易错点 我们观察上图 可知对于定义域中的任意x 都有f x f 1 我们就说f 1 是这个函数的最大值 探究点3 最大值 一般地 对于函数y f x 其定义域为D 如果存在x0 D f x0 M 使得对于任意的x D 都有f x M 那么 我们称M是函数y f x 的最大值 即当x x0时 f x0 是函数y f x 的最大值 记作ymax f x0 例3如图 某地要修一个圆形的喷水池 水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下 以水池的中央为坐标原点 水平方向为x轴 竖直方向为y轴建立平面直角坐标系 那么水流喷出的高度h 单位 m 与水平距离x 单位 m 之间的函数关系式为h x2 2x 求水流喷出的高度h的最大值是多少 解 由函数h x2 2x 的图像可知 显然 函数图像的顶点就是水流喷出的最高点 此时函数取得最大值 对于函数h x2 2x 当x 1时 函数有最大值hmax 12 2 1 m 于是水流喷出的最高高度是m 例4已知函数 求函数的最大值和最小值 分析 由函数的图像可知 函数f x 在区间 0 2 上递增 所以 函数f x 在区间 0 2 的两个端点上分别取得最小值和最大值 解 设x1 x2是区间 0 2 上的任意两个实数 且x1 x2 则 由0 x10 x1 1 x2 1 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故f x 在区间 0 2 上是增加的 因此 函数在区间 0 2 的左端点取得最小值 右端点取得最大值 即最小值是f 0 2 最大值是f 2 利用其单调性求最值 若函数f x 在区间 a b 及 b c 上都是减少的 则f x 在区间 a c 上的单调性为 A 减少的B 增加的C 一定不单调D 不确定 D 2 已知函数在区间上是减少的 则a的取值范围是 解 由图像可知 只需使对称轴1 a 4 即a 3 a 3 4 证明函数在区间上是增函数 证明 任取