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河南省郑州四十七中2015届高三上学期期中数学试卷(文科 )一、选择题共12小题,每小题5分,共60分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项1(5分)已知复数z=,则z的虚部是()abcid2(5分)下列命题中的假命题是()axr,21x0bx(0,+),2xcx0r,当xx0时,恒有1.1xx4dr,使函数 y=x的图象关于y轴对称3(5分)已知a=x|x1|1,xr,b=x|log2x1,xr,则“xa”是“xb”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4(5分)若向量|=,|=2,(),则、的夹角是()abcd5(5分)设数列an的前n项和为sn,点(n,)(nn*)均在函数y=x+的图象上,则a2014=()a2014b2013c1012d10116(5分)如果实数x,y满足不等式组,目标函数z=kxy的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为()a1b2c3d47(5分)已知f(x),g(x)分别是定义在r上的偶函数和奇函数,且f(x)g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()a3b1c1d38(5分)函数f(x)=的图象大致是()abcd9(5分)在各项均为正数的等比数列an中,若am+1am1=2am(m2),数列an的前n项积为tn,若t2m1=512,则m的值为()a4b5c6d710(5分)已知函数f(x)=sin2xcos+cos2xsin,(xr),(zr)其中为实数,且f(x)f()对任意实数r恒成立,记p=f(),q=f(),r=f(),则p、q、r的大小关系是()arpqbqrpcpqrdqpr11(5分)已知函数f(x)=,且g(x)=f(x)mxm在(1,1内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是()a(,2(0,b(,2(0,c(,2(0,d(,2(0,12(5分)已知f(x)=x36x2+9xabc,abc,且f(a)=f(b)=(c)=0,现给出如下结论:f(0)=f(3);f(0)f(1)0;f(1)f(3)0;a2+b2+c2=18其中正确结论个数为()a1个b2个c3个d4个二、填空题本大题共四小题,每小题5分13(5分)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+lna20=14(5分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c已知bc=a,2sinb=3sinc,则cosa的值为15(5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是16(5分)已知函数f(x)的定义域为,部分对应值如下表x1045f(x)1221f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示:下列关于f(x)的命题:函数f(x)是周期函数;函数f(x)在是减函数;如果当x时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a2时,函数y=f(x)a有4个零点;函数y=f(x)a的零点个数可能为0、1、2、3、4个其中正确命题的序号是三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(11分)已知函数f(x)的定义域为(2,2),函数g(x)=f(x1)+f(32x)(1)求函数g(x)的定义域;(2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式g(x)0的解集18(10分)已知递增等比数列an的前n项和为sn,a1=1,且s3=2s2+1(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=2n1+an(nn*),且bn的前n项和tn求证:tn219(11分)已知向量=(cosx+sinx,2cosx),=(cosxsinx,sinx)(1)求f(x)=的最小正周期和单调减区间;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,在abc中,角a、b、c的对边分别为a,b,c,若f()=0,g(b)=,b=2,求a的值20(16分)已知命题:“xx|1x1,使等式x2xm=0成立”是真命题,(1)求实数m的取值集合m;(2)设不等式(xa)(x+a2)0的解集为n,若xn是xm的必要条件,求a的取值范围21(12分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的导函数()令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nn+,求gn(x)的表达式;()若f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;()设nn+,比较g(1)+g(2)+g(n)与nf(n)的大小,并加以证明22(10分)如图,o和o都经过a,b两点,ac是o的切线,交o于点c,ad是o的切线,交o于点d,求证:ab2=bcbd23在直角坐标系xoy中,以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c1的极坐标方程为sin(+)=a,曲线c2的参数方程为,(为参数,0)()求c1的直角坐标方程;()当c1与c2有两个公共点时,求实数a的取值范围24在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,一直曲线c:sin2=2acos(a0),过点p(2,4)的直线l的参数方程为(t为参数),l与c分别交于m,n(1)写出c的平面直角坐标系方程和l的普通方程;(2)若|pm|,|mn|,|pn|成等比数列,求a的值河南省郑州四十七中2015届高三上学期期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题共12小题,每小题5分,共60分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项1(5分)已知复数z=,则z的虚部是()abcid考点:复数代数形式的乘除运算 专题:数系的扩充和复数分析:由复数代数形式的除法运算化简复数z,从而求得复数z的虚部解答:解:由=,则复数z的虚部是故选:b点评:本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数z的虚部的求法,是基础题2(5分)下列命题中的假命题是()axr,21x0bx(0,+),2xcx0r,当xx0时,恒有1.1xx4dr,使函数 y=x的图象关于y轴对称考点:命题的真假判断与应用 专题:简易逻辑分析:由指数函数的定义域和值域判断a;对x分类讨论判断b;由指数函数爆炸性判断c;举例说明d正确解答:解:由指数函数的定义域和值域可知,xr,21x0,选项a为真命题;当0x1时,2x1,有当x=1时,当x1时,x(0,+),2x,命题b为真命题;y=1.1x为底数大于1的指数函数,y=x4为幂函数,x0r,当xx0时,恒有1.1xx4,选项c为假命题;当为偶数时,函数y=x是偶函数,其图象关于y轴对称,选项d为真命题故选:c点评:本题考查了命题的真假判断与应用,考查了学生对教材基础知识的掌握程度,是基础题3(5分)已知a=x|x1|1,xr,b=x|log2x1,xr,则“xa”是“xb”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题:计算题分析:利用绝对值不等式的解法与对数不等式的解法,我们易求出集合a,b,然后判断集合a,b的包含关系,再结合“谁小谁充分,谁大谁必要”的原则,即可得到“xa”是“xb”的什么条件解答:解:a=x|x1|1,xr=x|x11或x11=x|x2或x0,b=x|log2x1,xr=x|log2xlog22,xr=x|x2,ba“xa”是“xb”的必要不充分条件故选:b点评:本题考查的知识点是必要条件,充分条件与充要条件的判断,其中利用绝对值不等式的解法与对数不等式的解法,求出集合a,b,是解答本题的关键4(5分)若向量|=,|=2,(),则、的夹角是()abcd考点:平面向量数量积的运算 专题:平面向量及应用分析:利用数量积的定义、向量垂直与数量积的关系即可得出解答:解:向量|=,|=2,(),设向量与的夹角是=22cos=0,cos=,=故选:d点评:本题考查了数量积的定义、向量垂直与数量积的关系,属于基础题5(5分)设数列an的前n项和为sn,点(n,)(nn*)均在函数y=x+的图象上,则a2014=()a2014b2013c1012d1011考点:数列的求和 专题:等差数列与等比数列分析:由已知得sn=,从而a2014=s2014s2013,由此能求出结果解答:解:设数列an的前n项和为sn,点(n,)(nn*)均在函数y=x+的图象上,=,sn=,a2014=s2014s2013=()=2014故选:a点评:本题考查数列的第2014项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意数列的性质的合理运用6(5分)如果实数x,y满足不等式组,目标函数z=kxy的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为()a1b2c3d4考点:简单线性规划 专题:计算题;作图题;不等式的解法及应用分析:首先作出其可行域,再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值,解出k解答:解:作出其平面区域如右图:a(1,2),b(1,1),c(3,0),目标函数z=kxy的最小值为0,目标函数z=kxy的最小值可能在a或b时取得;若在a上取得,则k2=0,则k=2,此时,z=2xy在c点有最大值,z=230=6,成立;若在b上取得,则k+1=0,则k=1,此时,z=xy,在b点取得的应是最大值,故不成立,故选b点评:本题考查了简单线性规划的应用,要注意分类讨论,属于基础题7(5分)已知f(x),g(x)分别是定义在r上的偶函数和奇函数,且f(x)g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()a3b1c1d3考点:函数解析式的求解及常用方法;函数的值 专题:函数的性质及应用分析:将原代数式中的x替换成x,再结合着f(x)和g(x)的奇偶性可得f(x)+g(x),再令x=1即可解答:解:由f(x)g(x)=x3+x2+1,将所有x替换成x,得f(x)g(x)=x3+x2+1,根据f(x)=f(x),g(x)=g(x),得f(x)+g(x)=x3+x2+1,再令x=1,计算得,f(1)+g(1)=1故选:c点评:本题属于容易题,是对函数奇偶性的考查,在2015届高考中,函数奇偶性的考查一般相对比较基础,学生在掌握好基础知识的前提下,做题应该没有什么障碍本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于1也可以得到计算结果8(5分)函数f(x)=的图象大致是()abcd考点:函数的图象 专题:函数的性质及应用分析:由于函数f(x)=为偶函数,其图象关于y轴对称,可排除c、d,利用极限思想(如x0+,y+)可排除b,从而得到答案a解答:解:定义域为(,0)(0,+),f(x)=,=f(x),f(x)=f(x),f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,可排除c,d;又当x0时,cos(x)1,x20,f(x)+故可排除b;而a均满足以上分析故选a点评:本题考查奇偶函数图象的对称性,考查极限思想的运用,考查排除法的应用,属于中档题9(5分)在各项均为正数的等比数列an中,若am+1am1=2am(m2),数列an的前n项积为tn,若t2m1=512,则m的值为()a4b5c6d7考点:等比数列的前n项和 专题:等差数列与等比数列分析:由已知条件推导出am=2,从而tn=2n,由t2m1=512,得22m1=512=29,由此能求出结果解答:解:设数列an公比为qam1=,am+1=amq,am+1am1=2am,解得am=2,或am=0(舍),tn=2n,t2m1=512,22m1=512=29,2m1=9,解得m=5故选:b点评:本题考查实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用10(5分)已知函数f(x)=sin2xcos+cos2xsin,(xr),(zr)其中为实数,且f(x)f()对任意实数r恒成立,记p=f(),q=f(),r=f(),则p、q、r的大小关系是()arpqbqrpcpqrdqpr考点:两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象 专题:计算题;三角函数的图像与性质分析:根据两角和的正弦公式化简得f(x)=sin(2x+),结合题意可得f()=sin(+)=1达到f(x)的最大值,从而算出=,可得f(x)=sin(2x+)由此利用三角函数的诱导公式与正弦函数的单调性加以计算,即可得出p、q、r的大小关系解答:解:由题意,得f(x)=sin2xcos+cos2xsin=sin(2x+),f(x)f()对任意实数r恒成立,f()是函数f(x)的最大值,即f()=sin(2+)=1,可得+=+2k(kz),取k=0得=,f(x)=sin(2x+),由此可得p=f()=sin,q=f()=sin,r=f()=sin,sin=sin(+)=sin,sin=sin(+)=sin=sin,sin=sin(2+)=sin,sinsin0sin,即pqr故选:c点评:本题已知正弦型三角函数的最大值对应的x值,比较几个函数值的大小关系着重考查了三角函数的诱导公式、正弦函数的图象与性质等知识,属于中档题11(5分)已知函数f(x)=,且g(x)=f(x)mxm在(1,1内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是()a(,2(0,b(,2(0,c(,2(0,d(,2(0,考点:分段函数的应用 专题:函数的性质及应用分析:由g(x)=f(x)mxm=0,即f(x)=m(x+1),作出两个函数的图象,利用数形结合即可得到结论解答:解:由g(x)=f(x)mxm=0,即f(x)=m(x+1),分别作出函数f(x)和y=h(x)=m(x+1)的图象如图:由图象可知f(1)=1,h(x)表示过定点a(1,0)的直线,当h(x)过(1,1)时,m=此时两个函数有两个交点,此时满足条件的m的取值范围是0m,当h(x)过(0,2)时,h(0)=2,解得m=2,此时两个函数有两个交点,当h(x)与f(x)相切时,两个函数只有一个交点,此时,即m(x+1)2+3(x+1)1=0,当m=0时,x=,只有1解,当m0,由=9+4m=0得m=,此时直线和f(x)相切,要使函数有两个零点,则m2或0m,故选:a点评:本题主要考查函数零点的应用,利用数形结合是解决此类问题的基本方法12(5分)已知f(x)=x36x2+9xabc,abc,且f(a)=f(b)=(c)=0,现给出如下结论:f(0)=f(3);f(0)f(1)0;f(1)f(3)0;a2+b2+c2=18其中正确结论个数为()a1个b2个c3个d4个考点:二次函数的性质 专题:函数的性质及应用分析:根据f(x)=x36x2+9xabc,abc,且f(a)=f(b)=f(c)=0,确定函数的极值点及a、b、c的大小关系,由此可得结论解答:解:求导函数可得f(x)=3x212x+9=3(x1)(x3)当1x3时,f(x)0;当x1,或x3时,f(x)0所以f(x)的单调递增区间为(,1)和(3,+)单调递减区间为(1,3)所以f(x)极大值=f(1)=16+9abc=4abc,f(x)极小值=f(3)=2754+27abc=abc要使f(x)=0有三个解a、b、c,那么结合函数f(x)草图可知:a1b3c及函数有个零点x=b在13之间,所以f(1)=4abc0,且f(3)=abc0所以0abc4f(0)=abc,f(0)=f(3)f(0)0f(0)f(1)0,f(1)f(3)0,f(a)=f(b)=(c)=0,x36x2+9xabc=(xa)(xb)(xc)=x3(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)xabc,a+b+c=6,ab+ac+bc=9,把代入2得:a2+b2+c2=18;故答案为:点评:本题考查函数的零点、极值点,解不等式,综合性强,利用数形结合可以使本题直观二、填空题本大题共四小题,每小题5分13(5分)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+lna20=50考点:等比数列的性质 专题:计算题;等差数列与等比数列分析:直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5,然后利用对数的运算性质化简后得答案解答:解:数列an为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,a10a11=e5,lna1+lna2+lna20=ln(a1a2a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50故答案为:50点评:本题考查了等比数列的运算性质,考查对数的运算性质,考查了计算能力,是基础题14(5分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c已知bc=a,2sinb=3sinc,则cosa的值为考点:正弦定理 专题:解三角形分析:由条件利用正弦定理求得a=c,b=c再由余弦定理可得cosa= 的值解答:解:在abc中,bc=a,2sinb=3sinc,利用正弦定理可得2b=3c,求得a=c,b=c再由余弦定理可得 cosa=,故答案为:点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于基础题15(5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是(,2考点:复合三角函数的单调性 专题:函数的性质及应用;三角函数的图像与性质分析:利用二倍角的余弦公式化为正弦,然后令t=sinx换元,根据给出的x的范围求出t的范围,结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围解答:解:由f(x)=cos2x+asinx=2sin2x+asinx+1,令t=sinx,则原函数化为y=2t2+at+1x(,)时f(x)为减函数,则y=2t2+at+1在t(,1)上为减函数,y=2t2+at+1的图象开口向下,且对称轴方程为t=,解得:a2a的取值范围是(,2故答案为:(,2点评:本题考查复合函数的单调性,考查了换元法,关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置,是中档题16(5分)已知函数f(x)的定义域为,部分对应值如下表x1045f(x)1221f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示:下列关于f(x)的命题:函数f(x)是周期函数;函数f(x)在是减函数;如果当x时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a2时,函数y=f(x)a有4个零点;函数y=f(x)a的零点个数可能为0、1、2、3、4个其中正确命题的序号是考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数的周期性;函数的零点;利用导数研究函数的单调性 专题:阅读型分析:先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象,再借助与图象和导函数的图象,对五个命题,一一进行验证,对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案解答:解:由导函数的图象和原函数的关系得,原函数的大致图象可由以下两种代表形式,如图:由图得:为假命题函数f(x)不能断定为是周期函数为真命题,因为在上导函数为负,故原函数递减;为假命题,当t=5时,也满足x时,f(x)的最大值是2;为假命题,当a离1非常接近时,对于第二个图,y=f(x)a有2个零点,也可以是3个零点为真命题,动直线y=a与y=f(x)图象交点个数可以为0、1、2、3、4个,故函数y=f(x)a的零点个数可能为0、1、2、3、4个综上得:真命题只有故答案为:点评:本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系二者之间的关系是:导函数为正,原函数递增;导函数为负,原函数递减三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(11分)已知函数f(x)的定义域为(2,2),函数g(x)=f(x1)+f(32x)(1)求函数g(x)的定义域;(2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式g(x)0的解集考点:函数的定义域及其求法;函数单调性的性质;函数奇偶性的性质 专题:函数的性质及应用分析:(1)由题意知,解此不等式组得出函数g(x)的定义域(2)等式g(x)0,即 f(x1)f(32x)=f(2x3),有,解此不等式组,可得结果解答:解:(1)数f(x)的定义域为(2,2),函数g(x)=f(x1)+f(32x),x,函数g(x)的定义域(,)(2)f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,不等式g(x)0,f(x1)f(32x)=f(2x3),x2,故不等式g(x)0的解集是 (,2点评:本题考查函数的定义域的求法,利用函数的单调性和奇偶性解不等式,属于基础题18(10分)已知递增等比数列an的前n项和为sn,a1=1,且s3=2s2+1(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=2n1+an(nn*),且bn的前n项和tn求证:tn2考点:数列与不等式的综合;数列的求和 专题:等差数列与等比数列分析:(1)设公比为q,由题意1+q+q2=2(1+q)+1,由此能求出(2)由bn=2n1+an=2n1+2n1,=n2+2n1,由此能证明tn2解答:(1)解:设公比为q,由题意:q1,a1=1,则a2=q,s3=2s2+1,a1+a2+a3=2(a1+a2)+1,(2分)则1+q+q2=2(1+q)+1,解得:q=2或q=1(舍去),(4分)(2)证明:bn=2n1+an=2n1+2n1,(6分)=+=n2+2n1(8分)又在,kz(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,g(x)=cosx,f()=0,g(b)=,b=2,sin(a+)=0,cosb=,在abc中,角a、b、c的对边分别为a,b,c,a=,b=,b=2得:,即a=,点评:本题考查了向量在三角函数中的应用,结合正弦定理,三角函数的图象性质解决问题20(16分)已知命题:“xx|1x1,使等式x2xm=0成立”是真命题,(1)求实数m的取值集合m;(2)设不等式(xa)(x+a2)0的解集为n,若xn是xm的必要条件,求a的取值范围考点:复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法 专题:计算题分析:(1)利用参数分离法将m用x表示,结合二次函数的性质求出m的取值范围,从而可求集合m;(2)若xn是xm的必要条件,则mn分类讨论当a2a即a1时,n=x|2axa,当a2a即a1时,n=x|ax2a,当a=2a即a=1时,n=三种情况进行求解解答:解:(1)由x2xm=0可得m=x2x=1x1m=m|(2)若xn是xm的必要条件,则mn当a2a即a1时,n=x|2axa,则即当a2a即a1时,n=x|ax2a,则即当a=2a即a=1时,n=,此时不满足条件综上可得点评:本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解,集合之间包含关系的应用,体现了分类讨论思想的应用21(12分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的导函数()令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nn+,求gn(x)的表达式;()若f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;()设nn+,比较g(1)+g(2)+g(n)与nf(n)的大小,并加以证明考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性 专题:导数的综合应用分析:()由已知,可得用数学归纳法加以证明;()由已知得到ln(1+x)恒成立构造函数(x)=ln(1+x)(x0),利用导数求出函数的最小值即可;()在()中取a=1,可得,令则,n依次取1,2,3,然后各式相加即得到不等式解答:解:由题设得,()由已知,可得下面用数学归纳法证明当n=1时,结论成立假设n=k时结论成立,即,那么n=k+1时,=即结论成立由可知,结论对nn+成立()已知f(x)ag(x)恒成立,即ln(1+x)恒成立设(x)=ln(1+x)(x0),则(x)=,当a1时,(x)0(仅当x=0,a=1时取等号成立),(x)在有(x)0,(x)在(0,a1上单调递减,(a1)(0)=0即当a1时存在x0使(x)0,故知ln(1+x)不恒成立,综上可知,实数a的取值范围是(,1()由题设知,g(1)+g(2)+g(n)=,nf(n)=nln(n+1),比较结果为g(1)+g(2)+g(n)nln(n+1)证明如下:上述不等式等价于,在()中取a=1,可得,令则故有,ln3ln2,上述各式相加可得结论得证点评:本题考查数学归纳法;考查构造函数解决不等式问题;考查利用导数求函数的最值,证明不等式,属于一道综合题22(10分)如图,o和o都经过a,b两点,ac是o的切线,交o于点c,ad是o的切线,交o于点d,求证:ab2=bcbd考点:与圆有关的比例线段 专题:立体几何分析:由已知条件得acbdab,由此能证明ab2=bcbd解答:(本小题满分为8分)证明:因为ac是o的切线,ad是o的切线,所以1=c,2=d,(3分)所以acbdab,(4分)故,(6分)所以ab2=bcbd(8分)点评:本题考查ab2=bc

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