2015年全国高考新课标1卷文科数学试题(word文档完整版小题也有详解).doc

2015年全国高考新课标1卷文科数学试题一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x=3n+2, nN，B=6,8,10,12,14，则集合AB中的元素个数为( )A5 B4 C3 D22已知点A(0,1)，B(3,2)，向量，则向量( ) A(-7,-4) B(7,4) C(-1,4) D(1,4)3已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=( ) A-2-i B-2+i C2-i D2+i4如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A B C D5已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C: y2=8x，的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=( )A3 B6 C9 D12 6九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )A14斛 B22斛 C36斛 D66斛7已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8=4S4， 则a10=( )A B C10 D128函数f(x)=cos(x+)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( ) A BC D9执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=( ) A5 B6 C7 D8 10已知函数 ，且f(a)=-3，则f(6-a)=( ) A B C D11圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20，则r=( ) A1 B2 C4 D8 12设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1，则a=( )A-1 B1 C2 D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在横线上13数列an中，a1=2，an+1=2an，Sn为an的前n项和，若Sn=126，则n= .14已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1, f(1)的处的切线过点(2,7)，则a= .15若x,y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 16已知F是双曲线C:的右焦点，P是C左支上一点，当APF周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。17（本小题满分12分）已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边，sin2B=2sinAsinC.()若a=b，求cosB； ()若B=90，且a=， 求ABC的面积.18（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD，()证明：平面AEC平面BED；()若ABC=120，AEEC， 三棱锥E- ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.19（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi，和年销售量yi(i=1,2,3,8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.46.65636.8289.81.61469108.8表中()根据散点图判断，y=a+bx与，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；()根据()的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；()已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据()的结果回答下列问题：(1)当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？(2)当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？20（本小题满分12分）已知过点A(0, 1)且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.()求k的取值范围； ()，其中O为坐标原点，求|MN|.21（本小题满分12分）设函数f(x)=e2x-alnx.()讨论f(x)的导函数f (x)的零点的个数； ()证明：当a0时f(x).22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线C1: x=-2，圆C2: (x-1)2+(y-2)2=1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. ()求C1，C2的极坐标方程. ()若直线C3的极坐标方程为，设C2,C3的交点为M,N，求C2MN的面积.2015年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分D A C C B B B D C A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分136 141 154 16三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。17解：() 因为sin2B=2sinAsinC. 由正弦定理可得b2=2ac.又a=b，可得a=2c， b=2c，由余弦定理可得.()由()知b2=2ac. 因为B=90，所以a2+c2=b2=2ac.解得a=c=. 所以ABC的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18解：() BE平面ABCD，BEACABCD为菱形， BDAC，AC平面BED，又AC平面AEC，平面AEC平面BED. 6分()设AB=x，在菱形ABCD中，由ABC=120可得， AG=GC=，GB=GD=. 在RtAEC中，可得EG=.在RtEBG为直角三角形，可得BE=. 9分， 解得x =2.由BA=BD=BC可得AE= ED=EC=.AEC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.所以三棱锥E-ACD的侧面积为. 12分19解：() 由散点图可知适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型. 2分 ()设，则线性回归方程为y=c+d，由公式得=68，=563-686.8=100.6，所以y=100.6+68，所以y关于x的回归方程为。 6分() (1)当x=49时，年销售量的预报值y=100.6+687=576.6，年利润的预报值z=0.2576.6y-49=66.32， 9分(2)因为 所以当=6.8，即宣传费x=46.24千元时，年利润的预报值最大. 12分20解：()依题可设直线l的方程为y=kx+1，则圆心C(2,3)到的l距离. 解得.所以k的取值范围是.()将y=kx+1代入圆C的方程整理得 (k2+1)x2-4(k+1)x+7=0.设M(x1, y1),N(x2, y2)，则所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k (x1+x2)+1=12，解得k=1，所以l的方程为y=x+1.故圆心在直线l上，所以|MN|=2.21解：() f (x)=2e2x， x0 2分(1)若a0时，f (x)0在(0,+)恒成立，所以f (x)没有零点； 3分(2)若a0时，f (x)单调递增。当x 0, f (x) -；当x + ,f (x) +，所以f (x) 存在一个零点. 6分() 设f (x)的唯一零点为k，由()知(0, k)上，f (x)0，f(x)单调递增。所以f(x)取最小值f(k). 8分所以f(x)f(k)= e2k-alnk，又f (k)= 2e2k=0，所以e2k=，所以f(k)=，所以f(x). 12分22解：()将x=rcosq，y=rsinq代入可得C1的极坐标方程为rcosq=-2，C2的极坐标方程为r2-2r cosq-4r sinq+4 =0. 5分()将代入C2极坐标方程可得解得r=或 r=，|MN|=，因为圆C2的半径为1，所以C2MN的面积. 10分2015年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x=3n+2, nN，B=6,8,10,12,14，则集合AB中的元素个数为( )DA5 B4 C3 D22已知点A(0,1)，B(3,2)，向量，则向量( )A A(-7,-4) B(7,4) C(-1,4) D(1,4)3已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=( )CA-2-i B-2+i C2-i D2+i4如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )CA B C D5已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C: y2=8x，的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=( )BA3 B6 C9 D12 6九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )BA14斛 B22斛 C36斛 D66斛7已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8=4S4， 则a10=( )BA B C10 D128函数f(x)=cos(x+)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )D A BC D9执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=( )C A5 B6 C7 D8 10已知函数 ，且f(a)=-3，则f(6-a)=( )AA B C D11圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20，则r=( )B A1 B2 C4 D8 12设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1，则a=( )CA-1 B1 C2 D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在横线上13数列an中，a1=2，an+1=2an，Sn为an的前n项和，若Sn=126，则n= .614已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1, f(1)的处的切线过点(2,7)，则a= .115若x,y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 416已知F是双曲线C:的右焦点，P是C左支上一点，当APF周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。17（本小题满分12分）已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边，sin2B=2sinAsinC.()若a=b，求cosB； ()若B=90，且a=， 求ABC的面积.解：() 因为sin2B=2sinAsinC. 由正弦定理可得b2=2ac.又a=b，可得a=2c， b=2c，由余弦定理可得.()由()知b2=2ac. 因为B=90，所以a2+c2=b2=2ac.解得a=c=. 所以ABC的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD，()证明：平面AEC平面BED；()若ABC=120，AEEC， 三棱锥E- ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.解：() BE平面ABCD，BEACABCD为菱形， BDAC，AC平面BED，又AC平面AEC，平面AEC平面BED. 6分()设AB=x，在菱形ABCD中，由ABC=120可得， AG=GC=，GB=GD=. 在RtAEC中，可得EG=.在RtEBG为直角三角形，可得BE=. 9分， 解得x =2.由BA=BD=BC可得AE= ED=EC=.AEC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.所以三棱锥E-ACD的侧面积为. 12分考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi，和年销售量yi(i=1,2,3,8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.46.65636.8289.81.61469108.8表中()根据散点图判断，y=a+bx与，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；()根据()的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；()已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据()的结果回答下列问题：(1)当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？(2)当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？解：() 由散点图可知适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型. 2分 ()设，则线性回归方程为y=c+d，由公式得=68，=563-686.8=100.6，所以y=100.6+68，所以y关于x的回归方程为。 6分() (1)当x=49时，年销售量的预报值y=100.6+687=576.6，年利润的预报值z=0.2576.6y-49=66.32， 9分(2)因为 所以当=6.8，即宣传费x=46.24千元时，年利润的预报值最大. 12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20（本小题满分12分）已知过点A(0, 1)且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.()求k的取值范围； ()=12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：()依题可设直线l的方程为y=kx+1，则圆心C(2,3)到的l距离. 解得.所以k的取值范围是.()将y=kx+1代入圆C的方程整理得 (k2+1)x2-4(k+1)x+7=0.设M(x1, y1),N(x2, y2)，则所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k (x1+x2)+1=12，解得k=1，所以l的方程为y=x+1.故圆心在直线l上，所以|MN|=2.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力21（本小题满分12分）设函数f(x)=e2x-alnx.()讨论f(x)的导函数f (x)的零点的个数； ()证明：当a0时f(x).解：() f (x)=2e2x， x0 2分(1)若a0时，f (x)0在(0,+)恒成立，所以f (x)没有零点； 3分(2)若a0时，f (x)单调递增。当x 0, f (x) -；当x + ,f (x) +，所以f (x) 存在一个零点. 6分() 设f (x)的唯一零点为k，由()知(0, k)上，f (x)0，f(x)单调递增。所以f(x)取最小值f(k). 8分所以f(x)f(k)= e2k-alnk，又f (k)= 2e2k=0，所以e2k=，所以f(k)=，所以f(x). 12分考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB是圆O直径，AC是圆O切线，BC交圆O与点E.()若D为AC中点，求证：DE是圆O切线；()若OA=CE，求ACB的大小.解：()连结AE，AB是圆O直径，AEBC，又ACAB，在RtAEC中，由已知得DE=DC，DEC=DCE，连结OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE是圆O的切线. 5分()设CE=1，AE=x，由已知得AB=，由射影定理可得，解得x =，ACB=60. 10分考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线C1: x=-2，圆C2: (x-1)2+(y-2)2=1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. ()求C1，C2的极坐标方程. ()若直线C3的极坐标方程为，设C2,C3的交点为M,N，求C2MN的面积.解：()将x=rcosq，y=rsinq代入可得C1的极坐标方程为rcosq=-2，C2的极坐标方程为r2-2r cosq-4r sinq+4 =0. 5分()将代入C2极坐标方程可得解得r=或 r=，|MN|=，因为圆C2的半径为1，所以C2MN的面积. 10分考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲已知函数f(x)=| x+1| -2|x-a|. a0.()当a=1 时求不等式f(x)1 的解集；()若f(x)图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.解：() 当a=1 时不等式f(x)1可化为| x+1| -2|x-1|1即解得或，即。所以所求不等式的解集为 5分()依题f(x)=， 所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，所以ABC的面积为. 由题设得6，解得a2. 所以a的取值范围为(2,+). 10分考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法小题详解一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x=3n+2, nN，B=6,8,10,12,14，则集合AB中的元素个数为( ) DA5 B4 C3 D2解： AB=8,14，故选D.2已知点A(0,1)，B(3,2)，向量，则向量( ) AA(-7,-4) B(7,4) C(-1,4) D(1,4)解：=(-7,-4)，故选A3已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=( ) CA-2-i B-2+i C2-i D2+i解： z=，故选C4如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) CA B C D解：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，1种，故所求概率为，故选C5已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C: y2=8x，的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=( ) BA3 B6 C9 D12 解：抛物线的焦点为(2,0)，准线为x=-2，所以c=2，从而a=4，所以b2=12，所以椭圆方程为，将x=-2代入解得y=3，所以|AB|=6，故选B6九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( ) BA14斛 B22斛 C36斛 D66斛解：设圆锥底面半径为r，依题，所以米堆的体积为，故堆放的米约为1.6222，故选B.7已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8=4S4， 则a10=( ) BA B C10 D12解：依题，解得=，故选B.8函数f(x)=cos(x+)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( ) D A BC D解：依图，解得=， ， ，解得，故选D.9执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=( ) C A5 B6 C7 D8 解：运行程序，S,m,n依次是()，()， ()，()，()， ()，()，故选C10已知函数 ，且f(a)=-3，则f(6-a)=( ) AA B C D解：f(a)=-3，当a1时，f(a)=2a-1-2=-3，则2a-1=-1，无解。当a1时，f(a)=-log2(a+1) =-3，则a+1=8，解得a=7，f(6-a)=f(-1)= 2-2-2=，故选A.11圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所