线性代数第一章习题解答.pdf

第一章第一章 行列式行列式 习习 题题 一一 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 1 381 141 102 2 bac acb cba 3 222 111 cba cba 4 yxyx xyxy yxyx 解 1 381 141 102 1 4 18 1 2310 811 1 1 03 4 2 416824 4 2 bac acb cba cccaaabbbcbabacacb 333 3cbaabc 3 222 111 cba cba 222222 cbbaacabcabc accbba 4 yxyx xyxy yxyx yxyxyxyxyyxx 333 xyxy 333223 33 3xyxxyyxyyxxy 2 33 yx 1 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 1 1234 2 4132 3 3421 4 2413 5 13 24 12 n 2 n 6 13 2 12 n 2 n 22 n 解 1 逆序数为 0 2 逆序数为 4 41 43 42 32 3 逆序数为 5 32 31 42 41 21 4 逆序数为 3 21 41 43 5 逆序数为 2 1 nn 32 1 个 52 54 2 个 72 74 76 3 个 12 n2 4 6 12 n 12 n 12 n 22 n 个 1 n 6 逆序数为 1 nn 32 1 个 52 54 2 个 12 n2 4 6 12 n 12 n 12 n 22 n 个 1 n 42 1 个 62 64 2 个 2 n2 4 6 2 n 2 n 2 n 22 n 个 1 n 3 写出四阶行列式中含有因子的项 2311a a 解 由定义知 四阶行列式的一般项为 其中 4321 4321 1 pppp t aaaa t为的逆序数 4321 pppp 由于已固定 只能形如13 3 1 21 pp 4321 pppp 2 即 1324 或 1342 对应的t分别为 10100 或22000 44322311 aaaa 和为所求 42342311 aaaa 4 计算下列各行列式 1 7110 02510 2021 4214 2 2605 2321 1213 1412 3 efcfbf decdbd aeacab 4 d c b a 100 110 011 001 解 1 7110 02510 2021 4214 34 32 7cc cc 0100 142310 2021 10214 34 1 14310 221 1014 14310 221 1014 32 1 1 32 cc cc 141717 200 1099 0 2 2605 2321 1213 1412 24 cc 2605 0321 2213 0412 24 rr 0412 0321 2213 0412 14 rr 0000 0321 2213 0412 0 或者 0 2605 2321 2605 2321 2605 2321 1213 1412 12 rr 3 efcfbf decdbd aeacab ecb ecb ecb adf 111 111 111 adfbce abcdef4 3 4 d c b a 100 110 011 001 21 arr d c b aab 100 110 011 010 12 1 1 d c aab 10 11 01 23 dcc 010 11 1 cdc adaab 23 1 1 cd adab 11 1 1 adcdababcd 5 解下列方程 1 0 111 112 121 x x x 2 0 1111 3333 2222 cbax cbax cbax 解 1 111 112 121 x x x 111 112 033 21 x x xx rr 111 112 011 3 x xx0 3 3 2 xx 3 3 x 2 3333 2222 1111 cbax cbax cbax 0 bcacabxcxbxa cbax 6 证明 1 111 22 22 bbaa baba 3 ba 4 2 bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax yxz xzy zyx ba 33 3 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2222 2222 2222 2222 dddd cccc bbbb aaaa 4 4444 2222 1111 dcba dcba dcba dbcbdacaba dcbadc 5 1221 1000 0010 0001 axaaaa x x x nnn L L LLLLLL L L nn nn axaxax 1 1 1 L 证明 1 左边 001 222 2222 13 12 ababa abaaba cc cc abab abaab 22 1 222 13 21 aba abab 3 ba右边 2 左边 bzaybyaxbx byaxbxazbz bxazbzayby bzaybyaxaz byaxbxazay bxazbzayax zyx yxz xzy b yxz xzy zyx a bzyx byxz bxzy b yaxz xazy zayx a 3322 yxz xzy zyx ba 33 右边 注 如果只拆为两个行列式是错误的 事实上全部拆开应有 8 个行列式 只是其中有 6 5 个为 0 尽管如此 为了表示清楚就必须将 8 个全部写出 显然会使人眼花缭乱 这种方法 不好 最好一步一步运算给出 3 左边 2222 2222 2222 2222 3 2 12 3 2 12 3 2 12 3 2 12 ddddd ccccc bbbbb aaaaa 964412 964412 964412 964412 2 2 2 2 14 13 12 dddd cccc bbbb aaaa cc cc cc 9644 9644 9644 9644 2 2 2 2 2 dddd cccc bbbb aaaa 分成二项 按第二列 分成二项 按第二列 96441 96441 96441 96441 2 2 2 2 ddd ccc bbb aaa 94 94 94 94 9 4 6 4 2 2 2 2 24 23 24 23 dd cc bb aa cc cc cc cc 第二项 第一项 第二项 第一项 0 641 641 641 641 2 2 2 2 ddd ccc bbb aaa 4 法 1 224224224 222 4444 2222 0 0 0 11111111 dadcacbab addaccabb adacab dcba dcba dcba 111 222 dadaccbab dcbadacab 0 0 111 22 babddadbabcacc bdbcadacab 22 babddadbabcacc bdbc adacab abdaddbdabcaccbc bdbc adacab 223223 6 adbddacbcc bdbcadacab 11 cdbdbcadacabdcba 44444 33333 22222 11111 xdcba xdcba xdcba xdcba xf 法 2 作行列式 多项式 我们要求的证明的行列式D正 是x3位置的余子式 因此对该行列式以第五列展开 则 GCxBxDxAxxf 23544 1 也即我们要求的D是多项式f x 中x3系数的负值 另一方面 f x 是一范得蒙得行列式 故 dxcxcdbxbdbcaxadacabxf dxcxbxaxcdbdbcadacab f x 中x3的系数除 b a c a d a c b d b d c 之外 还有因子为 x a x b x c x d 中出 现x3 任取三项含x剩余另一项用常数相乘得到 所对应的系数 即 b a c a d a c b d b d c a b c d b a c a d a c b d b d c a b c d D b a c a d a c b d b d c a b c d D 5 用数学归纳法证明 当 n 2 时 21 2 12 2 1 axax axa x D 命题成立 假设对于阶行列式命题成立 即 1 n 12 2 1 1 1 nn nn n axaxaxDL Dn按第一列展开 111 001 0001 1 1 1 x x axDD n nnn L LLLLL L L nn axD 1 右边 所以 对于 n 阶行列式命题成立 7 7 设 n 阶行列式 把 det ij aD D上下翻转 或逆时针旋转 或依副对角线翻转 o 90 依次得 n nnn aa aa D 111 1 1 L MLM L 111 1 2 n nnn aa aa D L MLM L 111 1 3 aa aa D n nnn L MLM L 证明DDDDD nn 3 2 1 21 1 证明 det ij aD n nnnn nnnn aaa aaa aaa D 11211 12111 21 1 L LLLL L L n nnnn n n aaa aaa aaa 22221 21 11211 1 1 L LLLL L L D aaa aaa aaa nn nnnn nnn 2 1 1 1 21 22221 111111 122 1 L LLLL L L L 12111 1 1 21 1 21 2 n nnnn nnnn aaa aaa aaa D L LLLL L L nnnn n n aaa aaa aaa nn L LLLL L L 21 22212 12111 2 1 1 D nn 2 1 1 111 11 1 11 11 1 1 3 D aaa aaa aaa nn nnnnn nnnnn L LLLL L L 11 211 1 121 1 21 2 1 1 n nnnn nnnn nn aaa aaa aaa L LLLL L L D aaa aaa aaa nnnn n n nnnn L LLLL L L 21 22212 12111 2 1 2 1 1 1 8 计算下列各行列式 为 k 阶行列式 k D 1 a a Dn 1 1 O 其中对角线上元素都是 未写出的元素都是 0 a 8 2 xaa axa aax Dn L LLLL L L 3 111 1 1 1 111 1 L L L LLL L L naaa naaa naaa D nnn nnn n 提示 利用范德蒙德行列式的结果 4 nn nn n dc dc ba ba D ON NO 0 00 0 11 11 2 5 jiaaD ijijn 其中 其中 det 6 n n a a a D 111 111 111 2 1 L LLLL L L 0 21 n aaaL其中其中 解 1 a a Dn 1 1 O 1 1 1 00 00 100 1 00 00 00 n n n a a a a a a L LLLL L L L L LLLL L 第一列展开第一列展开 22 1 11 1 1 nnnnnn aaaa 再展一次第二个行列式按第一行再展一次第二个行列式按第一行 注 n 2 时 1 1 1 2 a a a 2 n xaanx axanx aaanx j cc nj xaaa axaa aaxa aaax L L LLLL L L L L LLLLL L L 1 1 1 1 2 9 1 1 00 00 1 1 2 n axanx n ax ax aaanx r i r ni L L LLLL L L 3 从第行开始 第行经过次相邻对换 换到第 1 行 第行经次对换换 到第 2 行 经 1 n1 nnn 1 n 2 1 1 1 nn nnL次行交换 得 nnn nnn nn n naaa naaa naaa D 1 1 1 111 1 111 2 1 1 L L L LLL L L 此行列式为范德蒙德行列式 11 2 1 1 1 1 1 jin nn n jaiaD 11 2 1 1 2 1 11 2 1 1 1 1 jin nn nn jin nn jiji L 11 jin ji 1 2 1 nn 4 nn nn n dc dc ba ba D 0 0 0 11 11 2 ON NO n nn nn n d dc dc ba ba a 0 0 0 0 00 00 11 11 11 11 L ON M NO 展开 按第一行 展开 按第一行 00 00 00 1 11 11 11 11 12 c dc dc ba ba n nn nn n n b ON NO 2222 nnnnnn DcbDda都按最后一行展开都按最后一行展开 10 由此得递推公式 222 nnnnnn DcbdaD 即 n i iiiin DcbdaD 2 22 而 1111 11 11 2 cbda dc ba D 得 n i iiiin cbdaD 1 2 5 jiaij 04321 40123 31012 22101 13210 det L LLLLLL L L L L nnnn n n n n aD ijn L 32 21 rr rr 04321 11111 11111 11111 11111 L LLLLLL L L L L nnnn L 14 1312 cc cccc 15242321 02221 00221 00021 00001 nnnnnL LLLLLL L L L L 21 2 1 1 nn n 6 n n a a D a 111 111 111 2 1 L LLLL L L n a a a 10101 111 111 2 1 L LLLL L L 为两个行列式 按最后一行拆开 为两个行列式 按最后一行拆开 111 111 111 2 1 L LLLL L L a a n a a a L LLLL L L 00 111 111 2 1 n a a 111 00 00 2 1 L LLLL L L 1n 1 2 1 111 111 111 n n a a a a L LLLL L L 121 n aaaL 1 nnD a 121 n aaaL 2121 nnnn DaaaaL 11 121 n aaaL 2121 nnnnn Daaaaa L n i nin aaaaaa 1 121 LL 1 1 1 21 n i i n a aaaL 9 设 3351 1102 4315 2113 D D的 i j 元的代数余子式记作Aij 求A11 3A12 2A13 2A14 解 A11 3A12 2A13 2A14 3351 1102 4315 2231 5180 5360 613160 2231 518 536 61316 24 10 用克莱姆法则解下列方程组 01123 2532 242 5 1 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 15 065 065 065 165 2 54 543 432 321 21 xx xxx xxx xxx xx 解 1 11213 5132 4121 1111 D 8120 7350 3210 1111 14500 81300 3210 1111 142 142000 54100 3210 1111 11210 5132 4122 1115 1 D 11210 5132 9050 1115 11210 233130 9050 9151 12 233130 9050 11210 9151 1202300 461000 11210 9151 142000 38100 11210 9151 142 11203 5122 4121 1151 2 D 81150 73120 3270 1151 313900 112300 2310 1151 284 284000 19100 2310 1151 426 11013 5232 4221 1511 3 D 142 0213 2132 2121 5111 4 D 1 3 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x 34445 65 510 651 065 65 5100 6510 0651 0006 5 51000 65100 06510 00651 00065 2DDDDD 211150 51 65 1930196 65 565 12212234 DDDDDDDD 6530 51 65 565 123 DDD 665656211565 345 DDDD 15076 51001 65100 06510 00650 00061 4 41 DD 13 5101 6510 0650 0001 5101 6510 0650 0060 5 51010 65100 06500 00601 00