函数的概念教案.doc

函数的概念（一）主要知识：1对应、映射、像和原像、一一映射的定义:设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射。其中y称为元素x（在映射f下）的像，元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像。； 2函数的传统定义和近代定义；3函数的三要素及表示法（二）主要方法：1对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；3理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系（三）例题分析：例1（1），；（2），；（3），上述三个对应（2）是到的映射例2已知集合，映射，在作用下点的象是，则集合 （ ） 解法要点：因为，所以例3设集合，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是 （ ）8个 12个 16个 18个解法要点：为奇数，当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法故映射的个数是例4矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；（2）求的最大值解：（1），函数的解析式：；（2）在上单调递增，即的最大值为例5函数对一切实数，均有成立，且，（1）求的值；（2）对任意的，都有成立时，求的取值范围解：（1）由已知等式，令，得，又，（2）由，令得，由（1）知，在上单调递增，要使任意，都有成立，当时，,显然不成立当时，解得的取值范围是（四）巩固练习：1给定映射，点的原象是或2下列函数中，与函数相同的函数是 （ ） 3设函数，则函数的解析式及定义域（一）主要知识：1函数解析式的求解；2函数定义域的求解（二）主要方法：1求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等2求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出（三）例题分析：例1已知函数的定义域为，函数的定义域为，则 （ ）解法要点：，令且，故例2（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求解：（1），（或）（2）令（），则，（3）设，则，（4） ， 把中的换成，得 ，得，注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法例3设函数，（1）求函数的定义域；（2）问是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由解：（1）由，解得 当时，不等式解集为；当时，不等式解集为，的定义域为（2）原函数即，当，即时，函数既无最大值又无最小值；当，即时，函数有最大值，但无最小值例4：已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值证明：；求的解析式；求在上的解析式解：是以为周期的周期函数，又是奇函数，当时，由题意可设，由得，是奇函数，又知在上是一次函数，可设，而，当时，从而当时，故时，当时，有，当时，例5我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费基本费超额费损耗费若每月用水量不超过最低限量时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费元；若用水量超过时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每付元的超额费已知每户每月的定额损耗费不超过5元该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：月份用水量水费（元）1239152291933根据上表中的数据，求、解：设每月用水量为，支付费用为元，则有由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15，22均大于最低限量，于是就有，解之得，从而 再考虑一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设，将代入（2）式，得，即，这与（3）矛盾从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有，得故，（四）巩固练习：1已知的定义域为，则的定义域为2函数的定义域为函数的值域（一）主要知识：1函数的值域的定义；2确定函数的值域的原则；3求函数的值域的方法（二）主要方法（范例分析以后由学生归纳）： 求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等（三）例题分析：例1求下列函数的值域：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法），的值域为改题：求函数，的值域解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为函数，的值域为（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为 又，故，的值域为（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，原函数的值域为（法二）分离变量法：，函数的值域为（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为说明：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为（6）数形结合法：，函数值域为（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为（8），当且仅当时，即时等号成立，原函数的值域为（9）（法一）方程法：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为（法二）数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略例2若关于的方程有实数根，求实数的取值范围解：原方程可化为，令，则，又在区间上是减函数，即，故实数的取值范围为：例3某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用万元之间满足：与成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等（1）将2003年的年利润万元表示为年促销费万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润收入生产成本促销费）解：（1）由题设知：，且时，即，年生产成本为万元，年收入为年利润，（2）由（1）得，当且仅当，即时，有最大值当促销费定为万元时，年该化妆品企业获得最大利润（四）巩固练习：1函数的值域为2若函数在上的最大值与最小值之差为2，则函数的奇偶性 （一）主要知识：1函数的奇偶性的定义； 2奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3为偶函数4若奇函数的定义域包含，则（二）主要方法：1判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； 2牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；3判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，4设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇5注意数形结合思想的应用 （三）例题分析：例1判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，为非奇非偶函数（2）由得定义域为， 为偶函数（3）当时，则，当时，则，综上所述，对任意的，都有，为奇函数例2已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称在中，令，得，令，得，即， 是奇函数（2）由，及是奇函数，得例3（1）已知是上的奇函数，且当时，则的解析式为（2）已知是偶函数，当时，为增函数，若，且，则 （ ） . . . . 例4设为实数，函数， （1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值解：（1）当时，此时为偶函数； 当时，此时函数既不是奇函数也不是偶函数（2）当时，函数，若，则函数在上单调递减，函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且；若，则函数在上单调递增，函数在上的最小值综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当，函数的最小值是例5已知是定义在实数集上的函数，满足，且时，（1）求时，的表达式；（2）证明是上的奇函数函数的单调性 （一）主要知识：1函数单调性的定义； 2判断函数的单调性的方法；求函数的单调区间；3复合函数单调性的判断（二）主要方法：1讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数3注意函数的单调性的应用；4注意分类讨论与数形结合的应用 （三）例题分析：例1（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性解：（1）单调增区间为：单调减区间为，（2）， 令 ，得或，令 ，或单调增区间为；单调减区间为例2设，是上的偶函数（1）求的值；（2）证明在上为增函数解：（1）依题意，对一切，有，即对一切成立，则，（2）设，则，由，得，即，在上为增函数例3若为奇函数，且在上是减函数，又，则的解集为例4已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）