二次函数义-刘超.doc

中小学1对1课外辅导专家精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：初三 课时数： 3课时学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：刘 超课 题二次函数及其图像授课日期及时段教学目标 重点、难点考点：（1）二次函数的概念及列关系式 （2）y=ax2（a0的图像及性质） （3）二次函数y=ax2+k（a0）的图像及性质 （4）二次函数y=a（x-h）2（a0）的图像及性质重点：（1）会根据题意列二次函数关系式 （2）会用列表法画特殊二次函数的图像并能总结其性质难点：二次函数性质的理解及应用教学内容【考点归纳】考点一：二次函数的概念知识提炼：(1) 形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数.例如：y=x2-2x-3，y=2x2+x，y=-3x2+1等，都是x的二次函数.(2) 等号左边是y，右边是x的二次多项式，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。(3) 任何一个二次函数的解析式，都可以化成y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a0)的形式，因此，把y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a0)叫做二次函数的一般式.示例一：下列函数：y=3x2+2x-1；y=2x2+x(1-2x)；y=x2-；y=x3+x2+2；y=-2x2+6；y=mx2+2x-1； y=x3-x（x2+x-3）；y=（a2+1）x2+bx+2中，是x的二次函数的是_（只填写序号即可）.考点二：二次函数y=ax2的图像及性质知识提炼：(1) 图像：二次函数y=ax2 (a0)的图像是一条抛物线，其对称轴是y轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点坐标是（0，0）.(2) 性质：二次函数y=ax2 (a0)的性质如下表.函数a的符号图像开口方向顶点坐标对称轴函数值得变化最值y=ax2(a0)a0yx0向上(0,0)y轴x0,y随x的增大而增大；x0,y随x的增大而减小当x=0时，y最小=0a0yx0向下(0,0)y轴x0,y随x的增大而减小；x0,y随x的增大而增大当x=0时，y最大=0（3）抛物线y=ax2(a0)的开口大小由a决定，a越大，抛物线的开口越窄；a越小，抛物线的开口越宽.示例二：已知（-2，y1），（-1，y2）两点都在函数y=-3x2的图像上，试比较y1和 y的大小示例三：已知函数y=(n+2) +n-4是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的n的值.（2）n为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，并求y随x的增大而增大的x的取值范围.（3）n为何值时，函数有最大值？最大值是多少？并求出y随x的增大而减小的x的取值范围.考点三：二次函数y=ax2+k的图像及性质知识提炼：(1) 二次函数y=ax2+k(a0)的图像与y=ax2的图像形状相同，只是位置不同，也就是说平移后图像可以重合.当k0时，抛物线y=ax2向上平移k个单位，得到y=ax2+k的图像；当k0时，抛物线y=ax2向下平移k个单位，得到y=ax2+k的图像，规律为“上加下减”.(2) 性质：二次函数y=ax2+k (a0)的性质如下表.函数a的符号图像开口方向顶点坐标对称轴函数值得变化最值y=ax2+k(a0)a00xy向上(0,k)y轴x0,y随x的增大而增大；x0,y随x的增大而减小当x=0时，y最小=ka0x0y向下(0,k)y轴x0,y随x的增大而减小；x0,y随x的增大而增大当x=0时，y最大=k示例四：抛物线y=x2-1的顶点坐标是（）A（0，1） B. （0，-1） C. （1，0） D. （-1，0）示例五：抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（）Ay=2x2+5 B. y=2x2-5 C. y=2(x+5)2 D. y=2(x-5)2考点四：二次函数y=a（x-h）2的图像及性质知识提炼：(1) 二次函数y=a(x-h)2 (a0)的图像可以由y=ax2向左或向右平移得到.当h0时，抛物线y=ax2向右平移h个单位，得到y=a(x-h)2的图像；当h0时，抛物线y=ax2向左平移h个单位，得到y=a(x-h)2的图像.(2) 性质：二次函数y=a(x-h)2 (a0)的性质如下表.函数a的符号图像开口方向顶点坐标对称轴函数值得变化最值y=a(x-h)2 (a0)a00xy向上(h,0)直线x=hxh,y随x的增大而增大；xh,y随x的增大而减小当x=h时，y最小=0a0x0y向下(h,0)直线x=hxh,y随x的增大而减小；xh,y随x的增大而增大当x=h时，y最大=0示例六：将抛物线y=-x2向右平移2.6个单位可得抛物线_，所得抛物线的开口是_,对称轴是_,顶点坐标是_.【综合应用题】yx0yx0yx0例1 在同一直角坐标系中，函数y=ax2与y=ax+a的图像大致是图中的（）yx0A. B. C. D.例2. 试说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y=-x2得到抛物线y=-x2-2？如果要得到抛物线y=-x2+4，应将抛物线y=-x2-2作怎样的平移？函数y=3(x+)2的图像可由y=3x2的图像怎样平移得到？它的开口方向、对称轴、顶点分别是什么？例3. 能否适当地左右平移y=x2的图像，使得到的新的图像过点（4，2）？若能，说出平移方向和距离；若不能，说明理由例4. 函数y=ax2(a0)与直线y=2x-3交于点（1，b）.（1）求a和b的值.（2）求抛物线y=ax2的关系式，并求顶点坐标和对称轴.（3）x取何值时，二次函数y=ax2中y随x的增大而增大？（4）求抛物线与直线y=-2的两交点及顶点构成的三角形的面积.例5. 一个函数图像是一条以y轴为的对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A（-2，2）.（1） 求这个函数的关系式（2） 画出函数图像（3） 写出抛物线上与A点关于y轴对称的点B的坐标，并计算AOB的面积（4） 在抛物线上是否存在着点C，使ABC的面积等于OAB的面积的一半？如果存在，求出C点坐标；如果不存在，请说明理由.【考场练兵】1. （1）下列函数中是二次函数的是（ ）Ay=3-x2 B. y=x2- C. y=(x-3)2-x2 D. y=x3-2x2+1（2）若函数y=(m2+m)是二次函数，那么m的值是（ ） A 2 B. -1或3 C. 3 D. -1 （3）给出下列函数：y=2x；y=-2x+1；y=（x0）；y=x2（x0）.其中，y随x的增大而减小的函数是（ ） A B. C. D. 2. （1）关于函数y=2x2-8，下列叙述错误的是（ ）A函数图像的最低点为（0，-8） B. 函数图像与x轴的交点为（2，0）、（-2，0C. 将函数y=2x2-8的图像向上平移8个单位得到函数y=2x2的图像 D. 抛物线y=2x2-8关于x轴对称的是抛物线y=-2x2-8（2）函数y=ax2+a(a0)与y=(a0)在同一坐标系中的图像可能是（ ）yx0yx0yx0yx0 A B. C. D. （3）已知二次函数y=ax2+c，当x分别取x1、x2（x1x2）时函数值相等，当x= x1+x2时，函数值为（ ） A a+c B. a-c C. a D. c3. （1）抛物线y=4（x-6）2的顶点坐标是（ ）A（6，0） B.（-6，0） C.（0，6） D. （0，-6）（2）将抛物线y=6x2向左平移4个单位得到抛物线（ ） Ay=6x2+4 B. y=6x2-4 C. y=6(x+4)2 D. y=6(x-4)2 （3） 已知函数y=x2-4的图像上有三个点A（-，y1）、B（-2，y2）、C（，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ） A y1y2y3 B. y2y1y3 C. y3y1y2 D. y3y2y1yx0yx0yx0yx0（4）在平面直角坐标系中，函数y=-x+1与y=-（x-1）2的图像大致是（ ） A B. C. D. 4. 下列抛物线中，开口最大的是（ ）Ay=3x2 B. y=-3x2 C. y=x2 D. y=-x2PQB5. （1）将抛物线y=3x2-4在平面直角坐标系内绕顶点旋转180，所得抛物线的解析式为_.（2）如图所示，已知等腰直角ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为_.CNAM（3）（2009上海）将抛物线y=x2-2向上平移1个单位后，得一条新的抛物线，则 新的抛物线的表达式是_.（4）如图所示，抛物线y1的顶点在原点，并过A（-1，-1），抛物线y2是y1向上平移2个单位而成的，则y2=_.6. （1）将抛物线y=-（x+）2向左平移3个单位后，所的抛物线解析式为_.yx0（2）抛物线_与抛物线y=-（x-2）2关于x轴对称；抛物线_关于y=(x+2)2关于y轴对称. （3）某抛物线和抛物线y=-3x2的图像形状相同，对称轴平行于y轴，且顶点为（-1，0），则此抛物线的关系式为_.7. 二次函数y=m在其图像对称轴的左侧，y随x的增大而增大，求m的值.8. 说出下列函数图像的对称轴、顶点坐标与开口方向.（1） y=3（x+2）2（2） y=-3（x-2）2（3） y=-3x2-2.CBA0yx9. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c(a0)的图像过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是_10. 已知点A（1，a）在抛物线y=x2上.（1） 求A点坐标（2） 在x轴上是否存在点P，使得OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。11. 已知抛物线y=（m-1）x2+m2-2m-2的开口向下，且过点（0，1）.（1） 求m的值（2） 求抛物线的顶点坐标及对称轴（3） 当x为何值时，y随x的增大而增大12. 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=-x2+3.5运行，然后准