多普勒效应是如何测速的——从一道竞赛题谈起.doc

多普勒效应是如何测速的从一道竞赛题谈起索杨军2015年2月16日一、什么是多普勒效应当火车迎面驶来时，听到的汽笛声变高；而车离去时，听到的汽笛声变低。这个现象和医院使用的彩超同属一个原理，那就是“多普勒效应”。多普勒效应（Doppler effect）是为了纪念奥地利物理学家、数学家多普勒（Christian Johann Doppler）而命名的，他于1842年首先发现并提出了这一理论。多普勒效应是指：当观察者或波源或它们二者均对介质运动时，观察者接收到的频率跟波源发射的频率一般是不同的。电磁波的传播虽然不需要介质，但也存在着多普勒效应。频率偏高简称蓝移，频率偏低简称红移。波发生的蓝（红）移的程度，跟观察者或波源相对于介质的运动有关，也就是说，存在着一定的对应关系，所以根据蓝（红）移的程度，当然可以计算出观察者或波源的运动速度。那么多普勒效应究竟是如何测速的？让我们由浅入深，从天才的小学生都能看懂的一道中学物理竞赛题谈起，逐步深究，解开其神秘的面纱。二、竞赛题的求解测速仪图AfPfN如图A是在高速公路上用超声波测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波脉冲串，根据发出和接收的脉冲串的时间差，就可测出汽车的速度。图B中P1、P2是测速仪连续发出的两个超声波信号簇，N1、N2分别是P1、P2由汽车反射回来的超声波信号簇。测速仪匀速扫描，P1、P2之间的时间间隔（周期）为tP，N1、N2之间的时间间隔（周期）为tN，超声波在空气中的传播速度为v，求汽车的速度是多少？解：通过tP和tN直接列出方程中学生难以理解。令发出P1、P2和接收N1、N2对应的时刻分别为TP1、TP2、TN1、TN2，则tP=TP2-TP1，tN=TN2-TN1。借助图C进行分析，设TP1时刻测速仪在O点，汽车在A点，OA之间距离为S，TP1时刻发出的信号P1经过TN1-TP12时间后在B点跟汽车相遇并反射，再经过TN1-TP12时间后，测速仪接收到N1，这就有了方程；再设TP2时刻汽车在C点，则CA之间距离为vxTP2-TP1，TP2时刻发出的信号P2经过TN2-TP22时间后在D点跟汽车相遇并反射，再经过TN2-TP22时间后，测速仪接收到N2，这就有了方程1sP1P2N1N2tPtN图B00.5s1.5sOABCD图Cv+vxTN1-TP12=S v+vxTN2-TP22+vxTP2-TP1=S tP=TP2-TP1 tN=TN2-TN1 -得vxTP2-TP1+TN2-TN12=vTP2-TP1-TN2-TN12则 vx=vTP2-TP1-TN2-TN1TP2-TP1+TN2-TN1 将代入，得 vx=tP-tNtP+tNv 顺便看图B知，tP0.9s，tN0.8s，而v340m/s，代入式，得出图B的vx=20m/s三、多普勒效应的测速公式上面得出的式实际就是多普勒效应测速公式的一种形式周期式。若发射脉冲串的频率为fP，接收脉冲串的频率为fN，依据频率和周期的如下关系 tP=1fP，tN=1fN 将代入，可以得到多普勒效应测速公式的另一种形式频率式： vx=fN-fPfN+fPv 分析式，功德圆满，得到了如下结论：1. 当fN=fP，即接收到的频率等于发射频率时，vx=0，汽车相对测速仪静止；2. 当fNfP，即接收到的频率大于发射频率时，vx0，汽车靠近测速仪运动；3. 当fNfP，即接收到的频率小于发射频率时，vx0，汽车远离测速仪运动。四、机械波测速公式的另类推导以大学物理学过的机械波，笔者也导出了多普勒效应的测速公式，作为补充，附加于后，以作参考。这一方法中学生难以理解，不做强求，有待于以后去学习掌握。因为波速只跟介质有关，所以：波源相对于介质静止而观察者相对于介质运动时，是波速在变；观察者相对于介质静止而波源相对于介质运动时，是波长在变。这二者是有区别的，易于混淆二者是初学者的误区。先将汽车作为观察者，此时测速仪相当于波源，因观察者（汽车）相对于介质（空气）运动，故其接收到脉冲串的波速变为V=v+vx因波源（测速仪）相对于介质（空气）静止，故波长未变，仍为=vfP则观察者（汽车）接收到脉冲串的出现频率F变为F=V=v+vxvfP=1+vxvfP再将测速仪作为观察者，此时汽车因反射脉冲串又成了波源，因观察者（测速仪）相对于介质（空气）静止，故其接收到脉冲串的波速未变，仍为v，而波长却变了，为何？因波源（汽车）相对于介质（空气）在运动，故波长当然缩短了，变为=v-vxF=v-vx1+vxvfP=v-vxv+vxvfP注意在上式中，波源（汽车）等于当初反射脉冲串的真实频率是F，这是为何？较难理解，详解于此，仔细品味。因为对于观察者（测速仪），包括其他任何的观察者，实际的反射频率近似于观察者（测速仪）在当时用眼睛能看到的光信号，而不等于观察者（测速仪）后来所接收到的声信号。假设汽车只吸收不反射，接收频率当然不变还是F，而真实的反射跟接收是同时同步进行的，频率必然相同，也为F。假设观察者（测速仪）向后倒退，其倒退的速度跟波源（汽车）前进的速度相等，即二者保持相对静止，这时观察者（测试仪）所接收到脉冲串的出现频率也不会变化，仍然等于F。因波速未变、波长缩短，故观察者（测速仪）接收到反射脉冲串的出现频率变为fN=v=vv-vxv+vxvfP=v+vxv-vxfP变形后，殊途同归，同样可得式vx=fN-fPfN+fPv需要强调的是，式是针对题中的脉冲串推导出来的，对于有间隔的、不连续的脉冲串是适用的，那么对于每个脉冲内部的无间隔的、连续的超声波正弦信号是否还适用呢？当然适用。也就是说，即使测试仪发射的不是脉冲串，而是无间隔的、连续的超声波正弦信号，照样可以通过式测出汽车的速度，不过此时的频率当然不再是脉冲串出现的频率，而是超声波自身的频率了。五、电磁波测速公式的简化式如前所述，电磁波的传播不需要介质，因此以上机械波测速公式的另类推导不适用于电磁波，根据爱因斯坦的光速不变原理可知竞赛题的解法依然是可行的，因此式对电磁波也成立，将v换作光速c，可得电磁波的测速公式 vx=fN-fPfN+fPc 一般情况下，因vxc故多普勒效应很不明显，于是有fNfP=f再将多普勒频移用专门的字母表示fN-fP=f则式变为 vx=f2fc 式就是电磁波的多普勒效应测速公式的简化式，即所谓的雷达测速公式之一。六、用多普勒效应来解释学生的一个疑问曾经碰到学生提出下列问题：向太空中静止的飞船发射光束，因为光有压力，会推动飞船远离，然后光束反射回来，根据爱因斯坦的光速不变原理，反射回的光速是不变的。于是飞船获得了机械能，而返回的光束能量也没有变，这不违背能量守恒定律了吗？当然没有，根据多普勒效应，反射回的光束频率减小了。而光子的能量公式为：E=h其中，h6.62606957(29)10-34 Js，为普朗克常数，为光的频率而不是速度。可见光子的能量跟频率成正比而与速度无关。因此返回的光束虽然速度未变但能量减少了，光束的光能转化成了飞船的机械能，照样遵循着能量守恒。后记：一道物理竞赛题，如果仅仅是满足于求解，会发现解题过程不算太难，求