（江苏专用）高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .2下列各角的终边与角的终边的关系角2k(kz)图示与角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角图示与角终边的关系关于y轴对称对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kz)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)若r，则tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的条件是为锐角()(4)六组诱导公式中的角可以是定义域内的任意角()(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化()1(教材改编)已知是第二象限角，sin ，则cos _.答案解析sin ，是第二象限角，cos .2已知，那么的值是_答案解析由于1，故.3已知sin()log8，且(，0)，则tan(2)的值为_答案解析sin()sin log8，又(，0)，得cos ，tan(2)tan()tan .4已知cos，则sin_.答案解析，sinsinsincos.5已知函数f(x)则f(f(2 016)_.答案1解析f(f(2 016)f(2 01616)f(2 000)，f(2 000)2cos2cos 1. 题型一同角三角函数关系式的应用例1(1)已知tan 2，则sin2sin cos 2cos2_.(2)已知sin cos ，且，则cos sin 的值为_答案(1)(2)解析(1)由于tan 2，则sin2sin cos 2cos2.(2)，cos 0，sin 0且cos sin ，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .思维升华(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.已知sin cos ，(0，)，则tan _.答案1解析由消去sin 得：2cos22cos 10，即(cos 1)20，cos .又(0，)，tan tan1.题型二诱导公式的应用例2(1)已知sin，则cos的值为_(2)已知a(kz)，则a的值构成的集合是_答案(1)(2)2，2解析(1)coscossin.(2)当k为偶数时，a2；当k为奇数时，a2.a的值构成的集合是2，2思维升华(1)诱导公式用法的一般思路化大角为小角角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍(2)常见的互余和互补的角常见的互余的角：与；与；与等常见的互补的角：与；与等(1)已知sin，则cos_.(2)sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)_.答案(1)(2)1解析(1)，coscossin.(2)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 301.题型三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3(1)已知为锐角，且有2tan()3cos()50，tan()6sin()10，则sin _.(2)已知sin 是方程5x27x60的根，是第三象限角，则tan2()_.答案(1)(2)解析(1)2tan()3cos()50化简为2tan 3sin 50，tan()6sin()10化简为tan 6sin 10.由消去sin ，解得tan 3.又为锐角，根据sin2cos21，解得sin .(2)方程5x27x60的根为或2，又是第三象限角，sin ，cos ，tan ，原式tan2tan2.思维升华利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值(1)已知sin(3)lg，则_.(2)已知sin()cos(a)，则sin cos _.答案(1)18(2)解析(1)由于sin(3)sin ，lg，得sin .所以原式18.(2)由sin()cos()，得sin cos ，将两边平方得12sin cos ，故2sin cos ，所以(sin cos )212sin cos 1.又，所以sin 0，cos 0，sin cos 0，则sin cos .7分类讨论思想在三角函数中的应用典例(1)已知sin ，则tan()_.(2)在abc中，若sin(2a)sin(b)，cos acos(b)，则c_.思维点拨利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论解析(1)sin 0，为第一或第二象限角tan()tan .当是第一象限角时，cos ，原式.当是第二象限角时，cos ，原式.综上，原式或.(2)由已知得22得2cos2a1，即cos a，当cos a时，cos b，又a、b是三角形的内角，a，b，c(ab).当cos a时，cos b.又a、b是三角形的内角，a，b，不合题意综上，c.答案(1)或(2)温馨提醒(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用方法与技巧同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式1同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍2三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan；(4)运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤失误与防范1利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. a组专项基础训练(时间：30分钟)1若cos ，则tan _.答案2解析sin ，tan 2.2已知，则sin xcos x_.答案解析原式2sin xcos x，由于xcos x，所以sin xcos x0，故sin xcos x .3若角的终边落在第三象限，则的值为_答案3解析由角的终边落在第三象限，得sin 0，cos 0，故原式123.4已知2tan sin 3，0，则sin _.答案解析由2tan sin 3，得3，即2cos23cos 20，又0，解得cos (cos 2舍去)，故sin .5已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2 017)的值为_答案3解析f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 017)asin(2 017)bcos(2 017)asin()bcos()asin bcos 3.6已知为钝角，sin()，则sin()_.答案解析因为为钝角，所以cos()，所以sin()cos()cos().7化简：_.答案1解析原式1.8已知cosa，则cossin的值是_答案0解析coscoscosa.sinsincosa，cossin0.9已知为第二象限角，则cos sin _.答案0解析原式cos sin cos sin cos sin 0.10已知sin(3)2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin 2.解由已知得sin 2cos .(1)原式.(2)原式.b组专项能力提升(时间：20分钟)11已知sin()cos(2)，|，则_.答案解析sin()cos(2)，sin cos ，tan .|，.12若a，b是锐角abc的两个内角，则点p(cos bsin a，sin bcos a)在第_象限答案二解析abc是锐角三角形，则ab，ab0，ba0，sin asincos b，sin bsincos a，cos bsin a0，sin bcos a0，点p在第二象限13设函数f(x)(xr)满足f(x)f(x)sin x当0x时，f(x)0，则f_.答案解析由已知，得ffsin fsin sin fsin sinsin 0.14已知角