高考数学 第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教A版.ppt

第三节函数的奇偶性与周期性 1 奇函数 偶函数的定义与性质 f x f x f x f x y轴 原点 原点 相反 相同 0 2 周期性 1 周期函数 t为函数f x 的一个周期 则需满足的条件 t 0 对定义域内的任意x都成立 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个 就叫做它的最小正周期 3 周期不唯一 若t是函数y f x x r 的一个周期 则nt n z 且n 0 也是f x 的周期 f x t f x 最小的正数 最小的正数 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 偶函数图象不一定过原点 奇函数的图象一定过原点 2 函数f x 0 x 0 既是奇函数又是偶函数 3 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 关于直线x a对称 4 若函数y f x b 是奇函数 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 解析 1 错误 当奇函数的定义域不含0时 则图象不过原点 2 错误 函数f x 的定义域不关于原点对称 3 正确 函数y f x a 关于直线x 0对称 则函数y f x 关于直线x a对称 4 正确 函数y f x b 关于点 0 0 中心对称 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 答案 1 2 3 4 1 已知函数y f x 是奇函数 则函数y f x 1 的图象的对称中心是 a 1 0 b 1 0 c 0 1 d 0 1 解析 选b 函数y f x 的图象关于点 0 0 对称 函数y f x 1 的图象可由y f x 的图象向左平移1个单位得到 故函数y f x 1 的图象的对称中心为 1 0 2 函数的图象关于 a y轴对称 b 直线y x对称 c 坐标原点对称 d 直线y x对称 解析 选c 函数f x 的定义域为 0 0 且 函数f x 是奇函数 故选c 3 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 则f 8 的值为 a 1 b 0 c 1 d 2 解析 选b f x 4 f x f x 是以4为周期的周期函数 f 8 f 0 又函数f x 是定义在r上的奇函数 f 8 f 0 0 故选b 4 已知函数y f x 是定义在r上的偶函数 且在 0 上是减函数 若f a f 2 则实数a的取值范围是 a a 2 b a 2或a 2 c a 2 d 2 a 2 解析 选b 由题意知函数y f x 在 0 上是增函数 且f 2 f 2 故由f a f 2 得f a f 2 a 2 解得a 2或a 2 考向1函数奇偶性的判断 典例1 判断下列各函数的奇偶性 1 2 3 思路点拨 先求定义域 看定义域是否关于原点对称 在定义域下 解析式带绝对值号的先尽量去掉 再判断f x 与f x 的关系 分段函数应分情况判断 规范解答 1 由得 1 x 1 因此函数的定义域为 1 1 不关于原点对称 故f x 为非奇非偶函数 2 由得 1 x 0或0 x 1 函数f x 的定义域为 1 0 0 1 此时x 2 0 x 2 2 x 又 函数f x 为奇函数 3 显然函数f x 的定义域为 0 0 关于原点对称 当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 综上可知 对于定义域内的任意x 总有f x f x 成立 函数f x 为奇函数 拓展提升 判断函数奇偶性的两个方法 1 定义法 2 图象法 变式训练 1 2013 广州模拟 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义域均为r 则 a f x 与g x 均为偶函数 b f x 为偶函数 g x 为奇函数 c f x 与g x 均为奇函数 d f x 为奇函数 g x 为偶函数 解析 选b f x 3 x 3x f x g x 3 x 3x g x f x 为偶函数 g x 为奇函数 故选b 2 判断下列函数的奇偶性 解析 由得 2 x 2且x 0 函数f x 的定义域关于原点对称 且x 3 0 又 函数f x 为奇函数 f x 的定义域为r 关于原点对称 当x 0时 x 0 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 x 0 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 f 0 0 也满足f x f x 故该函数为奇函数 考向2函数奇偶性的应用 典例2 1 2013 阳江模拟 如果奇函数f x 在区间 3 7 上是增函数且最小值是6 那么f x 在 7 3 上是 a 增函数且最小值为 6 b 增函数且最大值为 6 c 减函数且最小值为 6 d 减函数且最大值为 6 2 a 1 是 函数在其定义域上为奇函数 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 或 既不充分也不必要 思路点拨 1 利用奇函数的图象特点或定义求解 2 分清条件p与结论q 分别验证p q与q p是否成立 规范解答 1 选b 方法一 由题意画出f x 在区间 3 7 上的草图 再由奇函数图象关于原点对称 画出f x 在 7 3 上的图象 由图象知f x 在 7 3 上是增函数且最大值为 6 方法二 因为f x 在区间 3 7 上是增函数 所以f x 在区间 7 3 上是增函数 设x 7 3 则 x 3 7 故f x 6 又f x f x 所以 f x 6 因此f x 6 即f x 在 7 3 上的最大值为 6 2 当a 1时 此时 f x f x 是其定义域上的奇函数 当是其定义域上的奇函数时 f x f x 即从而 a 1 是 函数在其定义域上为奇函数 的充分不必要条件 答案 充分不必要 拓展提升 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 1 求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 2 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上 再利用奇偶性求出 或充分利用奇偶性构造关于f x 的方程 组 从而得到f x 的解析式 3 求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解 根据f x f x 0得到关于待求参数的恒等式 由系数的对等性得参数的值或方程 组 进而得出参数的值 4 画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性 变式训练 1 设f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 x 则f 1 a 3 b 1 c 1 d 3 解析 选a 由奇函数的定义有f x f x 所以f 1 f 1 2 1 2 1 3 2 已知函数为奇函数 则a b 解析 设x 0 则 x 0 f x x 2 x x2 x 又f x f x x 0时 f x f x x2 x ax2 bx a 1 b 1 a b 0 答案 0 考向3函数的周期性及其应用 典例3 1 2012 山东高考 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2012 a 335 b 338 c 1678 d 2012 2 2012 江苏高考 设f x 是定义在r上且周期为2的函数 在区间 1 1 上 其中a b r 若则a 3b的值为 思路点拨 1 先根据周期性求f 1 f 2 f 6 再根据周期性求f 1 f 2 f 2012 2 利用周期性可知列方程组求解 规范解答 1 选b f x 6 f x t 6 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 f 1 f 2 f 6 1 f 1 f 2 f 6 f 7 f 8 f 12 f 2005 f 2006 f 2010 1 f 1 f 2 f 2010 而f 2011 f 2012 f 1 f 2 3 f 1 f 2 f 2012 335 3 338 2 因为f x 的周期为2 所以即又因为所以 3a 2b 2 又因为f 1 f 1 所以即b 2a 将 代入 得a 2 b 4 a 3b 2 3 4 10 答案 10 拓展提升 判断函数周期性的三个常用结论若对于函数f x 定义域内的任意一个x都有 1 f x a f x a 0 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 2 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 3 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 提醒 应用函数的周期性时 应保证自变量在给定的区间内 变式训练 设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2013 解析 1 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 2 当x 2 0 时 x 0 2 由已知得f x 2 x x 2 2x x2 又f x 是奇函数 f x f x 2x x2 f x x2 2x 又当x 2 4 时 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又f x 是周期为4的周期函数 f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 从而求得x 2 4 时 f x x2 6x 8 3 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2008 f 2009 f 2010 f 2011 0 f 0 f 1 f 2 f 2013 f 0 f 1 0 1 1 创新体验 分段函数的性质判断 典例 2012 福建高考 设函数则下列结论错误的是 a d x 的值域为 0 1 b d x 是偶函数 c d x 不是周期函数 d d x 不是单调函数 思路点拨 规范解答 选c 由已知条件可知 d x 的值域是 0 1 选项a正确 当x是有理数时 x也是有理数 且d x 1 d x 1 故d x d x 当x是无理数时 x也是无理数 且d x 0 d x 0 即d x d x 故d x 是偶函数 选项b正确 当x是有理数时 对于任一非零有理数a x a是有理数 且d x a 1 d x 当x是无理数时 对于任一非零有理数b x b是无理数 所以d x b d x 0 故d x 是周期函数 但不存在最小正周期 选项c不正确 由实数的连续性易知 不存在区间i 使d x 在区间i上是增函数或减函数 故d x 不是单调函数 选项d正确 思考点评 1 方法感悟 本题充分考查了利用定义判断函数奇偶性 周期性 单调性的方法 本题中自变量的范围分别是有理数和无理数 因此在判断奇偶性时 应考虑 x与x的范围是否一致 在判断周期性时应考虑x与x a或x b在a或b取何值时范围一致 2 技巧提升 对于函数类创新题 常见的类型有讨论新函数的性质 利用新函数进行计算 判断新函数的图象等 常见的方法有排除法 特征分析法 特殊值法或定义法 创新题目虽然构思巧妙 但考查的还是基本知识和基本技能 解题的关键是抓住创新点充分利用定义 把新信息和所学知识相结合求解 1 2012 陕西高考 下列函数中 既是奇函数又是增函数的为 a y x 1 b y x3 c d y x x 解析 选d 选项a不是奇函数 是增函数 选项b是奇函数 不是增函数 选项c是反比例函数 为奇函数 不是增函数 选项d 去掉绝对值号 变为分段函数符合题意 2 2013 揭阳模拟 函数f x 的定义域为r 且满足 f x 是偶函数 f x 1 是奇函数 若f 0 5 9 则f 8 5 等于 a 9 b 9 c 3 d 0 解析 选b 因为f x 是偶函数 f x 1 是奇函数 所以f x f x f x 1 f x 1 函数是周期函数 周期可为8 所以f 8 5 9 3 2013 清远模拟 设f x 是定义在r上以2为周期的偶函数 当x 2 3 时 f x x 则x 2 0 时 f x 的解析式为 a f x 2 x 1 b f x 2 x c f x 3 x 1 d f x 2x 4 解析 选c 设 1 x 0 则2 2 x 3 f 2 x 2 x 又f 2 x f x f x 2 x 设 2 x 1 则2 x 4 3 f x 4 x 4 又f x 4 f x f x x 4 综上知 故选c 4 2013 潮州模拟 已知定义在r上的函数y f x 满足下列三个条件 对于任意的x r都有f x 4 f x 对于任意的0 x1 x2 2都有f x1 f x2 函数y f x 2 的图象关于y轴对称 则下列结论正确的是 a f 6 5 f 5 f 15 5 b f 5 f 6 5 f 15 5 c f 5 f 15 5 f 6 5 d f 15 5 f 5 f 6 5 解析 选a 由题意知 函数f x 是周期为4的函数 且在区间 0 2 上单调递增 函数f x 的图象关于直线x 2对称 f 6 5 f 2 5 f 1 5 f 5 f 1 f 15 5 f 3 5 f 0 5 由f 0 5 f 1 f 1 5