高考数学 第二章 第一节 函数及其表示课件 理 新人教A版.ppt

第二章函数 导数及其应用第一节函数及其表示 1 函数与映射的概念 非空数集 非空集合 任意 唯一确定 任意 唯一确定 f a b f a b 2 函数的定义域 值域 相等函数 1 定义域在函数y f x x a中 的取值范围 数集a 叫做函数的定义域 2 值域函数值的集合 叫做函数的值域 3 相等函数如果两个函数的 相同 并且 完全一致 则这两个函数为相等函数 自变量x f x x a 定义域 对应关系 3 函数的表示方法表示函数的常用方法 和 4 分段函数 1 若函数在其定义域的不同子集上 因 不同而分别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数 2 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 其值域等于各段函数的值域的 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是一个函数 解析法 列表法 图象法 对应关系 并集 并集 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 对于函数f a b 其值域是集合b 2 函数y 1与y x0不是同一个函数 3 若两个函数的定义域与值域相同 则这两个函数是相等函数 4 映射是特殊的函数 解析 1 错误 值域是集合b的子集 2 正确 函数y x0的定义域是 0 0 函数y 1的定义域是r 因此两个函数是不同的函数 3 错误 函数y x与y 2x 1的定义域和值域都是r 但它们的对应关系不同 不是相等函数 4 错误 根据函数和映射的定义知函数是特殊的映射 答案 1 2 3 4 1 若函数y f x 的定义域为m x 2 x 2 值域为n y 0 y 2 则函数y f x 的图象可能是 解析 选b a中定义域不对应 d中值域不对应 c中对一个x值有两个y值与之对应 不符合函数的定义 故选b 2 给出四个命题 函数是其定义域到值域的映射 是一个函数 函数y 2x x n 的图象是一条直线 是同一函数 其中正确的有 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 解析 选a 由函数的定义知 正确 因为使成立的x值不存在 故 不正确 y 2x x n 的图象是位于直线y 2x上的一群孤立的点 故 不正确 函数与g x x的定义域不同 故 不正确 3 函数y x2 2x的定义域为 0 1 2 3 则其值域为 解析 列表如下 由表知 函数的值域为 1 0 3 答案 1 0 3 4 函数的定义域为 解析 由得函数的定义域为 x x 1且x 0 答案 x x 1且x 0 5 设函数则f f 4 解析 x 40 所以答案 4 考向1求函数的定义域 典例1 1 2013 肇庆模拟 函数的定义域是 a 0 b 1 c 0 1 d 0 1 1 2 已知函数f 2x 的定义域是 1 1 则f x 的定义域为 思路点拨 1 根据解析式 构建使解析式有意义的不等式组求解即可 2 要明确2x与f x 中x的含义 从而构建不等式组求解 规范解答 1 选b 由 2 f 2x 的定义域为 1 1 即 1 x 1 故f x 的定义域为 答案 互动探究 若本例题 2 中条件不变 求f log2x 的定义域 解析 由本例题 知f x 的定义域为 函数y f log2x 中 即故函数f log2x 的定义域为 拓展提升 简单函数定义域的三种类型及求法 1 已知函数的解析式 则构造使解析式有意义的不等式 组 求解 2 对实际问题 由实际意义及使解析式有意义的条件构造不等式 组 求解 3 对抽象函数 若已知函数f x 的定义域为 a b 则复合函数f g x 的定义域由a g x b求出 若已知函数f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的值域 提醒 求定义域时对于解析式先不要化简 变式备选 1 函数的定义域是 解析 要使函数有意义 必须有即 3 x 0或2 x 3 答案 3 0 2 3 2 已知函数f x 的定义域为 1 2 则函数的定义域是 解析 由使函数有意义及f x 的定义域可知 答案 考向2求函数的解析式 典例2 1 已知f 1 cosx sin2x 则f x 2 已知f x 是二次函数且f 0 2 f x 1 f x x 1 则f x 3 已知f x 2f x x 0 则f x 思路点拨 1 用换元法 令t 1 cosx 然后求解 2 已知函数类型 用待定系数法求解 3 用代x 构造方程组求解 规范解答 1 f 1 cosx sin2x 1 cos2x 令t 1 cosx 则cosx 1 t 0 t 2 f t 1 1 t 2 t2 2t f x x2 2x 0 x 2 答案 x2 2x x 0 2 2 设f x ax2 bx c a 0 由f 0 2得c 2 f x 1 f x a x 1 2 b x 1 ax2 bx x 1 即2ax a b x 1 解得 答案 3 f x 2f x f 2f x 解方程组得答案 拓展提升 求函数解析式的三种类型及方法 1 关于复合函数f g x 的解析式 配凑法 由已知条件f g x f x 可将f x 改写成关于g x 的解析式 然后以x替代g x 便得f x 的解析式 换元法 令g x t 用t表示x 代入f g x 求解 2 已知函数类型求解析式 一般用待定系数法求解 根据函数类型设出函数解析式 然后根据条件求出待定系数 3 已知关于f x 与或f x 的解析式求f x 通常用解方程组法 用或 x 替代x 构造方程 与原方程构成方程组 解方程组可求f x 变式训练 1 求下列函数的解析式 已知求f x 2f x f x lg x 1 求f x 解析 令则 即 2f x f x lg x 1 2f x f x lg 1 x 解方程组得 2 已知函数y f x 的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成 求函数的解析式 解析 根据图象 设左侧的射线对应的解析式为y kx b x 1 点 1 1 0 2 在射线上 左侧射线对应函数的解析式为y x 2 x 1 同理 x 3时 函数的解析式为y x 2 x 3 再设抛物线对应的二次函数解析式为y a x 2 2 2 1 x 3 a 0 点 1 1 在抛物线上 a 2 1 a 1 1 x 3时 函数的解析式为y x2 4x 2 1 x 3 综上 函数的解析式为 考向3分段函数及其应用 典例3 1 2013 开封模拟 根据统计 一名工人组装第x件某产品所用的时间 单位 分钟 为 a c为常数 已知工人组装第4件产品用时30分钟 组装第a件产品用时15分钟 那么c和a的值分别是 a 75 25 b 75 16 c 60 25 d 60 16 2 2013 唐山模拟 已知函数则f x f x 1的解集为 a 1 1 b 1 0 1 c 0 1 d 1 0 1 思路点拨 1 由当x a时 且f 4 30可知 4 a 从而可列方程组求解 2 分 1 x 0和0 x 1两种情况求解 规范解答 1 选d 由题意知且f 4 30 则必有4 a 故解方程组得c 60 a 16 2 选b 当 1 x 0时 0 x 1 此时f x x 1 f x x 1 x 1 f x f x 1化为 2x 2 1 得x 则 1 x 当0 x 1时 1 x 0 此时 f x x 1 f x x 1 x 1 f x f x 1化为 x 1 x 1 1 解得则0 x 1 故所求不等式的解集为 互动探究 本例题 2 中条件不变 若f a f 1 0 试求a的值 解析 f 1 1 1 0 f a f 1 0 若 1 a 0 则f a a 1 0 a 1 若0 a 1 则a 1 综上知 a 1 拓展提升 分段函数 两种 题型的求解策略 1 根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间 其次选定相应的解析式代入求解 2 已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时 应分类讨论 变式备选 1 已知函数若f f 0 4a 则实数a的值为 a 0 b c 2 d 4 解析 选c f 0 2 f f 0 f 2 4 2a 4a a 2 2 设函数若f 2 f 0 f 1 3 则关于x的方程f x x的解的个数为 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选b 由已知得解得当x 0时 由f x x得 x2 2x 2 x 得x 2或x 1 又x 0 故x 1舍去 当x 0时 由f x x得x 2 所以方程f x x有两个解 易错误区 忽视自变量的取值范围致误 典例 2013 南京模拟 已知实数a 0 函数若f 1 a f 1 a 则a的值为 误区警示 本题易出现的错误主要有两个方面 1 误以为1 a1 没有对a进行讨论直接代入求解 2 求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误 规范解答 当a 0时 1 a1 由f 1 a f 1 a 可得2 2a a 1 a 2a 解得不合题意 当a1 1 a 1 由f 1 a f 1 a 可得 1 a 2a 2 2a a 解得答案 思考点评 1 分类讨论思想在求函数值中的应用对于分段函数的求值问题 若自变量的取值范围不确定 应分情况求解 2 检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中 求出的参数的值或范围并不一定符合题意 因此要检验结果是否符合要求 1 2012 福建高考 设则f g 的值为 a 1 b 0 c 1 d 解析 选b 因为 为无理数 所以g 0 f g f 0 0 2 2012 山东高考 函数的定义域为 a 2 0 0 2 b 1 0 0 2 c 2 2 d 1 2 解析 选b 因为解得 2 x 2且x 1且x 0 所以定义域为 1 0 0 2 3 2012 安徽高考 下列函数中 不满足f 2x 2f x 的是 a f x x b f x x x c f x x 1 d f x x 解析 选c 选项a f 2x 2x 2 x 2f x 满足要求 选项b f 2x 2x 2x 2 x x 2f x 满足要求 选项c f 2x 2x 1 2 x 1 2f x 不满足要求 选项d f 2x 2x 2f x 满足要求 4 2012 江西高考 下列函数中 与函数定义域相同的函数为 解析 选d 的定义域为 x x 0 的定义域为 x x k k z 的定义域为 x x 0 y xex的定义域为r 的定义域为 x x 0 d正确 5 2013 湛江模拟 函数则f 2 f 1 解析 f 2 f 1 2 2 1 2 1 2 2 4 答案 4 1 若一系列函数的解析式相同 值域相同 但定义域不同 则称这些函数为 孪生函数 例如 解析式为y 2x2 1 值域为 9 的 孪生函数 有三个 1 y 2x2 1 x 2 2 y 2x2 1 x 2 3 y 2x2 1 x 2 2 那么函数解析式为y 2x2 1 值