迭代法求解两点边值问题.doc

迭代法求解两点边值问题（三）1背景介绍大规模科学计算和工程技术中许多问题的解决，最终归结为大型稀疏线性方程组的求解，其求解时间在整个问题求解时间中占有很大的比重，有的甚至达到80%。由于现今科学研究和大型项目中各种复杂的可以对计算精度和计算速度的要求越来越高。因此，作为大规模科学计算基础的线性代数方程组的高效数值求解引起了人们的普遍关注。这种方程组的求解一般采用迭代法，所以，迭代法的收敛性和收敛速度就成为人们关注的焦点，为许多专家和学者所研究。本文对大型稀疏线性方程组迭代求解与三种迭代法（Jacobi，Gauss-Seidel和超松弛迭代法）的收敛速度与精确解的误差比较做出研究。2 课程设计任务内容利用我们所学的数值分析的迭代法知识对线性方程组的问题进行求解，同时把迭代法的求解过程用MATLAB程序语言实现其算法功能。对实验结果进行记录，对比与分析最后得出结论。3研究方法与原理3.1 迭代法简介1.Jacobi迭代法：对于非奇异线性方程组Ax=b，令A=D-L-U，其中则原方程组可改写为： （2.2）其中给定初始向量：由（2.2）可以构造迭代公式：其分量形式为：2. Guass-Seidel迭代法：类似于Jacobi迭代法，给定初值：令则得到Guass-Seidel公式：其分量形式为：3.超松弛迭代法（SOR 迭代法）：SOR迭代法是对Guass-Seidel迭代法的加权平均改造，即为Guass-Seidel迭代解，即它的分量形式为：其中称为松弛因子，当1时称为超松弛；当 tol * (1-q)/qx1 = B*x0 + g; % 迭代公式r = norm(x1-x0, inf); % 使用无穷范数x0 = x1;k = k+1;if k = N % 如果达到最大迭代次数disp(达到最大迭代次数，迭代失败);break;endendx = x0;e = norm(y-x, inf);% - % filename : gs.m% abstract : GS迭代法解线性方程组Ax = b% 调用方式:% x, k, e = gs(A,b,y)% 返回值：% x :迭代解% k :迭代次数% e :与精确解的误差% - % - %function x, k, e = gs(A,b,y) % y为精确解N = 100000000; % 允许的最大迭代次数tol = 1e-4;q = 1 - 1/(100*100); % 近似求出q = |B|D = diag(diag(A);L = triu(A)-A;U = tril(A)-A;B = (D-L)U;g = (D-L)b;%迭代首项n = length(b);x0=eye(n,1);x1=eye(n,1);for i=1:nx0(i)=1;x1(i)=0;endr = 1;k = 0;while r tol * (1-q)/qx1 = B*x0 + g; % 迭代公式r = norm(x1-x0, inf); % 使用无穷范数x0 = x1;k = k+1;if k = N % 如果达到最大迭代次数disp(达到最大迭代次数，迭代失败);break;endendx = x0;e = norm(y-x, inf);% - % filename : sor.m% abstract : SOR迭代法解线性方程组Ax = b% 调用方式:% x, k, e = sor(A,b,y)% 返回值：% x :迭代解% k :迭代次数% e :与精确解的误差% - % - %function x, k, e = sor(A,b,y) % y为精确解N = 100000000; % 允许的最大迭代次数tol = 1e-4;q = 1 - 1/(100*100); % 近似求出q = |B|D = diag(diag(A);L = triu(A)-A;U = tril(A)-A;% 求最佳松弛因子wB = D(L+U);w = P(B);w = 2/(1+sqrt(1-w2);if w2disp(迭代不收敛);return;endfprintf(最佳松弛因子w: %.4fn, w);% 生成矩阵B, 向量gB = (D-w*L)(1-w)*D+w*U);g = (D-w*L)b*w;%迭代首项n = length(b);x0=eye(n,1);x1=eye(n,1);for i=1:nx0(i)=1;x1(i)=0;endr = 1;k = 0;while r tol * (1-q)/qx1 = B*x0 + g; % 迭代公式r = norm(x1-x0, inf); % 使用无穷范数x0 = x1;k = k+1;if k = N % 如果达到最大迭代次数disp(达到最大迭代次数，迭代失败);break;endendx = x0;e = norm(y-x, inf);% 求矩阵A的谱半径% 在SOR迭代法中求最佳松弛因子时作为子程序function a = P(A)n n = size(A);x = eig(A);a = 0;for i = 1:nb = abs(x(i);if b aa = x(i);endenda = abs(a);% - % filename : exactsolution.m% abstract : m函数文件，生成系数矩阵和常向量% - % - %function A, b = genmatrix(eps, a, n)h = 1/n;% 系数矩阵A = zeros(n-1,n-1);A(1,1) = -1*(2*eps + h);A(1,2) = eps + h;A(n-1, n-1) = A(1,1);A(n-1, n-2) = eps;for i = 2:n-2A(i,i) = A(1,1);A(i, i-1) = eps;A(i, i+1) = A(1,2);end% 常向量b = a * h * h * ones(n-1,1);% 注意边值条件b(1,1) = b(1,1) - eps*0;b(n-1,1) = b(n-1,1) - (eps+h);% - % filename : exactsolution.m% abstract : m函数文件，用于获得精确解% - %