河南省洛阳市孟津一中高一数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年河南省洛阳市孟津一中高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=x|x22x，b=x|1x2，则ab=（）a（1，1）b（2，2）c（1，2）d（2，1）2已知m为一条直线，、为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）a若m，则mb若m，则mc若m，则md若m，m，则3两直线axy+2a=0和（2a1）x+ay+a=0互相垂直，则a=（）a1bc1或0d或4已知函数f（x）=，满足对任意的x1x2都有0成立，则a的取值范围是（）a（0，b（0，1）c，1）d（0，3）5如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）a10+b10+c6+2+d6+6若圆c的方程为（x3）2+（y2）2=4，直线l的方程为xy+1=0，则圆c关于直线l对称的圆的方程为（）a（x+1）2+（y+4）2=4b（x1）2+（y4）2=4c（x4）2+（y1）2=4d（x+4）2+（y+1）2=47已知f（x）=loga（83ax）在上的减函数，则实数a的取值范围是（）a（0，1）bcd（1，+）8如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面a1b1c1，底面三角形a1b1c1是正三角形，e是bc中点，则下列叙述正确的是（）acc1与b1e是异面直线bac平面abb1a1cae，b1c1为异面直线，且aeb1c1da1c1平面ab1e9若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同的点，到直线l：y=x+b的距离为2，则b取值范围为（）a（2，2）bcdbcd12已知偶函数f（x）的定义域为x|xr且x0，f（x）=，则函数的零点个数为（）a6b8c10d12二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上）13直线2x+ay+2=0与直线ax+（a+4）y1=0平行，则a的值为14已知函数f（x）=x2+2x，若任意x1，存在x2，使得f（x1）g（x2），则实数m的取值范围是15若四面体abcd中，ab=cd=bc=ad=，ac=bd=，则四面体的外接球的表面积为16若x是一个集合，是一个以x的某些子集为元素的集合，且满足：x属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于则称是集合x上的一个拓扑已知函数f（x）=，其中表示不大于x的最大整数，当x（0，n，nn*时，函数f（x）值域为集合an，则集合a2上的含有4个元素的拓扑的个数为三、解答题（本大题共6个小题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，abdc，abad，bc=5，dc=3，ad=4，pad=60（1）若m为pa的中点，求证：dm平面pbc；（2）求三棱锥dpbc的体积18已知圆c：x2+（y4）2=1，直线l：2xy=0，点p在直线l上，过点p作圆c的切线pa，pb，切点分别为a，b（1）若apb=60，求点p的坐标；（2）求证：经过点a，p，c三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标19“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4x20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年（1）当0x20时，求v关于x的函数表达式；（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值20如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc=60，pa=ab=bc，e是pc的中点（1）求pb和平面pad所成的角的大小；（2）证明：ae平面pcd；（3）求二面角apdc得到正弦值21已知点p（2，2），圆c：x2+y28y=0，过点p的动直线l与圆c交于a，b两点，线段ab的中点为m，o为坐标原点（1）求m的轨迹方程；（2）当|op|=|om|时，求l的方程及pom的面积22已知f（x）是定义在上的奇函数，且f（1）=1，若a，b，a+b0时，有成立（）判断f（x）在上的单调性，并证明（）解不等式：（）若f（x）m22am+1对所有的a恒成立，求实数m的取值范围2015-2016学年河南省洛阳市孟津一中高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=x|x22x，b=x|1x2，则ab=（）a（1，1）b（2，2）c（1，2）d（2，1）【考点】并集及其运算【分析】求出不等式x22x的解集，从而求出ab即可【解答】解：集合a=x|x22x=x|2x1，b=x|1x2，则ab=（2，2），故选：b2已知m为一条直线，、为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）a若m，则mb若m，则mc若m，则md若m，m，则【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：选项a中，若m，则m与平行或相交或m，故a错误；选项b中，若m，则由直线与平面垂直的判定定理知m，故b正确；选项c中，若m，则m或m，故b错误；选项d中，若m，m，则与平行或相交，故d错误故选：b3两直线axy+2a=0和（2a1）x+ay+a=0互相垂直，则a=（）a1bc1或0d或【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】利用直线与直线垂直，两直线中x、y的系数积之和为0的性质求解【解答】解：两直线axy+2a=0和（2a1）x+ay+a=0互相垂直，a（2a1）a=0，解得a=1或a=0故选：c4已知函数f（x）=，满足对任意的x1x2都有0成立，则a的取值范围是（）a（0，b（0，1）c，1）d（0，3）【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明【分析】由题意可知，f（x）=为减函数，从而可得，由此可求得a的取值范围【解答】解：f（x）对任意的x1x2都有成立，f（x）=为r上的减函数，解得0a故选a5如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）a10+b10+c6+2+d6+【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，cd底面pad，ba底面pad，paad，pa=ad=cd=2，ab=1即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，cd底面pad，ba底面pad，paad，pa=ad=cd=2，ab=1pc=2，pb=，bc=spbc=该几何体的表面积s=+=6+故选：c6若圆c的方程为（x3）2+（y2）2=4，直线l的方程为xy+1=0，则圆c关于直线l对称的圆的方程为（）a（x+1）2+（y+4）2=4b（x1）2+（y4）2=4c（x4）2+（y1）2=4d（x+4）2+（y+1）2=4【考点】圆的标准方程【分析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线l的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案【解答】解：圆c（x3）2+（y2）2=4的圆心坐标为c（3，2），半径为2，设c（3，2）关于直线l：xy+1=0的对称点为c（x，y），则，解得c（1，4），则圆c关于直线l对称的圆的方程为（x1）2+（y4）2=4故选：b7已知f（x）=loga（83ax）在上的减函数，则实数a的取值范围是（）a（0，1）bcd（1，+）【考点】对数函数的图象与性质【分析】先将函数f（x）=loga（83ax）转化为y=logat，t=83ax，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解【解答】解：令y=logat，t=83ax，（1）若0a1，则函y=logat，是减函数，由题设知t=83ax为增函数，需a0，故此时无解；（2）若a1，则函数y=logat是增函数，则t为减函数，需a0且83a20，可解得1a综上可得实数a 的取值范围是（1，）故选：b8如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面a1b1c1，底面三角形a1b1c1是正三角形，e是bc中点，则下列叙述正确的是（）acc1与b1e是异面直线bac平面abb1a1cae，b1c1为异面直线，且aeb1c1da1c1平面ab1e【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，e是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项【解答】解：a不正确，因为cc1与b1e在同一个侧面中，故不是异面直线；b不正确，由题意知，上底面abc是一个正三角形，故不可能存在ac平面abb1a1；c正确，因为ae，b1c1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；d不正确，因为a1c1所在的平面与平面ab1e相交，且a1c1与交线有公共点，故a1c1平面ab1e不正确；故选c9若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同的点，到直线l：y=x+b的距离为2，则b取值范围为（）a（2，2）bcdbcd【考点】直线和圆的方程的应用【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由题意画出图形如图：点m（x0，1），要使圆o：x2+y2=1上存在点n，使得omn=45，则omn的最大值大于或等于45时一定存在点n，使得omn=45，而当mn与圆相切时omn取得最大值，此时mn=1，图中只有m到m之间的区域满足mn=1，x0的取值范围是故选：a12已知偶函数f（x）的定义域为x|xr且x0，f（x）=，则函数的零点个数为（）a6b8c10d12【考点】函数零点的判定定理【分析】令g（x）=0得f（x）=log7（|x|+1），分别作出f（x）和y=log7（|x|+1）在（0，+）上的函数图象，根据函数的图象和奇偶性得出零点个数【解答】解：令g（x）=0得f（x）=log7（|x|+1），作出y=f（x）和y=log7（|x|+1）在（0，8）上的函数图象如图所示，由图象可知y=f（x）和y=log7（|x|+1）在（0，+）上有6个交点，g（x）在（0，+）上有6个零点，f（x），g（x）均是偶函数，g（x）在定义域上共有12个零点，故选：d二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上）13直线2x+ay+2=0与直线ax+（a+4）y1=0平行，则a的值为4或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值【解答】解：a=0时，2x+2=0和4y1=0不平行，a=4时，2x4y+2=0和4x1=0不平行，故两直线的斜率均存在，=，解得：a=4或2，故答案为：4或214已知函数f（x）=x2+2x，若任意x1，存在x2，使得f（x1）g（x2），则实数m的取值范围是m【考点】指数函数的图象与性质；二次函数的性质【分析】对x1，x2，使得f（x1）g（x2），等价于f（x）ming（x）min，利用导数可判断f（x）的单调性，由单调性可求得f（x）的最小值；根据g（x）的单调性可求得g（x）的最小值【解答】解：对x1，x2，使得f（x1）g（x2），等价于f（x）ming（x）min，f（x）=2x+20，f（x）在上递增，f（x）min=f（1）=3；由在上递减，得g（x）min=g（1）=+m，3m，解得m，故答案为：m15若四面体abcd中，ab=cd=bc=ad=，ac=bd=，则四面体的外接球的表面积为6【考点】球的体积和表面积【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体abcd的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=5，x2+z2=5，y2+z2=2，则有（2r）2=x2+y2+z2=6（r为球的半径），所以球的表面积为s=4r2=6故答案为：616若x是一个集合，是一个以x的某些子集为元素的集合，且满足：x属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于则称是集合x上的一个拓扑已知函数f（x）=，其中表示不大于x的最大整数，当x（0，n，nn*时，函数f（x）值域为集合an，则集合a2上的含有4个元素的拓扑的个数为9【考点】平面拓扑变换；拓扑不变量；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用【分析】根据集合x上的拓扑的集合的定义，判断n的值，利用元素与集合的关系判断满足题意的集合a2上的含有4个元素的拓扑的个数【解答】解：函数f（x）=，其中表示不大于x的最大整数，当x（0，n，nn*时，函数f（x）值域为集合an，依题意，n=2，故0x2，当0x1时，则=0，f=0，当x=1时，=1显然f（1）=1，当1x2时，=1，f=1，当x=2时，f（2）=4，a2=0，1，4，中含有4个元素，其中两个元素和a2，a2=0，1，4其它两个元素为a，b，则由对称性，不妨设1|a|b|2，其中|a|、|b|表示集合a中元素的个数，又|a|b|，ab=或a，若ab=，则ab只能等于a2，（若ab=b，则ab，则ab=a=，矛盾）则必有，（a，b）的个数a的个数=3种即或或若ab=aab此时满足ab=b，ab且1|a|且|b|2，b的选择共有=3种，则a的个数有种，（a，b）的个数=23=6种（这6种是，综上可知的个数为9个故答案为：9三、解答题（本大题共6个小题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，abdc，abad，bc=5，dc=3，ad=4，pad=60（1）若m为pa的中点，求证：dm平面pbc；（2）求三棱锥dpbc的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（1）根据平面几何知识求出ab，取pb中点n，连接mn，cn根据中位线定理和平行公理可得四边形mncd是平行四边形，得出dmcn，故而有dm平面pbc；（2）利用特殊角的性质得出pd，计算棱锥的底面bcd的面积，代入棱锥的体积公式计算【解答】（1）证明：过c作ceab与e，则ae=cd=3，ce=ad=4，be=，ab=ae+be=6取pb中点n，连接mn，cn则mn是pab的中位线，mnab，mn=ab=3，又cdab，cd=3，mncd，mn=cd，四边形mncd为平行四边形，dmcn，又dm平面pbc，cn平面pbc，dm平面pbc（2）解：pd平面abcd，ad平面abcd，pdad，pad=60，pd=ad=4又sdbc=6，vdpbc=vpdbc=sdbcpd=818已知圆c：x2+（y4）2=1，直线l：2xy=0，点p在直线l上，过点p作圆c的切线pa，pb，切点分别为a，b（1）若apb=60，求点p的坐标；（2）求证：经过点a，p，c三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）由已知求得p到圆心c的距离为2，设出p的坐标，由两点间的距离公式列式求得p的坐标；（2）设出p的坐标，得到以pc为直径的圆的方程为：x（xa）+（y4）（y2a）=0，整理后由圆系方程求得经过点a，p，c三点的圆必经过定点（0，4）和【解答】（1）解：如图，由条件可得pc=2，设p（a，2a），则，解得a=2或，点p（2，4）或；（2）证明：设p（a，2a），过点a，p，c的圆即是以pc为直径的圆，其方程为：x（xa）+（y4）（y2a）=0，整理得x2+y2ax4y2ay+8a=0，即（x2+y24y）a（x+2y8）=0由，得或，该圆必经过定点（0，4）和19“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4x20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年（1）当0x20时，求v关于x的函数表达式；（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）当4x20时，设v=ax+b，根据待定系数法求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；（2）根据f（x）的表达式，结合二次函数的性质求出f（x）的最大值即可【解答】解（1）由题意得当0x4时，v=2； 当4x20时，设v=ax+b，由已知得：，解得：，所以v=x+，故函数v=；（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，依题意并由（1）可得f（x）=当0x4时，f（x）为增函数，故f（x）max=f（4）=42=8； 当4x20时，f（x）=x2+x=（x220x）=（x10）2+，f（x）max=f（10）=12.5所以当0x20时，f（x）的最大值为12.5即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米20如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc=60，pa=ab=bc，e是pc的中点（1）求pb和平面pad所成的角的大小；（2）证明：ae平面pcd；（3）求二面角apdc得到正弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【分析】（1）由线面垂直得papb，又abad，从而ab平面pad，进而apb是pb与平面pad所成的角，由此能求出pb和平面pad所成的角的大小（2）由线面垂直得cdpa，由条件cdpc，得cd面pac，由等腰三角形得aepc，由此能证明ae平面pcd（3）过点e作empd，am在平面pcd内的射影是em，则ampd，由此得ame是二面角apdc的平面角，由此能求出二面角apdc得到正弦值【解答】（1）解：在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，ab平面abcd，papb，又abad，paad=a，ab平面pad，apb是pb与平面pad所成的角，在rtpab中，ab=pa，apb=45，pb和平面pad所成的角的大小为45（2）证明：在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，cd平面abcd，cdpa，由条件accd，pa底面abcd，利用三垂线定理得cdpc，paac=a，cd面pac，又ae面pac，aecd，由pa=ab=bc，abc=60，得ac=pa，e是pc的中点，aepc，又pccd=c，综上，ae平面pcd（3）解：过点e作empd，am在平面pcd内的射影是em，则ampd，ame是二面角apdc的平面角，由已知得cad=30，设ac=a，得pa=a，ad=，pd=，ae=，在rtadp中，ampd，ampd=paad，am=，在rtaem中，siname=二面角apdc得到正弦值为21已知点p（2，2），圆c：x2+y28y=0，过点p的动直线l与圆c交于a，b两点，线段ab的中点为m，o为坐标原点（1）求m的轨迹方程；（2）当|op|=|om|时，求l的方程及pom的面积【考点】轨迹方程；三角形的面积公式【分析】（1）由圆c的方程求出圆心坐标和半径，设出m坐标，由与数量积等于0列式得m的轨迹方程；（2）设m的轨迹的圆心为n，由|op|=|om|得到onpm求出