数列在现实生活中中的应用及其求解策略.doc

数列在现实生活中的应用及其求解策略云南会泽县第一中学 郭兴甫 唐孝敬 邮编：654200 数列是特殊的函数，其与方程、不等式联系紧密，在现实生活中应用广泛，在利用数列解决现实中的问题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，弄清蕴含在问题中的数学关系，把应用问题转化为数学中的等差数列、等比数列问题，然后求解。本文举例说明数列在现实生活中的应用及其求解策略，以期对同学们的学习有所帮助！一、方案设计型例1.某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款万元，第一年便可获利万元，以后每年比前一年增加的利润；乙方案：每年贷款万元，第一年可获利万元，以后每年比前一年增加千元；两次方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息。若银行两种形式的贷款都按年息的复利计算，试比较两种方案中，那种获利更多？（参考数据）分析：这是一道比较常见的数列应用问题，方案选择，由于本息与利润是熟知的概念，对甲方案，每年的获利满足等比数列；对乙方案，每年获利构成等差数列，因此只需建立通项公式，求和公式，并运用所学过的公式求解即可解：对甲种方案获利为： （万元）银行贷款本息和：（万元）故甲种方案纯利：（万元）对乙种方案获利：银行贷款本息和：（万元）故乙种方案纯利：综上由可得，甲方案更好。二、汽车保有量问题例2.为综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规某大城市2012年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用，同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌（1）问：到2016年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；（2）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解问：至少需要多少年可以实现这一目标（参考数据：，）分析：（1）首先将实际问题分析，得到关于各年年初机动车保有量的递推关系，然后结合数列的性质，构造得到等比数列，进而得到其通项公式（2）在第一问的基础上，解关于n的不等式，进而估算法得到结论（1）设2012年年初机动车保有量为万辆，以后各年年初机动车保有量依次为万辆，万辆，每年新增机动车10万辆，则， 又，且所以数列是以为首项，为公比的等比数列 所以，即所以2016年初机动车保有量为万辆 （2）由（1）题结论可知， ，即 ，所以 ，故至少需要8年时间才能实现目标评注：本试题主要是考查了数列在实际生活中的运用，借助于等比数列的概念，和等比数列的通项公式来表示机动车保有量，然后借助于不等式的相关知识，求解对数不等式，得到结论。三、旅游问题例3.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年会比上年增加(1)设年内（本年度为第1年）总投入万元，旅游业总收入为万元，写出的表达式；(2)至少要经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？分析：由题意每年投入的资金数成等比数列，旅游收入成等比数列，可把这个实际问题转化为等比数列的求和问题，进而转化为不等式求解。解：(1)第1年投入800万元，第2年投入万元，.，第年投入万元，所以，年内的总投入第年旅游业收入为万元，第年旅游业收入为万元，第年旅游业收入为万元，所以年内的总收入.(2)设至少经过年旅游业的总收人才能超过总投入，因此即，化简得，即，可得所以至少要经过年旅游业的总收入才能超过总投入评注：解数列应用题应明确问题是属于哪一类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题，是求通项公式，还是求前项和公式，转化为数列，不等式问题解决。四、国家助学贷款问题例4.国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款（即无利息贷款），旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2013届毕业生小王在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后年内（按36个月计）全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第个月开始，每月工资比前一个月增加直到4000元.小王计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一个月多元. （1）假设小王在第个月还清贷款（），试用和表示小王第（）个月的还款额；（2）当时，小王将在第几个月还清最后一笔贷款？（3）在（2）的条件下，他还清最后一笔贷款的那个月的工资的余额是否能满足此月元的基本生活费？（参考数据：）分析：由题意前12个月还款不变，从第13个月开始，每月比前一个月还款多，设每月的还款数为，则该数列从13项开始，构成等差数列，进而利用等差数列求和公式转化解决。 解：（1）由题意有 （、 且 ） （2）设小王第个月还清，则应有整理可得，解之得，取. 即小王工作个月就可以还清贷款. （3）在（2）的条件下，第32个月小王的还款额为（元）第32个月王某的工资为（元）.因此，王某的剩余工资为，能够满足当月