高考数学 第八章 第五节 椭圆（一）课件 理 苏教版.ppt

第五节椭圆 一 1 椭圆的定义平面内动点p到两个定点f1 f2的距离的和等于常数2a 若动点p的轨迹是椭圆 应具备的条件是 若轨迹是线段 则应当满足 当2a f1f2时 轨迹不存在 2a f1f2 2a f1f2 2 椭圆的标准方程和几何性质 a a b b b b a a 坐标轴 原点 a 0 a 0 0 b 0 b 0 a 0 a b 0 b 0 2a 2b 2c 0 1 a2 b2 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 2 椭圆上一点p与两焦点f1 f2构成 pf1f2的周长为2a 2c 其中a为椭圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 方程表示焦点在y轴上的椭圆 4 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 5 椭圆既是轴对称图形 又是中心对称图形 解析 1 错误 由椭圆的定义知 当该常数大于f1f2时 其轨迹才是椭圆 而常数等于f1f2时 其轨迹为线段f1f2 常数小于f1f2时 不存在图形 2 正确 由椭圆的定义得 pf1 pf2 2a 又f1f2 2c pf1 pf2 f1f2 2a 2c 3 错误 方程可化为其中故其表示焦点在x轴上的椭圆 4 错误 因为所以e越大 则越小 椭圆就越扁 5 正确 由椭圆的对称性知 其关于原点中心对称 也关于两坐标轴对称 答案 1 2 3 4 5 1 已知椭圆上一点p到椭圆一个焦点f1的距离为3 则p到另一个焦点f2的距离为 解析 a 5 且pf1 3 pf1 pf2 10 pf2 10 3 7 答案 7 2 椭圆的焦点坐标为 5 0 和 5 0 椭圆上一点与两焦点的距离和是26 则椭圆的方程为 解析 已知c 5 2a 26 a 13 又焦点在x轴上 故方程为答案 3 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 解析 由已知得4b 2a 2c 即a c 2b 又b2 a2 c2 有 a c 2 4 a2 c2 即3a2 2ac 5c2 0 亦即 解得答案 4 3 m 5 是 方程表示椭圆 的 条件 解析 方程表示椭圆 则解得 3 m 5且m 1 故方程表示椭圆 可得 3 m 5成立 但 3 m 5时 如m 1却不表示椭圆 答案 必要不充分 5 已知椭圆的离心率则m的值为 解析 当焦点在x轴上时 0 m 5 a2 5 b2 m c2 5 m 又解得m 3 当焦点在y轴上时 m 5 a2 m b2 5 c2 m 5 又解得综上可知m 3或答案 3或 6 已知椭圆的短轴长为6 离心率为则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为 解析 因为椭圆的短轴长为6 所以b 3 又因为离心率为所以 又因为a2 b2 c2 解 组成的方程组得 a 5 c 4 所以 焦点到长轴端点的距离为 a c 9或a c 1 答案 9或1 考向1椭圆的定义及应用 典例1 1 在 abc中 点b 12 0 c 12 0 且ac ab边上的中线长之和等于39 则 abc的重心的轨迹方程为 2 2013 镇江模拟 已知f1 f2是椭圆c 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且若 pf1f2的面积为9 则b 思路点拨 1 先寻找到 abc的重心与两定点b c的关系 再根据椭圆的定义求出轨迹方程 2 关键抓住点p为椭圆c上的一点 从而依据定义有pf1 pf2 2a 再利用求出pf1 pf2 最后结合面积求得b值 规范解答 1 如图 设m是 abc的重心 bd是ac边上的中线 ce是ab边上的中线 由重心的性质知于是 又26 bc 24 根据椭圆的定义知 点m的轨迹是以b c为焦点的椭圆 除去与x轴的交点 2a mb mc 26 a 13 又2c bc 24 c 12 b2 a2 c2 132 122 25 故所求的轨迹方程为答案 2 由题意知pf1 pf2 2a pf12 pf22 f1f22 4c2 pf1 pf2 2 2pf1 pf2 4c2 2pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 pf1 pf2 2b2 b 3 答案 3 互动探究 将本例题 2 中条件 pf1f2的面积为9 分别改为 f1pf2 60 则结果如何 解析 由题意得pf1 pf2 2a 又 f1pf2 60 pf12 pf22 2pf1 pf2cos60 f1f22 pf1 pf2 2 3pf1 pf2 4c2 3pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 pf1 pf2 拓展提升 椭圆定义的应用 1 利用椭圆的定义解题时 一方面要注意常数2a f1f2这一条件 另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的 焦点三角形 中的数量关系 2 对于 焦点三角形 利用椭圆定义可求其周长 利用椭圆定义和余弦定理可求pf1 pf2 通过整体代入可求其面积等 提醒 利用椭圆的定义定形状时 一定要注意常数2a f1f2这一条件 变式备选 已知椭圆上一点p到两焦点的距离之积为m 则当m取最大值时 点p的坐标为 解析 设点p到两焦点的距离分别为r1 r2 则r1 r2 10 当且仅当r1 r2 5时取等号 此时点p的坐标为 0 3 或 0 3 答案 0 3 或 0 3 考向2椭圆的标准方程与几何性质 典例2 2012 广东高考 在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆c 的离心率且椭圆c上的点到q 0 2 的距离的最大值为3 1 求椭圆c的方程 2 在椭圆c上 是否存在点m m n 使得直线l mx ny 1与圆o x2 y2 相交于不同的两点a b 且 oab的面积最大 若存在 求出点m的坐标及相对应的 oab的面积 若不存在 请说明理由 思路点拨 1 先根据将待定系数a b减为一个系数b 再根据椭圆c上任意点p x y 满足椭圆c的方程 将pq中两个变量减为关于y的函数 求其最大值 从而求出b 得c的方程 2 可求出原点到直线l的距离 进而求出ab的长 即可求出s oab 再根据m m n 在椭圆上 因而从而确定出m的值 n的值 问题得解 规范解答 1 由得 椭圆c 即x2 3y2 3b2 设p x y 为椭圆c上任意一点 则若b 1 则 b 1 当y b时 又b 0 得b 1 舍去 若b 1 则 b 1 当y 1时 得b 1 椭圆c的方程为 2 假设存在点m m n 满足题意 则即设原点到直线l mx ny 1的距离为d 则 ab 当且仅当即亦即时 s oab max 显然存在这样的点使s oab最大 最大值为 拓展提升 1 用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 1 作判断 根据条件判断椭圆的焦点在x轴上 还是在y轴上 还是两个坐标轴都有可能 2 设方程 根据上述判断设方程或 3 找关系 根据已知条件 建立关于a b c的方程组 4 得方程 解方程组 将解代入所设方程 即为所求 提醒 当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时 可设为也可设为ax2 by2 1 a 0 b 0且a b 2 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 1 注意椭圆几何性质中的不等关系对于椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等 在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到这些不等关系 2 利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 3 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式 或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 变式训练 定义 离心率的椭圆为 黄金椭圆 已知e 的一个焦点为f c 0 c 0 则e为 黄金椭圆 是 a b c成等比数列 的 条件 填充分不必要 必要不充分 充要或既不充分也不必要 解析 若e为黄金椭圆 则 b2 a2 c2 a2 所以a b c成等比数列 a b c全不为零 若a b c成等比数列 则b2 ac a2 c2 ac e2 e 1 0 又0 e 1 所以故e为黄金椭圆 答案 充要 考向3椭圆的焦点三角形 典例3 已知p是椭圆上一点 f1 f2分别是左 右两个焦点 1 若 f1pf2 0 求证 f1pf2的面积为 2 若存在点p 使 f1pf2 90 求椭圆离心率的取值范围 3 若过f1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于a b两点 abf2是正三角形 求这个椭圆的离心率 思路点拨 1 f1pf2为焦点三角形 设pf1 m pf2 n 则m n 2a 而只要将mn用m n表示出来即可 2 若求离心率e的取值范围 则必须依据条件 得到关于e的不等式求解 3 利用求解 规范解答 1 如图所示 设pf1 m pf2 n 则m n 2a f1pf2的面积为s 则 在 f1pf2中 2c 2 m2 n2 2mncos m n 2 2mn 1 cos 又m n 2a 1 cos 0 由 得 2 方法一 当 f1pf2 90 时 由 1 得4c2 4a2 2mn 又 当且仅当m n时取等号 4a2 4c2 2a2 e的取值范围为方法二 因为椭圆上存在点p 使 f1pf2 90 所以以f1f2为直径的圆与椭圆有公共点 c b c2 a2 c2 可得e的取值范围为 3 设af1 d 由 abf2是正三角形知af2 2d f1f2 所以椭圆的离心率 拓展提升 记椭圆上一点p与两个焦点f1 f2构成的三角形为焦点三角形 对焦点三角形的考查是高考的热点 在会推导会应用的情况下熟悉下列结论 可大大提高解题速度 pf1 pf2 f1f2 pf1 pf2 常用来求范围或最值 当p为短轴端点时 f1pf2最大 当p为短轴端点时 三角形f1pf2的面积最大为bc 变式训练 1 2013 南京模拟 椭圆上的点p到它的两个焦点f1 f2的距离之比pf1 pf2 且 pf1f2 0 则 的最大值为 2 已知f1 f2是椭圆的两个焦点 p为椭圆上一点 f1pf2 60 求椭圆离心率的取值范围 解析 1 pf1 pf2 pf1 pf2 2a pf1 又 f1f2 2c 在 pf1f2中 当且仅当时取 pf1f2的最大值为即答案 2 不妨设椭圆方程为pf1 m pf2 n 在 pf1f2中 由余弦定理可知 4c2 m2 n2 2mncos60 m n 2a m2 n2 m n 2 2mn 4a2 2mn 4c2 4a2 3mn 又 当且仅当m n时取等号 4a2 4c2 3a2 e的取值范围是 满分指导 与椭圆有关的解答题的规范性解答 典例 14分 2012 安徽高考 如图 点f1 c 0 f2 c 0 分别是椭圆c 的左 右焦点 过点f1作x轴的垂线交椭圆c的上半部分于点p 过点f2作直线pf2的垂线交直线于点q 1 如果点q的坐标是 4 4 求此时椭圆c的方程 2 证明 直线pq与椭圆c只有一个交点 思路点拨 规范解答 1 由条件知由f2 c 0 得直线pf2的斜率为 2分 pf2 f2q 直线f2q的方程为 4分由得 6分 由题设知2a 4 解得a 2 c 1 故椭圆方程为 8分 2 由知直线pq的方程为 10分由得x2 2cx c2 0 12分解得x c 直线pq与椭圆c只有一个交点 14分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 新课标全国卷改编 设f1 f2是椭圆e a b 0 的左 右焦点 p为直线上一点 f2pf1是底角为30 的等腰三角形 则e的离心率为 解析 由题意可得pf2 f1f2 3a 4c 答案 2 2012 山东高考改编 已知椭圆c 的离心率为双曲线x2 y2 1的渐近线与椭圆c有四个交点 以这四个交点为顶点的四边形的面积为16 则椭圆c的方程为 解析 因为椭圆的离心率为 a 2b 椭圆方程为x2 4y2 4b2 又双曲线x2 y2 1的渐近线方程为x y 0 渐近线x y 0与椭圆x2 4y2 4b2在第一象限的交点为由椭圆的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 b2 5 a2 4b2 20 椭圆c的方程为答案 3 2013 宿迁模拟 已知椭圆长轴在y轴上 若焦距为4 则a的值为 解析 将椭圆的方程转化为标准形式为显然a 2 10 a 0 即6 a 10 由得a 8 答案 8 4 2012 江西高考改编 椭圆的左 右顶点分别为a b 左 右焦点分别是f1 f2 若af1 f1f2 f1b成等比数列 则此椭圆的离心率为 解析 由题意知af1 a c f1f2 2c f1b a c 且三者成等比数列 则f1f22 af1 f1b 即4c2 a2 c2 a2 5c2 所以答案 1 设椭圆的离心率为右焦点f c 0 方程ax2 bx c 0的两个实数根分别为x1 x2 则点p x1 x2 与圆x2 y2 2的位置关系为 解析 由得a 2c 所以 由点p x1 x2 到圆心 0 0 的距离为所以点p在圆x2 y2 2内 答案 p在圆内 2 已知点p 4 4 圆c x m 2 y2 5 m 3 与椭圆e a b 0 有一个公共点a 3 1 f1 f2分别是椭圆的左 右焦点 直线pf1与圆c相切 1 求m的值与椭圆e的方程 2 设q为椭圆e上的一个动点 求的取值范围 解析 1 点a代入圆c方程 得 3 m 2 1 5 m 3 m 1 圆c x 1 2 y2 5 易知直线