高考数学 第二章 第八节 函数与方程课件 理 苏教版.ppt

第八节函数与方程 1 函数的零点 1 定义 使函数y f x 的值为0的 称为函数y f x 的零点 2 零点与相应方程根 函数图象与x轴交点横坐标间的关系 方程f x 0有 函数y f x 的图象与x轴有 函数y f x 有 实数x 实数根 交点 零点 2 函数零点的存在性定理函数f x 在区间 a b 上存在零点的条件 1 在区间 a b 上的图象是一条 的曲线 2 0 不间断 f a f b 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则f a f b 0 3 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 4 只要函数有零点 我们就可以用二分法求出零点的近似值 解析 1 错误 函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标 2 错误 函数f x x2 x在 1 2 上有两个零点 但f 1 f 2 0 3 正确 当b2 4ac 0时 二次函数图象与x轴无交点 从而二次函数没有零点 4 错误 当函数零点左右两侧函数值同号时 无法使用二分法求零点的近似值 答案 1 2 3 4 1 函数f x 的零点个数是 解析 由等价关系零点个数转化为方程的根的个数 即又转化为函数y lgx与图象交点个数 由图象得 有一个交点 答案 1 2 函数f x mx 1在 0 1 内有零点 则实数m的取值范围是 解析 由f 0 f 1 1 答案 1 3 二次函数f x ax2 bx c中 a c 0 则函数的零点个数是 解析 c f 0 a c a f 0 0 即a和f 0 异号 即或 函数必有两个零点 答案 2 4 若函数f x ax2 x 1仅有一个零点 则实数a的取值范围是 解析 当a 0时 则f x x 1 易知函数只有一个零点 当a 0时 则函数为二次函数 仅有一个零点 即 1 4a 0 综上 当a 0或时 函数只有一个零点 答案 考向1函数零点的求解与判断 典例1 1 2012 天津高考改编 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 2 设函数y x3与的图象的交点为 x0 y0 若x0 n n 1 n n 则x0所在的区间是 思路点拨 1 根据零点存在性定理证明有零点 根据函数的单调性判断零点的个数 2 画出两个函数的图象寻找零点所在区间 规范解答 1 因为f x 2xln2 3x2 0 x 0 1 所以函数f x 2x x3 2在 0 1 上单调递增 且f 0 1 0 2 1 0 f 1 2 1 2 1 0 所以有1个零点 答案 1 2 设则x0是函数f x 的零点 在同一坐标系下画出函数y x3与的图象如图所示 f 1 f 2 0 x0 1 2 答案 1 2 互动探究 把本例题 2 改为 方程log3x x 3的解为x0 若x0 n n 1 n n 试判断其解所在的区间 解析 构造函数 转化为求函数的零点所在的区间 令f x log3x x 3 则f 2 log32 2 3 f 3 log33 3 3 1 0 又因为函数f x 在 0 上是连续且单调递增的 所以方程log3x x 3的解所在的区间为 2 3 拓展提升 确定函数f x 零点所在区间的常用方法 1 解方程法 当对应方程f x 0易解时 可先解方程 再看求得的根是否落在给定区间上 2 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图象是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 3 数形结合法 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 变式备选 1 2013 镇江模拟 方程xlg x 2 1有 个实数根 解析 原方程化为作出函数y lg x 2 与的图象如图 知两函数有两个交点 故方程有两个实数根 答案 2 2 2013 扬州模拟 方程在区间 2010 2012 上各根的和为 解析 令由于函数y1 y2的图象都关于点 1 0 对称 y2的周期为2 两函数图象的交点的横坐标即为原方程的根 而这些点均关于 1 0 对称 每相应一对根是以1为中点 它们的和为1 2 2 在区间 2010 2012 上 当x 1时有1005 5个周期 共2010个交点 x 1时有1005 5个周期 共2010个交点 则有2010对点关于 1 0 对称 故所有根的和为2 2010 4020 答案 4020 考向2函数零点的应用 典例2 已知函数f x x2 2ex m 1 1 若g x m有实数根 求m的取值范围 2 确定m的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 思路点拨 解答 1 可用基本不等式求出最值或数形结合法求解 2 转化为两个函数f x 与g x 有两个交点 从而用数形结合法求解 规范解答 1 方法一 等号成立的条件是x e 故g x 的值域是 2e 因此 只需m 2e 则g x m就有实数根 方法二 作出的大致图象如图 可知若使g x m有实数根 则只需m 2e 2 若g x f x 0有两个相异的实根 即g x 与f x 的图象有两个不同的交点 作出的大致图象 f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 f x 的图象的对称轴为x e 开口向下 最大值为m 1 e2 故当m 1 e2 2e 即m e2 2e 1时 g x 与f x 有两个交点 即g x f x 0有两个相异实根 m的取值范围是 e2 2e 1 拓展提升 已知函数有零点 方程有根 求参数取值范围常用的方法和思路 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后数形结合求解 变式训练 设函数在区间 1 2 内有零点 则实数a的取值范围是 解析 由题意知方程在区间 1 2 上有解 由1 x 2得 a log32 1 答案 log32 1 易错误区 忽视定义域导致求函数零点个数失误 典例 2012 湖北高考改编 函数f x xcos2x在区间 0 2 上的零点的个数为 误区警示 本题易出现的错误主要有两个方面 1 忽视x 0这一零点致误 2 误把y cos2x在 0 2 上的零点与y cosx在 0 2 上的零点等同 导致错误 规范解答 当x 0时 f x 0 令t 2x 则 x 0 2 t 0 4 则y cost的零点为故y cos2x在 0 2 上的零点为所以f x 在区间 0 2 上的零点个数为5 答案 5 思考点评 解答本题应注意的两个问题 1 区间 0 2 是x的范围而不是2x的范围 2 用整体的思想求解 即令t 2x 先求出t的范围 再在这个范围内寻找使cost 0的t值即可 1 2012 北京高考改编 函数f x 的零点的个数为 解析 在同一平面直角坐标系内作出与的图象如图所示 易知 两函数图象只有一个交点 因此函数只有1个零点 答案 1 2 2013 徐州模拟 若关于x的方程有三个不等的实数根 则实数k的取值范围是 解析 令y2 kx 作出两函数的图象如图 故当两函数有三个交点时 k 答案 3 2013 潍坊模拟 偶函数f x 满足f x 1 f x 1 且在x 0 1 时 f x 1 x 则关于x的方程在x 0 3 上解的个数是 解析 由f x 1 f x 1 得f x 2 f x 即函数f x 的周期为2 又函数f x 是偶函数 从而函数y f x 在 1 3 上的图象如图所示 从而方程在x 0 3 上有4个解 答案 4 4 2013 南京模拟 设函数f x x3 2ex2 mx lnx 记若函数g x 至少存在一个零点 则实数m的取值范围为 解析 函数g x 至少存在一个零点 x2 2ex m 0有解 即m x2 2ex 令y x2 2ex 令y 0 得x e 又 当00 当x e时 y 0 当x e时 y取极大值 也是最大值 故m小于等于函数的最大值即可 函数的最大值为 答案 1 已知函数若方程f x x a有且只有两个不相等的实数根 则实数a的取值范围为 解析 当x 0时 f x f x 1 且当0 x 1时 x 1 0 f x 21 x 1 0 x 1 则函数f x 的图象如图所示 由图象知 要使方程f x x a有且只有两个不相等的实数根 则a 1 答案 1 2 设函数f x 的定义域为r 且对任意的x r都有f x 1 f x 1 若在区间 1 3 上函数g x f x mx m恰有