高中数学 1.4.21.4.3单位圆与周期性单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件 北师大版必修4.ppt

4 2单位圆与周期性4 3单位圆与正弦函数 余弦函数的基本性质 1 周期函数及相关应用 1 终边相同的角的正弦 余弦函数值的对应关系 sin x k 2 k z cos x k 2 k z sinx cosx 2 周期函数的定义 两个条件 对于函数f x 存在 实数t 对定义域内的任意一个x值都有 两个结论 为周期函数 为函数的周期 非零 f x t f x f x t 2 正弦函数 余弦函数都是周期函数周期是2k k z k 0 最小正周期是 2 3 单位圆与正 余弦函数的性质 1 原理 y sinx y cosx 2 正 余弦函数的性质 1 1 1 x 2k 1 k z 1 x 2k k z 1 1 2 1 判一判 正确的打 错误的打 1 y sinx的函数值可以取到1 5 2 y sinx在上是减少的 3 在 0 2 上y sinx取得最大值时x的值为 4 函数f x x 1 2满足f 1 f 4 1 故f x 是以 4为周期的周期函数 解析 1 错误 因为y sinx的值域为 1 1 2 正确 由函数的图像可知 3 正确 sinx 1时 4 错误 当x 2时不成立 不符合周期性定义 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 点在函数y sinx的图像上 则a的值为 2 函数y 2sinx在区间上的值域是 3 若f x 是周期为4的函数 且f 1 则f 3 解析 1 点m在函数y sinx的图像上 故答案 2 当时 所以2sinx 即函数y 2sinx的值域是答案 3 因为f x 是周期为4的函数 所以f 3 f 3 4 f 1 答案 要点探究 知识点1周期函数1 对周期函数的两点说明 1 并不是每一个函数都是周期函数 若函数具有周期性 则其周期也不一定唯一 2 如果t是函数f x 的一个周期 则nt n z且n 0 也是f x 的周期 2 对周期函数的理解应注意的三点 1 存在一个不等于零的常数t 2 对于定义域内的每一个值x 都有x t属于这个定义域 3 满足f x t f x 微思考 周期函数一定有最小正周期吗 提示 不一定 如常数函数 它是周期函数 但是不存在最小正周期 即时练 关于周期函数 下列说法正确的是 填序号 周期函数的定义域可以是有限集 周期函数的周期只有唯一一个 周期函数的周期可以有无数多个 周期函数的周期可正可负 解析 由周期函数的定义可得 是错误的 是正确的 答案 知识点2正弦 余弦函数的基本性质1 对从单位圆看正弦 余弦函数性质的两点说明 1 正 余弦函数的性质是利用正弦 余弦函数的定义结合单位圆直观观察得来的 2 这些性质适用于整个函数 而不仅仅是在 0 2 上的性质 2 对正弦函数 余弦函数单调性与最值的说明 1 对于正弦函数与余弦函数来说 它们的定义域均是全体实数 但并不能说它们是增函数或减函数 而只能说在某个区间内是增加的或减少的 2 正弦函数的最值在单位圆与y轴的交点处取得 而余弦函数的最值则在单位圆与x轴的交点处取得 要注意区分 微思考 正弦函数与余弦函数的最值均是在区间的端点处取得 对吗 提示 错误 如在区间内 正弦函数y sinx的最大值在x 处取得 并不在区间的端点处取得 即时练 下列关于正 余弦函数性质的叙述中 错误的是 a 正 余弦函数都是周期函数 周期是2k k zb 正 余弦函数的值域都是 1 1 c 正弦函数在第一象限内是增加的d 正弦函数在上是增加的 解析 选c 函数y sinx不能说在某个象限内是单调函数 只能是在某个区间上的单调函数 如30 390 而sin30 sin390 题型示范 类型一周期函数的应用 典例1 1 2014 秦皇岛高一检测 已知函数f x 的周期为3 且f 1 10 则f 10 2 若f x f x 2 f x 2 且f 2015 2015 则f 2027 解题探究 1 题 1 中f x 3 f x 成立吗 2 若f x a f x 则函数f x 的周期等于什么 探究提示 1 因为函数f x 的周期为3 所以f x 3 f x 2 若f x a f x 则函数f x 的周期等于2a 自主解答 1 因为函数f x 的周期为3 所以f 10 f 1 3 3 f 1 10 答案 10 2 因为f x f x 2 f x 2 所以f x 2 f x f x 2 f x 4 f x 2 f x f x 6 f x 4 f x 2 所以f x 6 f x 即函数的周期是12 f 2027 f 2015 12 f 2015 2015 答案 2015 方法技巧 常见周期函数的形式周期函数除常见的定义式f x t f x 外 还有如下四种形式 1 f x a f x 2 f x a 3 f x a 4 f x a f x a 以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数 变式训练 2013 蚌埠高一检测 设定义在r上的函数f x 满足f x f x 2 13 若f 1 2 则f 99 解题指南 先求f x 的周期后求f 99 的值 解析 因为f x f x 2 13 所以所以f x 是以4为周期的函数 所以f 99 f 24 4 3 f 3 答案 补偿训练 若f x 2 则函数f x 的最小正周期是 解析 因为f x 2 所以f x 4 所以函数f x 的最小正周期是4 答案 4 类型二正弦函数 余弦函数基本性质的简单应用 典例2 1 函数y cosx的一个增区间为 2 2014 济南高一检测 函数的定义域为 3 求函数y cosx的值域 用区间表示 解题探究 1 题 1 中y cosx在哪些区间上是递增的 2 题 2 中开偶次方根时 对被开方数有什么要求 3 题 3 中y cosx在上是增加的还是减少的 探究提示 1 y cosx在 2k 2k k z 上是递增的 2 开偶次方根时要求被开方数为非负数 3 y cosx在上是增加的 在上是减少的 自主解答 1 选d 因为y cosx的单调递增区间为 2k 2k k z 所以令k 1得 2 即为函数y cosx的一个单调递增区间 而 2 2 所以 2 为函数y cosx的一个单调递增区间 故选d 2 要使有意义 则必须满足2sinx 1 0 即sinx 结合单位圆 如图所示 知x的取值范围是 x 答案 3 因为y cosx在区间上是减少的 所以当x 0时 ymax cos0 1 当时 ymin 因为y cosx在区间上是增加的 所以当x 0时 ymax cos0 1 当x 时 ymin 所以函数y cosx的值域是 方法技巧 利用单位圆解三角不等式sinx m sinx m 的方法 1 利用单位圆 在坐标系内画出满足条件的角的终边的位置 2 根据正弦函数的周期性 加上2k 写出原不等式的解集 变式训练 函数的定义域为 解析 选c 因为cosx 0 所以cosx 所以所以函数的定义域为故选c 补偿训练 不等式的解集是 解析 由得 结合正弦函数的图像或三角函数线可知x的取值范围是答案 易错误区 忽略函数的定义域致误 典例 2013 杭州高一检测 若x是三角形的最小角 则y sinx的值域是 解析 由三角形内角和为 知 若x为三角形中的最小角 则画出图形如图所示 由单位圆知答案 常见误区 防范措施 1 深入挖掘题目中的条件要重视对题目条件的挖掘和充分的应用 一般情况下题目条件应用不充分 挖掘不透均会导致错