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积分中值定理在数学分析中的应用 李 数学科学学院 统计学 学号 8 指导老师 摘要 本文主要介绍了积分中值定理在数学分析中应用时的注意事项及几点主要应用 这些应用主要是 一 求函数在一个区间上的平均值 二 估计定积分的值 三 求 含有定积分的极限 四 确定积分的符号 五 证明中值的存在性命题 六 证明 积分不等式 七 证明函数的单调性 关键词 积分 中值 定理 应用 Mean Value Theorem in Mathematical Analysis Li Xiu hua College of mathematics and computer science No 110444036 Tutor Wang Bei zhan Abstract This paper describes the mean value theorem in mathematical analysis application note and a few of the major applications These applications are mainly 1 Demand function in an interval on the average 2 The estimated value of definite integral 3 Order to contain the limits of definite integrals 4 Define integral of symbol 5 Proof of the existence of the value proposition 6 To prove integral inequality 7 To prove monotonicity of a function Key words integral average value theory applied 目录 摘要 1 1 引言 2 2 2 预备知识 3 3 积分中值定理的应用 4 3 1 求函数在一个区间上的平均值 5 3 2 估计定积分的值 6 3 3 求含有定积分的极限 7 3 4 确定积分的符号 9 3 5 中值的存在性命题 9 3 6 证明不等式 9 3 7 证明函数的单调性 11 参考文献 12 1 引言 3 积分中值定理是数学分析中的主要定理之一 同时也是定积分的一个主要性质 它 建立了积分和被积函数之间的关系 从而我们可以通过被积函数的性质来研究部分的性 质 有较高的理论价值和广泛应用 本文就其在解题中的应用进行讨论 2 预备知识 定理 2 1 1 积分第一中值定理 若在区间 a b 上连续 则在 a b 上至少存在一 xf 点使得 baabfdxxf b a 1 证明证明 由于在区间 a b 上连续 因此存在最大值和最小值 由 xfMm baxMxfm 使用积分不等式性质得到 abMdxxfabm b a 或 Mdxxf ab m b a 1 再由连续函数的介值性 至少存在一点 使得 ba 1 dxxf ab f b a 定理 2 2 1 推广的积分第一中值定理 若在闭区间上连续 且在 xgxf ba xg 上不变号 则在至少存在一点 使得 ba ba badxxgfdxxgxf b a b a 2 证明证明 推广的第一中值积分定理 不妨设在上则在上有 ba 0 xg ba xMgxgxfxmg 其中 分别为在上的最小值和最大值 则有mM xf ba 4 dxxgMdxxgxfdxxgm b a b a b a 若 则由上式知 从而对上任何一点 定理都成立 0 dxxg b a 0 dxxgxf b a ba 若则由上式得 0 dxxg b a M dxxg dxxgxf m b a b a 则在上至少存在一点 使得 ba b a b a dxxg dxxgxf f 即 badxxgfdxxgxf b a b a 显然 当时 推广的积分第一中值定理就是积分中值定理 1 xg 3 积分中值定理的应用 由于积分中值定理可以使积分号去掉 从而使问题简化 对于证明包含函数积分 和某个函数值之间关系的等式和不等式 也可以考虑使用积分中值定理 在使用积分中值定理时要注意以下几点 1 在应用中要注意被积函数在区间上连续这一条件 否则 结论不一定成 ba 立 例如 显然在处间断 0 4 cos xx 4 0 cos xx xf0 x 由于 4 0 0 4 4 0 0 4 4 4 0coscos xdxdxxdxxfdxxfdxxf 5 但在上 所以 对任何都不能使 4 4 0 xf 4 4 fdxxf2 4 4 2 定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉 例如 令 2 2 sin sin xxxgxxf 由于 0 cossin 2 1 sin 2 2 2 2 2 2 2 xxxxdxdxxgxf 但 2 2 2 2 0sin xdxdxxg 所以 不存在 2 2 使 2 2 2 2 dxxgfdxxgxf 3 定理中所指出的并不一定是唯一的 也不一定必须是的内点 ba 例如 令 则对都有 baxxf 1 ba abfdxxf b a 这也说明了未必在区间的内点 ba 下面就其应用进行讨论 3 1 求函数在一个区间上的平均值 6 例例 1 试求在上的平均值 xfsinx 0 解解 平均值 2 cos 1 sin 1 0 0 xxdxf 例例2 试求心形线上各点极经的平均值 2 0 cos1 ar 解解 平均值 sin 2 cos1 2 1 2 0 2 0 a a dar 注 在解某区间上一个函数的平均值时 我们只需要在这个区间上对这个函数进行 积分 然后积分结果除以区间的差值 在这里主要是应用了积分第一中值定理 所以 求解其类问题时 一定要理解积分中值定理的定义 3 2 估计定积分的值 例例 3 估计的值 dx x x 1 0 36 19 1 解解 由推广的积分第一中值定理 得 其中 1 1 20 1 1 1 1 3 6 1 0 19 3 6 1 0 36 19 dxx x x 1 0 因为 10 所以 1 1 1 2 1 3 6 3 即 20 1 1 1 20 1 220 1 3 6 3 故 20 1 1 220 1 1 0 36 19 3 dx x x 例例 4 估计的值 dx x 2 0 cos5 01 1 解解 因为在上连续 且 x xf cos5 01 1 2 0 7 2 max 2 0 xf 3 2 min 2 0 xf 所以由积分第一中值定理有 422 cos5 01 1 2 3 2 4 3 2 0 dx x 在估计其类积分的值时 首先我们要确定被积函数在积分区间上连续的基础上确 定被积函数在积分区间上的最大值和最小值 然后再利用积分中值定理就迎刃而解了 例例 5 估计的值 dx x x 1 0 9 1 解解 因为在上连续 在内可导 x x xf 1 9 1 0 1 0 且在内无解 2 3 8 12 1718 x xx xf 1 0 即 1 0 0 xxf 等号仅在时成立 故在内严格单调增 0 x xf 1 0 即 2 1 100 fxff 所以由积分第一中值定理有 2 1 1 0 1 0 9 dx x x 在估计其类积分的值时 首先要确定要积分的函数在积分闭区间上连续 在开区 间上可导 然后判断函数在积分区间上的单调性 最后利用积分中值定理就可以估计 积分的值了 综上 在利用积分中值定理估计积分的值时 我们要根据不同的题型给出不同的 解决方法 这也是我们在学习过程中逐渐要培养的 积累的好习惯 3 3 求含有定积分的极限 8 例例 6 求极限为自然数 npdx x x pn nn sin lim 解解 利用中值定理 得 因为在上连续 由积分中值定理得 x x xf sin pnn pnnpdx x x pn n sinsin 当时 而 n sin1 故 0 dx x x pn nn sin limp sin lim 例例 7 求 xdx n n 2 0 sinlim 解解 若直接用中值定理 xdx n n 2 0 sinlim n sin 2 3 因为而不能严格断定 其症结在于没有排除 故采取下列措施 2 0 x n sin0 xdx n n 2 0 sinlim xdx n 2 0 sinxdx n 2 2 sin 其中为任意小的正数 对第一积分中值定理使用推广的积分第一中值定理 有 xdx n n 2 0 sinlim 0sin 2 lim n n 22 0 而第二个积分 2 2 sin xdx n dxx n 2 2 sin 2 2 dx 由于得任意性知其课任意小 所以 9 0 xdx n n 2 0 sinlim xdx n 2 0 sinxdx n 2 2 sin 注 求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号 在应用该定理时 要 注中值不仅依赖于积分区间 而且还依赖于根式中自变量的趋近方式 n 3 4 确定积分的符号 例例 8 确定积分的符号 dxex x 3 3 3 解解 dxex x 3 3 3 dxex x 0 3 3 dxxex x 3 0 3 tdet t 3 3 0 dxex x 3 0 3 dtet t 0 3 3 dxex x 3 0 3 dtet t 3 0 3 dxex x 3 0 3 dxeex xx 3 0 3 利用积分中值定理 得 0 其中 dxex x 3 3 3 ee 3 3 30 又在上不恒等于 0 故 x ex3 3 3 0 3 3 3 dxex x 注 在解决其类题时 我们常常会以 0 作为上下限的中介点 然后把原积分写成以 0 为中介点的两个积分的和 积分化就成两个以 0 为中介点且上下限一样的积分相加 最后利用积分中值定理确定积分的符号 这里主要使用了积分中值定理和函数的单调 性 3 5 证明中值的存在性命题 例例 9 设函数在上连续 在内可导 且 xf 1 0 1 0 证明 使 1 3 2 03fdxxf 1 0 0 f 证明证明 由积分中值定理得 其中 ffdxxff 3 2 1330 1 3 2 1 3 2 又因为在上连续 在内可导 xf 1 0 1 0 10 故在上满足罗尔定理条件 可存在一点 使 xf 0 100 0 f 注 在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时 一般应用积分中值定理求解 掌握积分中值定理在解此类问题时至关重要 是我们必须要好好掌握的 3 6 证明不等式 例例 10 求证 20 1 1 220 1 1 0 36 19 3 dx x x 证明证明 1 1 20 1 1 1 13 3 6 1 0 19 3 6 1 06 19 dxxdx x x 其中 于是由即可获证 1 0 1 1 1 2 1 3 6 3 例例 11 证明 2 1 2 3 2 1 02 xx dx 证明证明 估计连续函数的积分值的一般的方法是求在的最大值 dxxf b a xf ba 和最小值 则Mm abMdxxfabm b a 因为 2 3 2 1 4 9 22 2 2 xxx 1 0 x 所以 2 1 2 3 2 1 02 xx dx 例例 12 证明 10 1 1210 1 1 0 9 dx x x 证明证明 估计积分的一般的方法是 求在的最大值和最小值 dxxgxf b a xf ba M 又若 则m 0 xg dxxgMdxxgxfdxxgm b a b a b a 4 本题中令 11 0 1 1 9 xxg x xf 10 x 因为 1 1 1 2 1 x 1 0 x 所以 10 1 12 1 210 1 1 0 9 1 0 9 1 0 9 dxxdx x x dxx 例例 13 证明 2 2 0 4 1 22 2 edxee xx 证明证明 在区间上求函数的最大值和最小值 20 xx exf 2 Mm 令 得驻点 xx e xxf 2 12 0 x f 2 1 x 比较 知为在上的最小值 而为 2 1 f 0f 2f 4 1 2 1 ef xf 20 2 2ef 在上的最大值 由积分中值定理得 xf 20 0202 2 2 0 4 1 2 edxee xx 即 2 2 0 4 1 22 2 edxee xx 注 由于积分具有许多特殊的运算性质 故积分不等式的证明往往富有很强的技 巧性 在证明含有定积分的不等式时 也常考虑用积分中值定理 以便去掉积分符号 若被积函数是两个函数之积时 可考虑用广义积分中值定理 如果在证明如 11 和 12 例题时 可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便 3 7 证明函数的单调性 例例 14 设函数在上连续 试证 在内 xf 0 dttftxxF k 0 2 0 若为非减函数 则为非增函数 xf xF 证明证明 dtttfdttfxdttftxxF kkk 000 22 对上式求导 得 12 2 00 xxfdttfxxfxxfdttfxF kk 利用积分中值定理 得 xxffxxxfxfxF 0 若为非减函数 则 xf 0 xff 所以 故为非减函数 0 x F x F 综上所述 积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉 从而 使问题简单化 因此 对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式 或者 要证的结论中含有定积分 或者所求的极限式中含有定