高优指导高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.3 空间图形的基本关系与公理课件 理 北师大版.pptVIP

8 3空间图形的基本关系与公理 2 考纲要求 1 理解空间直线 平面位置关系的定义并了解可以作为推理依据的公理和定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 3 1 空间图形的公理 1 公理1 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 即可以确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 2 公理2 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 即直线在平面内 3 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过这个点的公共直线 4 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行 4 2 空间中两直线的位置关系 1 空间两直线的位置关系 2 直线间的夹角 两共面直线的夹角 当直线l1 l2共面时 把两条直线交角中 范围在内的角叫作两直线的夹角 异面直线a b所成的角 过空间任意一点p分别引两条异面直线a b的平行线l1 l2 a l1 b l2 这两条相交直线所成的锐角 或直角 就是异面直线a b所成的角 3 等角定理 空间中 如果两个角的两条边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 5 3 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 1 直线与平面的位置关系有相交 平行 在平面内三种情况 2 平面与平面的位置关系有平行 相交两种情况 6 1 2 3 4 5 1 下列结论正确的打 错误的打 1 两个不重合的平面只能把空间分成四个部分 2 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于a点 记作 a 3 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b不可能是平行直线 4 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 就说平面 相交 并记作 a 5 若a b是两条直线 是两个平面 且a b 则a b是异面直线 7 1 2 3 4 5 2 下列命题正确的个数为 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合a 0b 1c 2d 3 答案 解析 8 1 2 3 4 5 3 一个正方体的展开图如图所示 a b c d为原正方体的顶点 则在原来的正方体中 a ab cdb ab与cd相交c ab cdd ab与cd所成的角为60 答案 解析 9 1 2 3 4 5 4 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab ad的中点 则异面直线b1c与ef所成的角的大小为 a 30 b 45 c 60 d 90 答案 解析 10 1 2 3 4 5 5 如图所示 在三棱锥a bcd中 e f g h分别是棱ab bc cd da的中点 则 1 当ac bd满足条件时 四边形efgh为菱形 2 当ac bd满足条件时 四边形efgh是正方形 答案 解析 11 1 2 3 4 5 自测点评1 做有关平面基本性质的判断题时 要抓住关键词 如 有且只有 只能 最多 等 2 两个不重合的平面只要有一个公共点 那么两个平面一定相交且得到的是一条直线 3 异面直线是指不同在任何一个平面内 没有公共点的直线 不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线 12 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点1平面的基本性质及应用例1如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 2 ce d1f da三线共点 13 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 证明 1 如图 连接ef cd1 a1b e f分别是ab aa1的中点 ef a1b 又a1b cd1 ef cd1 e c d1 f四点共面 2 ef cd1 ef cd1 ce与d1f必相交 设交点为p 则由p ce ce 平面abcd 得p 平面abcd 同理p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 da p 直线da ce d1f da三线共点 14 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 如何利用平面的基本性质证明点共线和线共点 解题心得 1 点线共面问题的证明方法 1 纳入平面法 先确定一个平面 再证有关点 线在此平面内 2 辅助平面法 先证有关点 线确定平面 再证其余点 线确定平面 最后证明平面 重合 2 证明三线共点问题 常用的方法是 先证其中两条直线交于一点 再证交点在第三条直线上 证交点在第三条直线上时 第三条直线应为前两条直线所在平面的交线 可以利用公理3证明 15 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练1如图 空间四边形abcd中 e f分别是ab ad的中点 g h分别在bc cd上 且bg gc dh hc 1 2 1 求证 e f g h四点共面 2 设eg与fh交于点p 求证 p a c三点共线 答案 16 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点2空间两条直线的位置关系例2若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 a l与l1 l2都不相交b l与l1 l2都相交c l至多与l1 l2中的一条相交d l至少与l1 l2中的一条相交 答案 解析 17 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 如何借助空间图形确定两直线位置关系 解题心得 解题时一定要注意选项中的重要词语 如本例中 至少 至多 否则很容易出现错误 解决空间点 线 面的位置关系这类试题时一定要万分小心 除了作理论方面的推导论证外 可利用特殊图形进行检验 也可作必要的合情推理 18 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练2 1 如图 g n m h分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点 则直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 答案 解析 19 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是a1b1 b1c1的中点 问 am和cn是不是异面直线 说明理由 d1b和cc1是不是异面直线 说明理由 20 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 解 不是异面直线 理由如下 连接mn a1c1 ac m n分别是a1b1 b1c1的中点 mn a1c1 又a1a c1c 四边形a1acc1为平行四边形 a1c1 ac mn ac a m n c在同一平面内 故am和cn不是异面直线 21 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 是异面直线 理由如下 abcd a1b1c1d1是正方体 b c c1 d1不共面 假设d1b与cc1不是异面直线 则存在平面 使d1b 平面 cc1 平面 d1 b c c1 与abcd a1b1c1d1是正方体矛盾 假设不成立 即d1b与cc1是异面直线 22 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点3异面直线所成的角例3如图 在底面为正方形 侧棱垂直于底面的四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 2 则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为 答案 解析 23 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 求异面直线所成的角常用方法有哪些 解题心得 1 求异面直线所成的角常用方法是平移法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成的角的三步曲 即 一作 二证 三求 其中空间选点任意 但要灵活 经常选择 端点 中点 等分点 通过作三角形的中位线 平行四边形等进行平移 作出异面直线所成的角 转化为解三角形问题 进而求解 24 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练3 1 将本例条件 aa1 2ab 2 改为 ab 1 若平面abcd内有且仅有一点到顶点a1的距离为1 求异面直线a1b与ad1所成角的余弦值 将本例条件 aa1 2ab 2 改为 ab 1 若异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为 在本例条件下 若点p在平面a1b1c1d1内且不在对角线b1d1上 过点p在平面a1b1c1d1内作一直线m 使m与直线bd成 角 且 这样的直线可作几条 25 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 26 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 27 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 求ac与a1d所成角的大小 若e f分别为ab ad的中点 求a1c1与ef所成角的大小 解 如图所示 连接b1c ab1 由abcd a1b1c1d1是正方体 易知a1d b1c 从而b1c与ac所成的角就是ac与a1d所成的角 ab1 ac b1c b1ca 60 即a1d与ac所成的角为60 连接bd 在正方体abcd a1b1c1d1中 ac bd ac a1c1 e f分别为ab ad的中点 ef bd ef ac ef a1c1 即a1c1与ef所成的角为90 28 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据 公理2及其推论是判断或证明点 线共面的依据 公理3是证明三线共点或三点共线的依据 要能够熟练用文字语言 符号语言 图形语言来表示公理 2 判定空间两条直线是异面直线的方法 1 判定定理 平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过该点b的直线是异面直线 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异面 29 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 3 求两条异面直线所成角的大小 一般方法是通过平行移动直线 把异面问题转化为共面问题来解决 根据空间等角定理及推论可知 异面直线所成角的大小与顶点位置无关 往往可以选在其中一条直线上 线段的端点或中点 利用三角形求解 30 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 异面直线易误解为 分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线 实际上 两异面直线不同在任何一个平面 即异面直线既不平行 也不相交 2 直线与平面的位置关系在判断时最易忽视 线在面内 31 思想方法 构造模型判断空间线面的位置关系空间点 直线 平面的位置关系是立体几何的理论基础 高考常设置选择题或填空题 考查直线 平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法 在判断线 面位置关系时 有时可以借助常见的几何体做出判断 这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题 解决的方法是 推理论证加反例推断 即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明 错误的结论需要通过举出反例说明其错误 在解题中可以以常见的空间几何体 如正方体 正四面体等 为模型进行推理或者反驳 32 典例 1 已知空间三条直线l m n 若l与m异面 且l与n异面 则 a m与n异面b m与n相交c m与n平行d m与n异面 相交 平行均有可能 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为棱aa1 cc1的中点 则在空间中与三条直线a1d1 ef cd都相交的直线有条 答案 1 d 2 无数 解析 1 在如图所示的长方体中 m n1与l都异面 但是m n1 所以a b错误 m n2与l都异面 且m n2也异面 所以c错误