八年级 第9讲 面积与面积法 (教师版).docx

四季教育思维训练八年级第9讲第九讲 面积与面积法面积问题分为两类：一类是直接计算或证明有关面积问题；另一类表面上不直接涉及面积问题，但可以利用面积法去解答。解答面积问题除了常用的面积公式外，常用的定理还有：（1） 全等三角形面积相等；（2） 等底等高的三角形面积相等；（3） 把一个图形分成若干个部分，各个部分的面积之和等于这个图形的面积；（4） 三角形的中线分这个三角形为两个等积三角形，三角形三条中位线分这个三角形为四个等积的三角形；（5） 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；（6） 两个三角形的面积之比等于它们对应的底和高乘积之比。例1、如图所示，在ABC中，DE ABFG，且FG到DE、AB的距离之比为1:2，若ABC的面积为32，CDE的面积为2，则CFG的面积S为 .【解】8.（图中有多对小三角形相似，所以易将线段之比转化为面积之比。） DEABFG， CDE CAB，CDE CFG. CDCA = SCDESCAB = 232 = 14 又 FDFA = 12， FDAD = 13， 即 FD= 13 AD= 13 34 AC.= 14 AC故 FD=DC，于是，SCFGSCAB=122=14，SCFG=8 例2、如图已知凸四边形ABCD的面积为S，四边AB、BC、CD、DA的第一个三等分点是E、F、G、H，连AF、BG、CH、DE，相邻两连线交于I、J、K、L，又AEL、BFI、CGJ、DHK的面积分别为a、b、c、d，S1=a+b+c+d,则四边形IJKL的面积为（ ）.A. 49S-S1 B. 59S-S1 C. 29S+S1 D. 13S+S1【解】D.（本题条件众多，可通过设元构造方程（组），进行整体处理。）连结EF、FG、GH、HE， 设EFL、FGI、GHJ、HEK的面积为a、b、c、d，则a=SAEF-a=13SABF-a=19SABC-a 同理，b=19SBCD-b, c=19SCDA-c, d=19SDAB-d 四式相加得：a+b+c+d= 29 S-(a+b+c+d).又 S四边形EFGH=S-SAEH+SBFE+SCGF+SDHG.=S-1323SABD+1323SBCA+1323SCDB+1323SDAC=S-49S=59S. 故 S四边形IJKL=S四边形EFGH-a+b+c+d. =59S-29S-a+b+c+d=13S+a+b+c+d=13S-S1例3、如图，三叶花由六个圆弧组成，每一圆弧都是1/4圆周，叶片两端的弦长为2，则此三叶花的面积为（ ）.【解】3-6. 如右图，设半径为r, 则r2+r2=22, r=2. S1=S扇形ABC-SABC=142-1222=2-1 故 S=6S1=3-6例4、如图，在矩形ABCD中，E是AD中点，F是CE中点，SBDF=6cm2,则矩形ABCD的面积( ).【解】48.（遇中点就会产生中线、中位线等一系列从数量上与12有关的量，为我们寻找图形间的关系建立了桥梁。） 设矩形ABCD的面积为S. SCDE= 14 S，SCDF= 18 S.连结BE，则SBEC= 12 S， SBFC= 14 S又 SBDC= 12 S， SBDF=SBDC-SCDF-SBFC= 12 S- 18 S- 14 S= 18 S. S=48cm2.例5、如图，将ABC的三边AB、BC、CA分别延长至B、C、A,且使BB=AB,CC=2BC，AA=3AC. 若SABC=1，求SABC. 【解】连结BC，AB=BB,SBBC=SABC=1,CC=2BC,SCCB=2SBBC=2.SBBC=SBBC+SCCB=3.同理可得SACC=8,SABA=6.SABC=SBBC+SACC+SABA+SABC=3+8+6+1=18例6.已知等边ABC外有一点P，点P落在ABC内，设点P到BC、CA、AB的距离分别是h1、h2和h3且满足h1-h2+h3=6.求等边ABC的面积。【解】连结PA、PB、PC.设等边ABC的边长为a,则ABC的高为32a. SPAB+SPBC-SPAC=SABC, 12 ah3+ 12 ah1- 12 ah2= 12 a 32 a 12 ah1-h2+h3= 34 a2 h1-h2+h3=6, a=43. SABC= 34 a2 = 34 432=123例7.已知平行四边形 ABCD中，E、F分别在CD、AD上，且AE=CF，AE和CF相交于O，求证：BO平分AOC。（要证BO平分AOC，只要证明B点到AE、CF的距离相等，于是作BMCF，BNAE，垂足分别为M、N.即要证BM=BN，需证SBFC与SABE相等。而它们都是平行四边形ABCD面积的一半。）【解】过B作BMCF，BNAE，垂足分别为M、N.连结BE、BF. 设 ABCD的边AB上的高为h,则SABE=12ABh=12SABCD. 同理可得 SBCF=12SABCD SABE=SBCF 12 AEBN= 12 CFBM. AE=CF , BM=BN . AOB=COB, 即BO平分AOC .例8、如图，在凸四边形ABCD中，AD=CD，DAB=90，BCD=CDA=120， 求 SABDSBDC 的值【解】（如左图所示，把四边形ABCD补成ABE，则CDE是等边三角形，且SABD=SBDE，所以只要找出SDCE与SBDC的关系即可。） 延长AD、BC交于E。BCD=CDA=120，DAB=90， ABC=30，EDC=ECD=60。EDC是等边三角形， AD=CD=ED=EC.在RtABE中，2AE=BE4DE=（EC+BC），BC=3ECSABD=SBCD，SBDC=3SDCESABD=4SDCESABDSBDC = 4SDCE3SDCE = 43例9、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PEBD，PF AC，垂足分别为E、F.求 PE+PF 的长.【解】连结PO. 矩形ABCD中，AO=BO=CO=DO，BAD=90. 在RtBAD中， DB=AD2+AB2=122+52=13. AO=DO= 132. 又 SDPO+SAPO=SDAO，且SDAO= 14 S矩形ABCD， 12 PEDO+ 12 PFAO= 14 125. 134（PE+PF）=15. PE+PF= 6013. 例10、如图所示，已知D是ABC的边AB上的任意一点，DEBC交AC于E，DFAC交BC于F，设ADE的面积为S1，SDBF的面积为S2，求DFCE的面积。【解】（因为DEBC，DFAC，所以ADEABC，DBFABC，利用面积比等于相似比的平方求解） 设ABC的面积为S. DEBC，DFAC，ADEABC，DBFABC.S1S=ADAB 2, S2S = BDAB2 S1S = ADAB ,S2S = BD AB.S1S + S2S = 1, 即S1+S2=S.S=S1+2S2S2+S2SDFCE=S-S1-S2=2S1S2. 例11.矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，已知SABE=SADF= 13 S矩形ABCD，求SAEFSCEF 的值.【解】（设BC=a,CD=b,则由条件可求出EC及CF，继而可求出SECF和SAEF，均可用含有含有a、b的代数式来表示。） 设BC=a,CD=b,S矩形ABCD=S. SABE=SADF= 13 S. 12 BEb= 13 ab, 12 DFa= 13 ab. BE= 23 a , DF= 23 b CE= 13 a ,CF= 13 b. SCEF= 12 CECF= 118 ab. SAEF=S-SABE-SADF-SCEF=ab- 13 ab- 13 ab- 118 ab = 518 ab. SAEFSCEF=5.例12、设点E、F、G、H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且 AEEB=BFFC=CGGD=DHHA=kk为正数，求四边形EFGH的面积。 【解】（连结AC、BD，将四边形面积转化为三角形面积，解题的关键是促成线段比与面积比的转换。）如图所示，连结AC，由 CGGD = DHHA = k得 DHHA=kk+1, HADA=DG DC=1k+1 S