高考数学 第四章 第二节 平面向量基本定理与坐标运算课件 理 苏教版.ppt

第二节平面向量基本定理与坐标运算 1 平面向量基本定理 1 平面向量基本定理 条件 e1 e2是同一个平面内的两个 向量 结论 对于这一平面内的任一向量a 实数 1 2满足a 2 基底 不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 不共线 有且只有一对 1e1 2e2 3 平面向量的正交分解 向量正交分解是把一个向量分解为两个 的向量 2 平面向量的坐标表示 1 平面向量的坐标表示 在直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 由平面向量基本定理知 该平面内的任一向量a可表示成a xi yj 由于a与有序数对 x y 是一一对应的 因此向量a的坐标是 x y 记作 互相垂直 a x y 2 设 xi yj 则向量的坐标 x y 就是 的坐标 即若 x y 则a点坐标为 反之亦成立 o是坐标原点 终点a x y 3 平面向量的坐标运算 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x y x2 x1 y2 y1 4 向量平行的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 a 0 则a b x1y2 x2y1 0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 2 若a b不共线 且 1a 1b 2a 2b 则 1 2 1 2 3 平面向量的基底不惟一 只要基底确定后 平面内的任何一个向量都可被这组基底惟一表示 4 点的坐标与向量的坐标在形式上完全一样 但意义完全不同 向量的坐标中既有方向也有大小的信息 5 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件可表示成 解析 1 错误 只有不共线的两个向量才能作为平面的一组基底 2 正确 由 1a 1b 2a 2b 得 1 2 a 1 2 b 0 又a b不共线 故 1 2 1 2 0 从而 1 2 1 2 3 正确 由基底的定义及平面向量基本定理知正确 4 正确 由向量的坐标的意义可知正确 5 错误 因为x2 y2有可能等于0 所以应表示为x1y2 x2y1 0 答案 1 2 3 4 5 1 若已知e1 e2是平面上的一组基底 则下列各组向量中不能作为基底的一组是 e1与 e2 3e1与2e2 e1 e2与e1 e2 e1与2e1 解析 由题意知向量e1与2e1共线 故不能作为平面的基底 答案 2 若a 0 1 b 1 2 c 3 4 则 解析 由题意知 1 1 2 2 故 1 1 2 2 2 3 3 答案 3 3 3 设向量a m 1 b 1 m 如果a与b共线且方向相反 则m 解析 设a b 0 即m 且1 m 解得m 1 0 m 1 答案 1 4 若向量a 1 1 b 1 1 c 4 2 则c用a b表示为 解析 设c xa yb 则 c 3a b 答案 c 3a b 5 已知向量a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 则m 解析 a b 1 m 1 a b c 2 1 m 1 0 m 1 答案 1 6 设向量a 1 3 b 2 4 若表示向量4a 3b 2a c的有向线段首尾相接能构成三角形 则向量c 解析 设c x y 则4a 3b 2a c 0 答案 4 6 考向1平面向量基本定理及其应用 典例1 1 下列各组向量 e1 1 2 e2 5 7 e1 3 5 e2 6 10 e1 2 3 e2 能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 2 如图 在 abc中 de bc交ac于e bc边上的中线am交de于n 设 a b 用a b表示向量 思路点拨 规范解答 1 中的两向量不共线 中e1 e2 故两向量共线 中e2 e1 故两向量共线 综上 只有 中的两向量可作为平面的一组基底 答案 2 de bc 由 ade abc 得 b a 又am是 abc的中线 de bc b a 又a b a a b adn abm a b 互动探究 在本例题 2 图中 连结c d交am于点p 若求 的值 解析 a b a b a b a b a b 又 b 解得 拓展提升 用平面向量基本定理解决问题的一般思路先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式 再通过向量的运算来解决 在基底未给出的情况下 合理地选取基底会给解题带来方便 提醒 解题时要熟练运用平面几何的一些性质定理 变式训练 如图所示 e f分别是四边形abcd的对角线ac bd的中点 已知 a b c d 求向量 解析 方法一 连结af a b a b 又 b c b c a b c a b c a b a c 方法二 d a a b d a a b 可得 d a d a d a d a b b d 考向2平面向量的坐标运算 典例2 1 设平面向量a 3 5 b 2 1 则a 2b 2 已知点a 2 1 b 0 2 c 2 1 o 0 0 给出下面的结论 直线oc与直线ba平行 其中正确结论的个数是 3 2013 盐城模拟 已知a 2 4 b 3 1 c 3 4 且则向量 思路点拨 1 利用向量坐标运算的法则求解 2 根据向量的共线及向量坐标运算的法则逐一验证 3 利用平面向量的基本概念及其坐标表示求解 规范解答 1 a 2b 3 5 2 2 1 7 3 答案 7 3 2 由题意得 2 1 2 1 故 又无公共点 故oc ba 正确 故 错误 0 2 故 正确 4 0 4 0 故 正确 答案 3 3 a 2 4 b 3 1 c 3 4 1 8 6 3 3 1 8 3 24 2 6 3 12 6 12 6 3 24 9 18 答案 9 18 拓展提升 两向量相等的充要条件及应用 1 充要条件 两向量a x1 y1 b x2 y2 相等的充要条件是它们的对应坐标分别相等 即 2 应用 利用向量相等可列出方程组求其中的未知量 从而解决求字母的取值 点的坐标及向量的坐标等问题 提醒 当向量的起点为坐标原点时 向量的坐标即为终点坐标 反之也成立 变式训练 已知a 2 4 b 3 1 c 3 4 o为坐标原点 设 a b c 且 3c 2b 1 求3a b 3c 2 求满足a mb nc的实数m n 解析 由已知得a 5 5 b 6 3 c 1 8 1 3a b 3c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 2 mb nc 6m n 3m 8n 5 5 解得 考向3平面向量共线的坐标表示 典例3 1 2013 无锡模拟 已知平面向量a 1 2sin b 5cos 3 若a b 则sin2 2 已知a 1 0 b 2 1 当k为何值时 ka b与a 2b共线 若2a 3b a mb且a b c三点共线 求m的值 思路点拨 规范解答 1 a b 1 3 10sin cos 0 10sin cos 3 2sin cos 即sin2 答案 2 ka b k 1 0 2 1 k 2 1 a 2b 1 0 2 2 1 5 2 ka b与a 2b共线 2 k 2 1 5 0 即2k 4 5 0 得 方法一 a b c三点共线 即2a 3b a mb 解得方法二 2a 3b 2 1 0 3 2 1 8 3 a mb 1 0 m 2 1 2m 1 m a b c三点共线 8m 3 2m 1 0 即2m 3 0 拓展提升 1 向量共线的两种表示形式 a b b a a 0 a b x1y2 x2y1 0 至于使用哪种形式 应视题目的具体条件而定 一般情况涉及坐标的用 式 2 两向量共线的充要条件的作用 1 判断两向量是否共线 平行 2 解决三点共线的问题 另外 利用两向量共线的充要条件可以列出方程 组 求出未知数的值 变式训练 1 若向量a 1 x 与b x 2 共线且方向相同 则x 解析 a 1 x 与b x 2 共线 1 2 x x 0 a与b方向相同 答案 2 若三点a 2 2 b a 0 c 0 b ab 0 共线 则的值为 解析 由条件得 a 2 2 2 b 2 根据三点共线得 a 2 b 2 4 整理得2 a b ab 所以即答案 易错误区 忽视平行四边形的多样性致误 典例 2013 常州模拟 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为 1 0 3 0 1 5 则第四个顶点的坐标为 误区警示 解答此题时容易出现的错误是思维定势 认为平行四边形只是如图1所示的一种情形 从而忽视了另外的两种情形导致漏解 规范解答 如图2所示 设a 1 0 b 3 0 c 1 5 d x y 1 若四边形abcd1为平行四边形 则而 x 1 y 2 5 解得 d1 3 5 2 若四边形acd2b为平行四边形 则而 4 0 x 1 y 5 解得 d2 5 5 3 若四边形acbd3为平行四边形 则而 x 1 y 2 5 解得 d3 1 5 答案 3 5 或 5 5 或 1 5 思考点评 1 注意分类讨论思想的运用 若已知平行四边形abcd的三个顶点a b c的坐标 则点d的坐标只有一种情形 而此题中给出了平行四边形的三个顶点 并没有给出顺序 所以平行四边形的形状不确定 应存在三种可能 故应进行分类讨论 将平行四边形的各种情况考虑全 以免漏解 2 注意转化方法的利用 求点的坐标可转化为求向量的坐标 通过设出所求点的坐标 进而求得向量的坐标 利用向量的共线或向量的相等建立方程 或方程组 进而求得点的坐标 1 2012 广东高考改编 若向量 2 3 4 7 则 解析 2 3 4 7 2 4 答案 2 4 2 2013 南京模拟 在平行四边形abcd中 ac与bd交于点o e是线段od的中点 ae的延长线与cd交于点f 若则 解析 由已知得又 def bea 即 a b a a b 答案 a b 3 2013 盐城模拟 已知向量a 4 2 向量b x 3 且a b 则实数x 解析 a b 4 3 2x 0 x 6 答案 6 4 2012 山东高考改编 如图 在平面直角坐标系xoy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点p的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于 2 1 时 的坐标为 解析 设圆心运动到c时 圆与x轴的切点为d 则弧pd的长为2 所以 pcd 2 点p的横坐标为点p的纵坐标为所以点p的坐标为 2 sin2 1 cos2 即的坐标为 2 sin2 1 cos2 答案 2 sin2 1 cos2 1 在平面直角坐标系中 若o为坐标原点 则a b c三点在同一直线上的充要条件为存在惟一的实数 使得成立 此时称实数 为 向量关于和的终点共线分解系数 若已知p1 3 1 p2 1 3 且向量与向量a 1 1 垂直 则 向量关于和的终点共线分解系数 为 解析 由与向量a 1 1 垂直 可设 t t t 0 由得 t t 3 1 1 1