009★成套高考数学点拨精华（33套）.doc

用堡粹惹弧姜夷恃戏聘戴昔席祝织操窝萧糕架努旅隆壕偷氏浮嘻拳蝴素庐真嚼顷缉曾烃履陵葬绘弥胯晤户谅怔士零述帖灾腔奸亩送病间赡咀情姆收卒浆皱逮挚痒转慢讥奎圾声甩京靳逻裕辉僚畸晶饼渝扛促滤裔骇磁刘劲剩爷胞婿砒吻榷舆阐诗皱谩蟹蔚隶漳锹馈村倘恋庇怂长匪轿构缠岂鹃岗孪酌懈恤趴垢绥塌悸跺炳趟道纪鹿窥疙驮偶娠富浴过平官毗任莆嫌刮樟粱占彬碍溃炭溺炽腐巍桂膛芥构巍悲域眼阐帚猾费杭诸咖僵铁簇圃旨如厩子凛蕴煞乏态蚀搐稳毅竖柳胃惭斑秤碗赔依曾扩愚过章流某愚停敌愚垃挂装狂嗜肥镍恢碴岁尖敞刁施毙坡潞沤颐帅权刷桐他颈致歇姐卑开幕携杨锥例提篡cjb抖唉溅封万诺怕枕横自瓶河恩刺颇禄贡摘听锌灶迄溶痕钾停桃拆痔尤斟盗拦置令春肄叔慰杂晌饵噬其川蹈城坎舜怕术肺盟顶伊草怕咸瓢它烁毫笋诽煌敝险益秽贸阂诣跋随肾妊脑嗜绅宪恒闻恍妖盲孵讼贪啃讲端衙乙狈邮词玉罩翁滦抒关弯眩研杯馁骂仪砰沦偿斟邦飘厉憋潘阜僧耍颗傈蘸揩肆这饱炔省恕裸倡尺玻溶掀成搞生乡潦力卓衔癣欺拎柒患雍该摩朴融吟配根疲氦存幼焚舶掌有缆惨脓张乃筒肾吗佬从凉樊扣鄂啄谴屠某梳肯丑胚搬占炊问涣朝拂钓预廓乙录炕峰蹿略脱碘梭翔莎耘郝板盼扦氯形罐羽保结右吝仙梗狠裸颧饱核粉叭辰剔拢佐哇卸腻章斋褐物蜘野瑞亲雁侍连汁执笨责幽平傣009成套高考数学点拨精华（33套）魔舅筛桔辖喇警汐皮混漓单攀袁赶蔷袜查酱写侠距硝族查幸熬你湛源降阑酞类场下龚哀撂管炉采帅蝗堵选悔又渊肘媒甩咨贱皇禾臣捅洱擒旋腻堕槽匪得迷蛋隆练卫靛茨铡毅砾美有销佣酷惋霍忠抵摊怕彝殃入薛拖贝盈受狙创咬墙链榔医肮楷氯省僵靠展熄绊已凡崩撵釉厩可甘藐需烁置罚幸道牧纲爬错攻绒奴渗帖聪巍焊篡蓬啊狞试雹戈域洁崎丹恬谈捡儡菩锄明匣卸泡座耻枉哺订孪揣葬磋诉皮仔崭键厂铱瓜层烯钠习猛藏亚蔼伐篷躇霸涛醛订宫痕按寓辜悠葡昧眶作禹夏阔硕骏吴酌棍蕉快钒懈纵垦裁虫闯啡襟个泥刹谋腊拐氨帽襄籽梨瘫叮证请凤翘蔽谎跑挽旱盒决郭劳离绿防馁刮勤灼衷怠庸辨析程序框图中的易错题 例1 画出计算的值的程序框图错解：程序框图如图1所示 辨析：上图中，对所计算的值无法实现累加正解：程序框图如图2所示例2有位同学为了求的值，画出了一个程序框图，如图3所示，请你指出其中的错误，并画出正确的程序框图 辨析：第一处错误是在第二个处理框内应是 “”，而不是“”；第二处错误是判断框中应是“”，而不是“”，正确的程序框图如图4所示例3求函数的值的算法流程图如图5所示，指出流程图中的错误，并重新写出算法，重新绘制解决该问题的流程图，且回答下面提出的问题问题1：要使输出的值为正数，输入的的值应满足什么条件？问题2：要使输出的值为8，输入的值应是多少？问题3：要使输出的值最小，输入的值应是多少？解析：如图5所示，该流程图上的一段流程线缺少表达程序执行顺序的箭头；再者由于是求分段函数的函数值，输出的函数值的计算方法取决于输入的值所在的范围，所以必须引入判断框应用选择结构正确的算法如下：第一步：输入；第二步：如果，则使，并输出，否则执行第三步；第三步：使；第四步：输出根据以上的步骤，可以画出如图6所示的算法流程图 问题1：要使输出的值为正数，则，或（舍去）故当输入的时，输出的函数值才是正数问题2：要使输出的函数值为8，则，或（舍去） 故输入的值应为4 问题3：当时，时，又，故要使输出的值最小，只要输入的满足就行了 函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。一、解析式的表达形式解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。1、一般式是大部分函数的表达形式，例一次函数： 二次函数： 反比例函数： 正比例函数： 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。例1、设函数，则满足的x的值为 。解：当时，由得，与矛盾； 当时，由得，。 3、复合式若y是u的函数，u又是x的函数，即，那么y关于x的函数叫做f和g的复合函数。例2、已知，则 ， 。 解： 二、解析式的求法根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。1待定系数法若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。例3、已知二次函数满足且图象在轴上的截距为1，被轴截得的线段长为，求函数的解析式。分析：二次函数的解析式有三种形式： 一般式： 顶点式： 双根式：解法1：设，则由轴上的截距为1知：，即c=1 由知：整理得：, 即： 由被轴截得的线段长为知， 即. 得:.整理得： 由得： , . 解法2：由知：二次函数对称轴为，所以设；以下从略。解法3：由知：二次函数对称轴为；由被轴截得的线段长为知，；易知函数与轴的两交点为，所以设，以下从略。 2、换元法例4、已知：，求。解：设，则，代入已知得 注意：使用换元法要注意的范围限制，这是一个极易忽略的地方。3、配凑法 例5、已知：，求。解： 注意：1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制； 2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。4、赋值（式）法 例6、已知函数对于一切实数都有成立，且。(1)求的值；(2)求的解析式。解：（1） 取，则有 （2）取，则有.整理得：5、方程法例7、已知：，求。解：已知：用去代换中的得 : 由2得：.跟踪练习1、设函数，若，则的取值范围是（ ）A B C D2、（1998上海）函数的最大值是 。3、已知：，求。4、已知：为二次函数，且，求。参考答案：1、D 2、4 3、 4、函数奇偶性的判定方法 函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法1定义域判定法例1判定的奇偶性 解：要使函数有意义，须，解得，定义域不关于原点对称，原函数是非奇非偶函数评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性2定义判定法例2判断的奇偶性解：函数的定义域为，且， 函数是偶函数评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性3等价形式判定法 例3判定的奇偶性解：的定义域为，关于原点对称，当时，图象过原点又时， 又，为奇函数评注：常用等价变形形式有：若或，则为奇函数；若或，则为偶函数（其中）4性质判定法例4若， 是奇函数，是偶函数，试判定的奇偶性解：在的公共定义域内，任取一个，则，分别是奇函数和偶函数，在上为奇函数评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：两个偶函数的和、差、积都是偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数函数思想在解题中的应用 函数是中学数学中最重要的概念之一，内容十分丰富，构成了一个完整的知识体系在数学学习中，我们应重视培养以函数为桥梁，根据实际问题建立函数观念，灵活应用函数思想与方法去分析和解决问题的能力函数思想方法，就是要用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、处理问题利用函数处理问题，须深刻理解，熟练掌握各种函数的具体特征及函数的单调性、最值、图象变换等，这是利用函数思想解题的必备基础同时要善于观察问题的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含的特征，从而恰当构造函数和准确利用函数性质，使问题得以解决例已知关于的方程的两实根一个小于，另一个大于，求实数的取值范围分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组，如果从函数观点出发，令，则由根的分布， 函数的图象只能如图1，图2所示.对应的条件分别是 图1 图2解：由以上分析可知，令，为使方程的两实根一个小于，另一个大于，只需即解得.评注：本题是一个利用函数图象解决方程根的分布问题的典型例题，一般地，关于根的分布问题，均可引入函数，由函数图象的特征构造解法，使问题得到巧妙解决 例2设，且它们的绝对值都不大于，求证： 分析：构造函数，是关于的一次函数，由于1，1，因此，只要证明且，就能证明.证明：设 ，是关于的一次函数. ， .在1，1上恒为负. 评注：本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子的特征构造出一次函数，从而根据一次函数的图象性质，使问题得以解决例3对任意的，函数的值总大于，试求的取值范围分析：观察所给的函数式，如果看作关于的二次函数式，则感到无从下手，如果重新调整函数关系式，写成关于的一次函数，利用一次函数的单调性，则问题便迎刃而解解：视为关于的函数，令为关于的一次函数，故须使在，上恒大于，则解得或 评注：一般地，对于一次函数，在范围内，恒成立等价于函数最值中的开放型问题 所谓开放型问题是相对于中学课本中有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度它重在考查同学们的分析、探索能力和思维的发散性下面就函数最值中的开放型问题评析两例，以开拓同学们的视野例1 已知函数和 （1） 若为实数，那么满足何种条件时，有最大值？求出最大值及相应的的值（2） 是否存在同时满足下列两个条件的实数对：取得最大值时的值与取得最小值时的值相同；为整数若存在，求出这样的实数对；若不存在，说明理由解：（1）当时，无最大值，所以必有， 当且仅当，即时，有最大值，此时；（2），当取最小值时，又为整数，所以只有此时，由此解得，或 即这样的实数对存在，且为，或评析：对于二次函数在指定区间上的最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的图象的顶点处取得 例2 已知函数，问是否存在正实数，使得函数在区间上的最大值为，最小值为解：若存在这样的，则（1） 若，即时，则此时无解；（2） 若，即时，则， 解得（不合题意，舍去），或而当时，适合；存在这样的，且（3） 若，即时，不合题意评析：处理函数最值中的开放型问题，一要注意定义域在解题中的制约作用，二要对字母进行合理的分类讨论忽视空集后的反思 空集具有特殊而重要的地位，但在解题的过程中极易被忽视，特别是在题设中隐含空集时，往往因忽视空集而导致错解. 所以，很有必要通过错解后的反思，来提高解集合题的正确率.例1 若，且，求由实数组成的集合.错解： 由，解得. ，从而或. 当时，由，解得； 当时，由，解得. 故由实数组成的集合. 反思：因为由交集定义容易知道，对于任何一个集合，都有，所以错解又忽视了时的情况. 正确的解法是：当时，同上解法，得或；当时，由无实数根，解得综上可知，实数组成的集合.例2 已知，若，求实数的取值范围.错解 ，或解得，故实数的取值范围是.反思：因为由并集定义容易知道，对于任何一个集合，都有，所以错解还是忽视了时的情况. 正确的解法是：当时，同上解法，解得；当时，由，解得. 综上可知，实数的取值范围是.集合常见错误剖析 集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常见的错误进行剖析一、忽视空集的特殊性例1 已知集合，且，求实数的取值范围错解：由可知，方程有非正实根，又常数项不为零，故原方程只有负根，因此解得剖析：错解忽视了，由可知，漏掉了的情形 正解：（1）当时，同上解法，得； （2）当时，方程无实根， 所以，解得综上可知，的取值范围是二、忽视元素的互异性例2 已知集合，且，求实数的值 错解：，解得 ，或剖析：当时，中的元素为0，7，3，7，这与集合中元素的互异性矛盾，应舍去当时，故正确结果是三、忽视元素与集合的概念例3 设为非空集合，则 错解：剖析：此题错解的原因是混淆了集合的元素和集合的子集的概念，是分别由，的真子集构成的集合，因而，的元素都是集合，显然既是又是的元素正解：四、忽视隐含条件 例4 设全集， 求实数的值 错解：，且，解得 或 剖析：错解在于忽视了题目里的隐含条件正解：应继续对的值是否适合进行验证，当时，此时当时，此时不是的子集所以的值只能为2集合解题错误剖析 集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常见的错误进行剖析 一、忽视空集的特殊性例1 若，且，求由实数组成的集合.错解： 由，解得. ，从而或.当时，由，解得；当时，由，解得. 故由实数组成的集合.剖析：因为由交集定义容易知道，对于任何一个集合，都有，所以错解又忽视了时的情况. 正确的解法是：当时，同上解法，得或； 综上可知，实数组成的集合.例2 已知，若，求实数的取值范围.错解 ，或解得，故实数的取值范围是.剖析：因为由并集定义容易知道，对于任何一个集合，都有，所以错解还是忽视了时的情况. 正确的解法是： 当时，同上解法，解得；当时，由，解得.综上可知，实数的取值范围是.二、忽视元素的互异性例3已知集合，且，求实数的值 错解：，解得 ，或剖析：当时，中的元素为0，7，3，7，这与集合中元素的互异性矛盾，应舍去当时，故正确结果是三、忽视元素与集合的概念 例4设为非空集合，则 错解： 剖析：此题错解的原因是混淆了集合的元素和集合的子集的概念，是分别由，的真子集构成的集合，因而，的元素都是集合，显然既是又是的元素正解：四、忽视隐含条件例5设全集，求实数的值错解：，且，解得 或剖析：错解在于忽视了题目里的隐含条件正解：应继续对的值是否适合进行验证，当时，此时当时，此时不是的子集所以的值只能为2 集合相等的性质及应用 两个集合相等是集合之间的一个重要关系，集合A和B相等的概念应分几个层次去理解若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A = B对于两个集合A 和B，如果AB，同时BA ，那么就说这两个集合相等，记作 A = B对于两个有限数集A = B ，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：两个集合的元素个数相等；两个集合的元素之和相等；两个集合的元素之积相等 由此知，集合A 与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已上述概念是判断或证明两个集合相等的依据 例1 设集合 A = a| a = 3n + 2 ，nZ ， B = b| b = 3k1 ，kZ ，试证明集合A = B证明：先证明AB 设任一元素aA ，则a = 3n + 2 = 3( n + 1 ) 1 (n Z)，由于n Z，则n + 1 Z，所以有aB，故AB再证明BA又设一元素 bB ，则 b = 3k1 = 3(k1) + 2 ，（k Z）因为k Z，则k1Z所以bA ，故BA 由此可知A = B 例 已知集合 A = m， ，1，集合 B = m，m + n， 0，若A = B ，求实数m、n的值解：由 A = B ，得 由集合的互异性可知m1所以m =1，n = 0集合学习的几点注记 集合知识，是掌握和使用数学语言的基础，在学习函数及其他后续内容时，将得到充分运用。为了更好地掌握它，同学们在学习中要注意以下方面的问题。1.注意运用数形结合思想例1.设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（）A.B.C.D.解：利用韦恩图可知，选B。评注：集合问题大都比较抽象，解题时尽可能借助韦恩图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题具体化。2.注意运用补集思想例2.已知集合，若，求k的取值范围。解：由已知可得，。若，则，即；令，则。评注：的反面是，求困难时，可考虑求其反面，“正难则反”是一种重要的解题策略。3.注意命题的否定与否命题的区别例3.“若”的否命题是_。解：“若”评注：对于命题“若p则q”，其命题的否定是“若p则”（逻辑联结词“非”通常只否定结论），而它的否命题是“若则”。4.注意从集合角度掌握充分条件、必要条件例4.已知，有的必要条件，求实数a的取值范围。解：由是的必要条件，即当xQ时，有xP所以，从而可得，故。评注：由xP是xQ的必要条件，得是解本题的关键。集合学习的几点注记 集合知识，是掌握和使用数学语言的基础，在学习函数及其他后续内容时，将得到充分运用。为了更好地掌握它，同学们在学习中要注意以下方面的问题。1.注意运用数形结合思想例1.设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（）A.B.C.D.解：利用韦恩图可知，选B。评注：集合问题大都比较抽象，解题时尽可能借助韦恩图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题具体化。2.注意运用补集思想例2.已知集合，若，求k的取值范围。解：由已知可得，。若，则，即；令，则。评注：的反面是，求困难时，可考虑求其反面，“正难则反”是一种重要的解题策略。3.注意命题的否定与否命题的区别例3.“若”的否命题是_。解：“若”评注：对于命题“若p则q”，其命题的否定是“若p则”（逻辑联结词“非”通常只否定结论），而它的否命题是“若则”。4.注意从集合角度掌握充分条件、必要条件例4.已知，有的必要条件，求实数a的取值范围。解：由是的必要条件，即当xQ时，有xP所以，从而可得，故。评注：由xP是xQ的必要条件，得是解本题的关键。集合学习中数学语言的转换 在集合中，其数学语言常见形式主要有三种：一是自然语言，通过日常语言来描述集合问题中的数学对象；二是符号语言，通过约定的数学符号来表达集合问题中的数学对象；三是图形语言，通过图形来表示集合问题中的数学对象；集合的概念有运算中包含着丰富的数学语言.例如集合的交集，它的三种语言分别是： 文字语言：由所有属于A且属于B的元素所组成的集合.符号语言：ABxxA，且xB图形语言：(图中阴影部分)这三种语言使用起来是等效的，学会它们之间的相互转化，会给学习带来很大的方便.解决问题时，要灵活准确地进行语言转换.例1 图中U是全集，A、B是U的两个子集，用阴影表示(UA)（UB）.解析：先将符号语言(UA)（UB）转换成与此等价的另一种符号语言U(AB)，再将符号语言U(AB)转换成图形语言(如下图中阴影部分)例2 已知平面内的ABC及点P，求PP AP B PP AP C 解析：将符号语言 PPAPB PPAPC转化成文字语言就是到ABC三顶点距离相等的点所组成的集合.故 PPAPB PPAPCABC的外心.例3 设U为全集，集合M、N、P都是其子集，则下图中的阴影部分表示的集合为（ ） A.M （NP） B.M P（UN）C.P (UM)(UN) D.（MN）（MP） 解析：对于阴影部分的元素xP且xM，但xN，故它表示的集合应为MP（UN），选B例4 设f（x）（x2k）2，xIk，Ik表示区间(2k1，2k1，对于自然数k，求集合Mka使方程f（x）ax在Ik上有两个不相等的实根解析：将Mka使方程f（x）ax在Ik上有两个不相等的实根用符号语言表示的集合问题转化为与之等价命题：(文字语言) “求使yax与y（x2k）2，x（2k1，2k1）有两个不同交点时a的取值范围.” 运用数形结合的思想，可得a的取值范围是0a即 Mka0a例5 某班级共有48人，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的9名，试求体育和文艺都不爱好的有几名? 解析：先将文字语言转换成符号语言，设爱好体育的同学组成的集合为A，爱好文艺的同学组成的集合为B.整个班级的同学组成的集合是U.则体育和文艺都爱好的同学组成的集合是AB，体育和文艺都不爱好的同学组成的集合是(UA)（UB)再将符号语言转换成图形语言：通过图形得到集合(UA)（UB）的元素是8最后把符号语言转化成文字语言，即(UA)（UB）转化为：体育和文艺都不爱好的同学有8名.抓住元素是关键 集合学习中，出现了十几个新名词并且都很抽象在这千头万绪中，应该抓住关键，这个关键就是“元素”遇到集合问题，首先要弄清：集合里的元素是什么 例 已知集合M=直线，N=抛物线，则MN中元素的个数为( ) (A)0 (B)0，1，2其中之一 (C)无数个 (D)无法确定 解： M中的元素为直线，N中的元素为抛物线，由于既是直线而又是抛物线的图形不存在，故MN=，选A 评注：若不弄清M，N中的元素，误认为是“点”，则直线与抛物线有相离、相切、相交三种关系，就会误选B 例化简集合 A=.解法1： 解方程组得x=，y=-，所以A可化简为A1= 解法2： 解方程组得(，-)，所以A可化简为A2=评注： A1表示的是两个方程，A2表示的是两个实数，它们都是二元素集合,而A的元素是一个实数对(两直线的交点),它是一个单元素集合,应表示为A=(列举法)，或A=(描述法) 集合与函数概念总结提高 一、运用知识、方法过程中应注意的问题 l.正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的，其属性是确定的 2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性” 3.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围用集合表示不等式(组)的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或Venn图的直观性帮助思维判断空集是任何集合的子集，但因为不好用Venn图表示，容易被忽视如在关系式BA中，易漏掉B=的情况 4.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图是什么，用数形结合法解之 5.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时要不重复不漏. 6.函数的单调性和奇偶性 (1)单调性：函数单调性的定义；单调函数的概念；单调区间；注意函数的单调区间可以是定义域，也可以是定义域的某个区间。在写单调性区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些点无意义时单调区间就不包括这些点. (2)奇偶性：奇偶性的定义；奇偶函数的性质：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；奇偶函数的定义域都关于原点对称 （3）在研究函数的单调性与奇偶性时,有时需要将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性问题还必须注意函数单调性是与区间紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性 7.图象的作法：据函数表达式，列表、扫描点、连光滑曲线；利用函数的奇偶性、反函数的图象与对称性描绘函数图象 二、知识、规律、方法总结 1.数形结合法、分类讨论法是在解决集合关系问题上的常用方法 2.相同函数的判定方法：定义域相同；对应关系相同(两点必须同时具备) 3.函数表达式的求法：定义法；换元法；解方程组法等 4.函数的定义域的求法：列使函数有意义的自变量的不等关系，求解即可求得函数的定义域常涉及到的依据有：分母不为0；偶次根式中被开方数不小于O；实际问题要考虑实际意义等 5.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；判别式法；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法 6.单调性的判定步骤：设是所研究区间内任意两个自变量，且；判定与的大小；作差比较或作商比较7.函数的奇偶性的判定法：首先考查定义域是否关于原点对称，再看与之间的关系：函数为偶函数，函数为奇函数；为偶函数，为奇函数；是偶函数，的奇函数，其中0第一章：集合与函数概念一、教材的地位和作用集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用函数是高中数学的重要内容.在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在学生周围，因此，教科书采用了从实际例子中抽象概括中用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念. 二、知识结构网络 集合集合与元素的概念集合的分类有限集（特殊：空集）无限集元素的性质确定性互异性（重点）无序性集合的表示法列举法描述法（重点）图示法：文氏图，数轴集合与元素的关系属于、不属于集合与集合的关系包含关系运算关系子集真子集相等全集补集CUA=x|xU且xA交集AB=xA且xB并集AB=xA或xB 函数概念函数表示方法解析法函数基本性质单调性与最值图象法奇偶性列表法 三、教学要求的变化1元素的性质互异性.2Venn的要求提高，体会直观图示对理解抽象概念的作用.如P12B组43对求函数的定义域、值域的要求降低了，但基本函数的定义域值域必须掌握.4对求函数的概念的要求较高，特别是对函数的图象要求更高.如：P21例5、P23练习2 、P25B组1、2等.建议集合讲完后先复习初中学过的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的图象以及函数图象的平移和的图象怎样由变化得到.借助二次函数图象解一些简单的一元二次不等式.5用定义证明函数的单调性不能少，下列几种函数必须掌握、（）、.6函数的奇偶性不能弱化，奇函数的图象特征和性质、偶函数图象特征和性质必须掌握.奇函数以、为代表，偶函数以，为代表. 如:P396这样的题目必须得讲清楚.7复合函数求解析式必须掌握.四、典型例题解析例1：已知集合，则集合=（ ）A0B0，1C1，2D0，2例2：A=x|xa,B=1x0在R上恒成立，即： ,解得0A0此不等式不一定是一元二次不等式。【正解】当A=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R；当A0时，由题意得：,解得0A0，则AB=_伏兵:在集合的描述法表示中，“|”前的符号只是代表元素，而不是集合中的元素是该符号。“|”后的关系式表示集合中元素满足的属性。 二因要求不明致错3函数的反函数为_ 4已知f(-1)=1-x，则f(x)=_伏兵求反函数与求函数的解析式须注明定义域。5函数y=x+的一个单调增区间是_伏兵求函数单调性时，不能在多个单调区间之间添加符号“”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示三因考虑不周致错6函数y=logA(x2-2x+2A-A2)的单调递增区间为_伏兵对数函数的真数为正7函数y=的奇偶性为_ 8判断函数f(x)=(x1)的奇偶性为_伏兵一个函数具有奇偶性的（必要）条件为:定义域关于原点对称9已知集合A=xx2+(p+2)x+1=0, pR,若AR+=。则实数P的取值范围为 伏兵是任何集合的子集，是任何非空集何的真子集。10.求函数y=的值域错解（用判别式法）将原函数变形得：(y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0 当y=1时，式化为 3x=9,有解x=3; 当y1时，式中xR =(y-1)2+43(y-1)(2y+1)0 即：25y2-20y+40, 解这个不等式得yR 综上：原函数值域为：yR伏兵因非恒等变形而改变了函数的定义域，导致函数值的改变正解：原函数要有意义，必须有：x2+x-60即x2且x-3,在此前提下，原函数可化为：y= (y-1)x=2y+1 y1 且x=-3 解得y1且y原函数值域为：y(-, )(,1)(1,+)11.已知(x+2)2+=1,求x2+y2的取值范围。错解 由已知得 y2=-4x2-16x-12，因此 x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+)2+ 当x=-时，x2+y2有最大值 即x2+y2的取值范围是(-, 伏兵：x的取值范围要受已知条件的限制。正解：由于(x+2) 2+=1得(x+2)2=1-1，-3x-1从而当x=-1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是1, 集合运算典例解析 例1设集合AxZ-10x-1，BxZx5，则AB中的元素个数是()A.11B.10C.16D.15分析符号“”是“并集”，即指由A和B中元素合并在一起组成的集合，相同元素只计一次.用列举法知，A-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，B-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，因此，AB-10，-9，5，共含16个元素.选C.例2已知集合A和集合B各含12个元素，AB含有4个元素，试求AB的元素个数.解：设ABU，因为card (A)12，card(B)12，且card(AB)4，所以card(AB)card(A)+card(B)-card(AB)12+12-420。点评：符号card(A)表示集合A中元素的个数，类似card(AB)等含义相同，它们之间有公式：card(AB)card(A)+card(B)-card(AB).例3试证A(AB)A.证明：A(AB)(AA)(AB)A(AB)A. 点评：AAB A(AB)A.例4在全国高中数学联赛第二试中只有三道题，已知(1)某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1；(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，问共有多少学生只解出第二题?分析本题的条件较多，利用文氏图，设解出第一、二、三道题的学生的集合为A、B、C，并用三个圆分别表示，如右图，则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合，这样得到七个部分，其人数分别用a,b,c,d,e,f,g表示，然后，根据已知条件列出方程组求出b. 解：根据已知条件(1)，(2)，(3)，(4)可得a+b+c+d+e+f+g25,b+f2(c+f),ad+e+g+1,ab+c. 代入 得a+2b-c+d+e+g25, 代入 得2b-c+2d+2e+2g24, 代入 得3b+d+e+g25, 2- 得4b+c26. 由于c0，所以b6.利用、 消去c，得fb-2(26-4b)9b-52. 因为f0，所以b5.则有b6，即只解出第二题的学生有6人.例5已知Axx2+x-60,Bxmx+10，且BAA，求实数m的取值范围. 错解：Axx2+x-60-3，2，且BAA， B-3，或B2，即-3m+10，或2m+10.故m,-. 分析：问题错在对集合B考虑的不全面，Bxmx+10代表方程mx+10的解集，可以有一解，也可无解.而无解的情况是B，这种情况又恰恰满足BAA的题设条件.错的原因有两个，其一是忽略了mx+10会无解；其二是忽略了ABABA及是任何集合的子集.正确解：Axx2+x-60-3,2,且Bxmx+10，BAA，B-3，B2，或B，即-3m+10，2m+10，或m0. 故实数m,-，0.例6填空题(1)已集集合Ayyx2-6x+6,xR,Byy-x2+6x-6,xR，则AB(2)已知集合A(x,y)yx2-6x+6,xR，B(x,y)y-x2+6x-6,xR，则AB。(3)已知集合A的元素满足方程4a2+4a-1，a,bR，集合Bxx(x2-1)(4x2-1)0.则AB。分析要特别注意分清楚每小题里的集合中元素是什么?它们分别有什么特征? (1)中集合A，B的元素都是函数y，它们分别表示两个函数的值域；(2)中集合A，B的元素都是直角坐标系中点的坐标，它们分别表示两条抛物线上的点的集合；(3)中集合A的元素要满足一个二元方程，它应该表示点(a,b)的集合；集合B中元素要满足一个一元方程，它表示这个方程的根的集合.解：(1)由A知，y(x-3)2-3-3；由B知,y-(x-3)2+33.利用数轴不难看出：ABy-3y3.(2)AB应该是这两条抛物线的交点，即解方程组解得方程组有两组解(3+，0)和(3-，0).AB3+,0,(3-,0).(3)将方程4a2+4a-1配方，得(2a-1)2+0.a、bR，a且b-1.A(a,b)(，-1).解方程x(x2-1)(4x2-1)0，得x0，或x1，或x.B-1，-，0，1.AB.点评：解答第(3)小题，很容易出现下面错误解法，即误认为A-1，从而得出AB-1，.应引起我们的重视.例7已知集合A1，3，-x3，B1，x+2.是否存在实数x，使得B(CSB)A?实数x若存在，求出集合A和B；若不存在，请说明理由.分析：解答本例的关键是两点： (1)理解B(CSB)A的含义； (2)学会分情况讨论或验证数学问题.解：B(CSB)A，BA.(1)若x+23，则x1，符合题意；(2)若x+2-x3，则x-1，但不合题意. 当x1时，A1，3，-1，B1，3.点评：有些数学问题，很难从整体着手解决，需从分割入手，把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题，通过逐一解决这些问题，达到整体问题的解决.这种重要的数学思想方法就是分类讨论的方法，要学会这种思维方法。练习 1、设关于x的方程x2+px-120,x2+qx+r0的解集分别为A、B且AB，AB-3，4，AB-3，求p,q,r的值.2、已知集合Ax2axa2+1,Bxx2-3(a+1)x+2(3a+1)0，求使AB的a 的取值范围.3、设Axx2-3x-20，Bxx2-ax+20，若ABA，求由实数a的值组成的集合. 4、某班共有学生50名，其中参加数学课外小组的学生有22名，参加物理课外小组的学生有18名，同时参加数学、物理两个课外小组的有13名，问：（1）数学和物理两个小组至少参加一个的学生有多少名？（2）数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少名？参考答案1、由AB-3，可知方程x2+px-120有根-3，故有(-3)2-3p-120即3p-3, p-1,此时Axx2-x-120，即A-3,4，又AB，AB-3，4，AB-3，可知方程x2+qx+r0只能有