层次分析方法建模.doc

第八章 层次分析方法建模层次分析法（AHPAnalytic Hierachy Process）70 年代由美国运筹学家TLSatty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论.该方法吸收并利用行为科学的特点，将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要数据的情况，采用此方法较为实用.在系统科学中，它是常用的一种系统分析方法，并成为系统分析的数学工具之一.8.1 层次分析方法的基本框架人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统.在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一是：就个不同事物所共有的某一性质而言，应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该性质上的差异？层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法.它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性. 8.1.1 建立层次结构图一个合理的层次结构图至少分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层，如图8.1所示.如何建立层次结构图呢？首先，将复杂问题分解为称之为元素的各组成部分，把这些元素按属性不同分成若干组，以形成不同层次.同一层次的元素作为准则，对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配.这种从上至下的支配关系形成了一个递阶层次.处于最上面的的层次通常只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，中间层次一般是准则、子准则，最低一层包括决策的方案.层次之间元素的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素.其次，层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽程度有关.每一层次中的元素一般不超过 9 个，因一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难.第三，一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的.层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构. 一个好的层次结构图应具有以下特点：(1) 从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示.除第一层外，每个元素至少受上一层一个元素支配，除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素.上下层元素的联系比同一层次中元素的联系要强得多，故认为同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系.(2) 整个结构中层次数不受限制.(3) 最高层只有一个元素，每个元素所支配的元素一般不超过 9 个，元素多时可进一步分组.(4) 对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成为层次结构.8.1.2 构造成对比较矩阵在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了.假定上一层次的元素作为准则，对下一层次的元素有支配关系，我们的目的是在准则之下按它们相对重要性赋予相应的权重. 对于大多数社会经济问题，特别是对于人的判断起重要作用的问题，直接得到这些元素的权重并不容易，往往需要通过适当的方法来导出它们的权重.层次分析法所用的是两两比较的方法. 第一，在两两比较的过程中，决策者要反复回答问题：针对准则，两个元素和 哪一个更重要一些，重要多少.需要对重要多少赋予一定的数值.这里使用 19 的比例标度，它们的意义见表 8.1.1. 1-9 的标度方法是将思维判断数量化的一种好方法.首先，在区分事物的差别时，人们总是用相同、较强、强、很强、极端强的语言.再进一步细分，可以在相邻的两级中插入折衷的提法，因此对于大多数决策判断来说，1-9 级的标度是适用的.其次，心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同程度属性上差别的分辨能力在 5-9 级之间，采用 1-9 的标度反映多数人的判断能力.再次，当被比较的元素其属性处于不同的数量级时，一般需要将较高数量级的元素进一步分解，这可保证被比较元素在所考虑的属性上有同一个数量级或比较接近，从而适用于 1-9 的标度. 表8.1.1 标度的意义1表示两个元素相比，具有同样的重要性3表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要5表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要7表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要9表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要2，4，6，8为上述相邻判断的中值第二，对于个元素来说，通过两两比较，得到两两比较判断矩阵:其中判断矩阵具有如下性质：(1)；(2)；(3).我们称为正的互反矩阵.根据性质（2）和（3），事实上，对于阶判断矩阵仅需对其上（下）三角元素共个给出判断即可.8.1.3 计算层次单排序-计算比较矩阵的特征值与特征向量这一步是要解决在准则下，个元素排序权重的计算问题.通过两两比较得到判断矩阵，解特征值问题所得到的经归一化后作为元素在准则下的排序权重，这种方法称为计算排序向量的特征值法.特征值方法的理论依据是如下的正矩阵的Perron 定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性：定理 设阶方阵，为的模最大的特征值，则有(1) 必为正特征值，而且它所对应的特征向量为正向量； (2) 的任何其它特征值恒有； (3) 为的单特征值，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的.特征值方法中的最大特征值和特征向量，可用 Matlab软件直接计算.若不使用软件帮助而直接用定义来计算矩阵的特征值和特征向量，则相当困难，特别是阶数较高时.另一方面，成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，没有必要对它进行精确的计算.基于这种想法，近似计算计算矩阵的特征值和特征向量更受人们的欢迎.常见的近似计算矩阵的特征值和特征向量的方法有：求和法、求根法和幂法.求和法的步骤如下：a)将的每一列向量归一化得矩阵 .b)对矩阵按行求和得向量 ， 其中 .c)归一化向量得到向量 ， 其中 .该向量即为所求的特征向量的近似.d)计算得到向量.e)计算.这就是要计算的最大特征值的近似.求根法的步骤和求和法的基本相同，只是将步骤b)改为：b) 对矩阵按行求积并开次方得向量， 其中 .其它步骤完全相同.幂法是用迭代格式求特征值与特征向量的，它的步骤如下：a)任取一维归一化的初始向量；b)计算 ，c)归一化向量得到向量，即 .d)对于预先给定的精度，当下式成立时 ，即为所要求的特征向量；否则，继续按步骤b)计算.e)计算，这就是要计算的最大特征值的近似.上述三种近似算法中，第一种求和方法最简单，第三种幂法较为复杂.8.1.4 比较矩阵的一致性检验如果决策人对决策对象的比较具有逻辑的绝对一致性，即不会出现任何矛盾的结论，在这种理想状况下，判断矩阵的元素具有传递性，即满足等式例如当和相比的重要性比例标度为3，而和相比的重要性比例标度为 2，一个传递性的判断应有和相比的重要性比例标度为 6.当上式对矩阵的所有元素均成立时，判断矩阵称为一致性矩阵. 然而，实际情况是，我们并不要求判断具有这种传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的.但在构造两两判断矩阵时，要求判断大体上的一致是应该的.出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常识的.一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏离一致性时，用上述各种方法计算的排序权重作为决策依据，其可靠程度也值得怀疑.因而必须对判断矩阵的一致性进行检验. 可以证明，阶比较矩阵是一致的，当且仅当的最大特征值因此，只需计算的最大特征值就可判断是否是一致的.如果不具有一致性，可以证明 而且越大，不一致程度越严重.令 将作为衡量比较矩阵的不一致程度的标准，称为一致性指标.当判断矩阵的最大特征值稍大于时，称具有满意的一致性.用这种方法定义的一致性是不严格的，还必须给出度量指标.Saaty提出结合平均随机一致性指标来检验比较矩阵是否具有满意的一致性.平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的.具体的，对于固定的，随机地从1，2，,9,1/2,1/3,1/9这17个数中选取个构造比较矩阵.这样的是不一致的，取充分大的子样得到的最大特征值的平均值，则.1986年，龚木森、许树柏通过重复计算1000次判断矩阵后得出的115阶的平均随机一致性指标如下：表8.1.2 平均随机一致性指标的值阶数12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59令 ，则称为随机一致性比率.当0.1时，认为比较矩阵具有满意的一致性；否则，必须重新调整比较矩阵，直到它达到满意的一致性为止.总之，比较矩阵的一致性检验分为以下几步：1）计算一致性指标；2）查找平均随机一致性指标（见表8.1.2）；3）计算随机一致性比率；当 0.1 时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的.否则应对判断矩阵作适当的修正. 8.1.5 层次总排序及其一致性检验 计算同一层次所有因素对于总目标（最高层）相对重要性的排序权值，称为层次总排序.这一过程由最高层到最低层逐层进行.设上一层次包含的个因素为，它的层次排序权值分别为.下一层次包含个因素记为，它们对 表 8.1.3 层次排序权值的计算层次 层次排序权值 的层次排序权值分别记为（当与无联系时，=0）.此时层排序值如表8.1.3所示.层次排序也要进行一致性检验.检验是从高层到底层进行的.设层中的某些因素对排序的一致性指标为，平均随机一致性指标，则层排序随机一致性比率为 .当 0.1 时，一般认为排序的一致性是可以接受的.否则，需要进行调整.一般情形，由于各个单层的一致性都是可以接受的，组合一致性比率比0.1大的很少.但确实也有组合一致性比率比0.1大的情形，这时将面临着调整两两比较判断矩阵，这将是非常麻烦的事.8.2 选择工作单位问题：某大学生将毕业就业，有三个单位可供选择.假设该生选择职业时主要考虑如下因素: (1)进一步深造条件;(2)单位今后发展前景;(3)本人的兴趣爱好;(4)单位所在的地域;(5)单位的声誉;(6)单位的经济效益、工资与福利待遇.首先建立如下层次结构图.其中目标层为：工作的满意程度.准则层包含六个因素：-深造条件，-发展前景，-兴趣爱好，-单位地域，-单位声誉，-工资福利.方案层包含三个备选方案：-工作1，-工作2,-工作3.如图8.2所示.其次，构造比较矩阵并进行一致性检验.该问题中要构造7个比较矩阵，即目标-准则层各因素的比较矩阵（比较矩阵），准则1-各方案的比较矩阵（比较矩阵），准则2-各方案的比较矩阵（比较矩阵），准则3-各方案的比较矩阵（比较矩阵），准则4-各方案的比较矩阵（比较矩阵），准则5-各方案的比较矩阵（比较矩阵），准则6-各方案的比较矩阵（比较矩阵）.（1） 准则层各因素对目标而言的比较矩阵为： 表8.2.1 比较矩阵B1 B2 B3 B4 B5 B6B1B2B3B4B5B61 1 1 4 1 1/21 1 2 4 1 1/21 1/2 1 5 3 1/21/4 1/4 1/5 1 1/3 1/31 1 1/3 3 1 12 2 2 3 1 1经计算，上述矩阵的最大特征值为6.4203，它对应的特征向量为（0.3630 0.4337 0.4537 0.1107 0.3443 0.5861），归一化后为：（0.1584 0.1892 0.1980 0.0483 0.1502 0.2558）.一致性检验为：=（6.4203-6）/5=0.08406，0.08406/1.26=0.06670.1.这说明上述比较矩阵的不一致是可以接受的.（2） 准则层1（深造条件）下的各方案的比较矩阵为： 表8.2.2 比较矩阵 C1 C2 C3 C1C2C31 1/4 1/24 1 3 2 3 1 经计算，上述矩阵的最大特征值为3.0183，它对应的特征向量为（0.1999 0.9154 0.3493），归一化后为：（0.1365 0.6250 0.2385）.一致性检验为：=（3.0183-3）/2=0.0091，0.0091/0.52=0.01760.1.这说明上述比较矩阵的不一致是可以接受的.（3） 准则层2（发展前景）下的各方案的比较矩阵为： 表8.2.3 比较矩阵 C1 C2 C3 C1C2C31 1/4 1/54 1 1/2 5 2 1 经计算，上述矩阵的最大特征值为3.0246，它对应的特征向量为（0.1460 0.4994 0.8540），归一化后为：（0.0974 0.3331 0.5695）.一致性检验为：=（3.0246-3）/2=0.0123，0.0123/0.52=0.02360.1.这说明上述比较矩阵的不一致是可以接受的.（4） 准则层3（兴趣爱好）下的各方案的比较矩阵为： 表8.2.4 比较矩阵 C1 C2 C3 C1C2C31 1/3 3 3 1 7 1/3 1/7 1 经计算，上述矩阵的最大特征值为3.0070，它对应的特征向量为（0.3382 0.9331 0.1226），归一化后为：（0.2426 0.6694 0.0879）.一致性检验为：=（3.0070-3）/2=0.0035，0.0035/0.52=0.00680.1.这说明上述比较矩阵的不一致是可以接受的.（5） 准则层4（单位地域）下的各方案的比较矩阵为： 表8.2.5 比较矩阵 C1 C2 C3 C1C2C31 1/3 5 3 1 7 1/5 1/7 1 经计算，上述矩阵的最大特征值为3.0649，它对应的特征向量为（0.3928 0.9140 0.1013），归一化后为：（0.2790 0.6491 0.0719）.一致性检验为：=（3.0649-3）/2=0.0324，0.0324/0.52=0.06240.1.这说明上述比较矩阵的不一致是可以接受的.（6） 准则层5（单位声誉）下的各方案的比较矩阵为： 表8.2.6 比较矩阵 C1 C2 C3 C1C2C31 1 7 1 1 7 1/7 1/7 1 经计算，上述矩阵的最大特征值为3.0000，它对应的特征向量为（0.7035 0.7035 0.1005），归一化后为：（0.4667 0.4667 0.0667）.一致性检验为：=（3.0000-3）/2=0.0000，0.0000/0.52=0.00000.1.这说明上述比较矩阵的不一致是可以接受的.（7） 准则层6（工资福利）下的各方案的比较矩阵为： 表8.2.7 比较矩阵 C1 C2 C3 C1C2C31 4 9 1/4 1 3 1/9 1/3 1 经计算，上述矩阵的最大特征值为3.0092，它对应的特征向量为（0.9596 0.2641 0.0969），归一化后为：（0.7267 0.2000 0.0734）.一致性检验为：=（3.0092-3）/2=0.0046，0.0046/0.52=0.0088方案方案,因此应选择工作2.8.3 城市土地持续利用评价问题：对城市土地的利用情况进行综合评价，是一项非常有价值的工作.尤其是分析城市土地是否可持续利用，将对城市规划等产生重大影响.某些分析得出，城市土地持续利用水平可从四个方面来评价：（1）城市用地规模结构合理性，它通过人均居住用地面积、人均工业用地面积、人均道路广场用地面积、人均建设用地面积、人均公共绿地面积、居住用地占建设比例、工业用地占建设用地比例、道路广场用地占建设用地比例、公共绿地占建设用地比例等数量指标来反映；（2）经济可行性评价，它通过GDP增长率、人均GDP、建成区单位面积二三产业、第一产业比重、第二产业比重、第三产业比重、城镇居民人均年收入、人均社会消费品零售总额等数量指标来反映；（3）社会可接受度，它通过人口密度、人口自然增长率、人均生活用水量、人均生活用电量、万人拥有医生数、万人拥有在校大学生数、万人拥有公共汽车数量、恩格尔系数等数量指标来反映；（4）对区域环境影响评价，它通过工业废水处理率、工业万元产值用水、环境功能区达标率、建成区绿地覆盖率、工业固废综合利用率、污水处理率、污染治理总投资占GDP比重等数量指标来反映.对于上面列出的二级数量指标，可以通过调查研究资料得到它们的相应数据.表8.3.1列出了某地区各指标的现状值和目标值（目标值是指该指标的理想值）.表8.3.1 某地区各指标的现状值和目标值指标名称（单位）现状值目标值指标名称（单位）现状值目标值人均居住用地面积(m2/人)37.3228人均社会消费品零售总额(元)9718000人均工业用地面积(m2/人)11.525人口密度（人/km2）96003500人均道路广场用地面积(m2/人)17.615人口自然增长率（%）4.05人均建设用地面积(m2/人)106.7120人均生活用水量（L/天人）56300人均公共绿地面积(m2/人)2.0315人均生活用电量（kwh/天人）0.133.5居住用地占建设比例(%)35.232万人拥有医生数(人)7.7390工业用地占建设用地比例(%)11.115万人拥有在校大学生数（人）11.341000道路广场用地占建设用地比例(%)16.915万人拥有公共汽车数量（标台）330公共绿地占建设用地比例(%)1.910恩格尔系数（%）38.715GDP增长率(%)9.718工业废水处理率（%）20100人均GDP(元/人)27555000工业万元产值用水(m3/万元)487180建成区单位面积二三产业（百万元/km2）30.8188.76环境功能区达标率（%）70100第一产业比重(%)404建成区绿地覆盖率（%）14.945第二产业比重(%)1936工业固废综合利用率（%）84.93100第三产业比重(%)4160污水处理率（%）35100城镇居民人均年收入(元/人)729212500污染治理总投资占GDP比重（%）12.5根据给出的数据分析该城市的城市土地可持续利用水平，并对该城市的城市土地可持续利用状况进行评价.本问题采用层次分析法建立模型，进行计算和分析，最后给出评价结果.第一步，根据问题中列出的指标体系，构造层次结构如下（见表8.3.2）：第二步，根据问题中指标的现状值和目标值，对问题的数据进行无量纲化处理.处理后的数据叫做量化值.处理方法为：首先将指标分为两种类型：一是对可持续性起正作用的指标，例如，人均公共绿地面积等；二是对可持续性起负作用的指标，如人口密度等.对于正表8.3.2 层次结构（指标体系）目标层 准测层 指标层城市土地持续利用水平城市用地规模结构合理性评价()人均居住用地面积()人均工业用地面积()人均道路广场用地面积()人均建设用地面积()人均公共绿地面积()居住用地占建设比例()工业用地占建设用地比例()道路广场用地占建设用地比例()公共绿地占建设用地比例()经济可行性评价()GDP增长率()人均GDP()建成区单位面积二三产业()第一产业比重()第二产业比重()第三产业比重()城镇居民人均年收入()人均社会消费品零售总额()社会可接受度()人口密度()人口自然增长率()人均生活用水量()人均生活用电量()万人拥有医生数()万人拥有在校大学生数()万人拥有公共汽车数量()恩格尔系数()对区域环境影响评价()工业废水处理率()工业万元产值用水()环境功能区达标率()建成区绿地覆盖率()工业固废综合利用率()污水处理率()污染治理总投资占GDP比重()向指标，量化值的计算公式为：，其中为该指标的现状值，为该指标的目标值；对于负向指标，量化值的计算公式为：，其中为该指标的现状值，为该指标的目标值.利用上面的方法，我们计算得到的各个指标的量化值列于表8.3.3中.表8.3.3 该地区各指标的量化值指标名称量化值指标名称（单位）量化值人均居住用地面积1.3329人均社会消费品零售总额0.1214人均工业用地面积0.4600人口密度0.3646人均道路广场用地面积1.1733人口自然增长率1.2500人均建设用地面积0.8892人均生活用水量0.1867人均公共绿地面积0.1353人均生活用电量0.0371居住用地占建设比例1.1000万人拥有医生数0.0859工业用地占建设用地比例0.7400万人拥有在校大学生数0.0113道路广场用地占建设用地比例1.1267万人拥有公共汽车数量0.1000公共绿地占建设用地比例0.1900恩格尔系数0.3876GDP增长率0.5389工业废水处理率0.2000人均GDP0.5510工业万元产值用水0.3696建成区单位面积二三产业0.1632环境功能区达标率0.7000第一产业比重0,1000建成区绿地覆盖率0.3311第二产业比重0.5278工业固废综合利用率0.8493第三产业比重0.6833污水处理率0.3500城镇居民人均年收入0.5834污染治理总投资占GDP比重0.4000值得注意的是：量化值是没有单位的.另外，还可以用别的无量纲化办法来处理数据，这里只是选择了比较简单易于理解的办法. 第三步，构造比较矩阵并进行一致性检验.表8.3.4 A-C判断矩阵及其层次排序结果权重排序11/3320.2470231140.473011/21/3230.187431/21/41/310.09274表8.4.3给出了目标层-准则层之间的比较矩阵.计算可得： =4.1596；CI=0.0532；RI=0.89；CR=0.0590.1.因此，该比较矩阵具有满意的一致性.类似地构造准则层-指标层之间的比较矩阵，见表8.3.5-8.3.8：表8.3.5 -判断矩阵及其层次排序结果权重排序1234566890.296711/2123455670.209021/31/212344560.148131/41/31/21233450.104341/51/41/31/2122340.073951/61/51/41/31/211230.056661/61/51/41/31/211230.056671/81/61/51/41/31/21/2120.032581/91/71/61/51/41/31/31/210.02449=9.2778；CI=0.0347；RI=1.45；CR=0.02390.1.表8.3.6 -判断矩阵及其层次排序结果权重排序144556890.365311/411223560.135421/411223560.135431/51/51/21