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点这里,看更多数学资料一份好的考研复习资料,会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-中值定理知识点讲解和习题】,同时中公考研网首发2017考研信息,2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验,为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。第三章 中值定理综述:中值定理的证明一直是考研数学的难点.在考研数学一的考试中,这一部分的出题的频率比较稳定,一般两年出一道大题.从考试的情况来看,考生在这一部分普遍得分率不高.其主要原因是练习不够,不熟悉常见的思想方法,以及对证明题惯有的惧怕心理.其实这一部分的题目也是有一定套路的,只要掌握一些常见的证明思路,在大多数情况下就都可以轻松应对了.本章需要用到的主要知识点有:闭区间上连续函数的性质(有界性、最值定理,介质定理),费马引理,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理和积分中值定理.根据题目的形式,我们将这一部分的题目分为了3种类型:中值定理的简单应用(直接能作出辅助函数的),复杂的中值定理证明(需要对等式变形才能作出辅助函数的),证明存在两点使得它们满足某种等式.常考题型一:对中值定理内容的考查1.【023 4分】设函数在闭区间上有定义,在开区间上可导,则()当时,存在,使得对任何,有对时,存在,使存在,使.2.【04-3 4分】设在上连续,且,则下列结论中错误的是()(A) 至少存在一点,使得.(B) 至少存在一点,使得.(C) 至少存在一点,使得.(D) 至少存在一点,使得= 0.3【96-2 5分】求函数在点处带拉格朗日型余项的阶泰勒展开式.4.【03-2 4分】的麦克劳林公式中项的系数是 .常考题型二:闭区间上连续函数性质5.【02-3 6分】设函数在上连续,且.利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点,使.常考题型三:罗尔定理的使用6.【08-2 4分】设,求的零点个数()01 237.【07123 11分】设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等的最大值,证明:存在,使得.8.【00123 6分】设函数在上连续,且,.试证:在内至少存在两个不同的点,使得.9.【962 8分】设在区间上具有二阶导数,且试证明:存在和,使,及.10.【033 8分】设函数在上连续,在内可导,且.试证:必存在,使11.【103 10分】设函数在上连续,在内存在二阶导数,且,(I) 证明存在,使;(II) 证明存在,使12.【933 6分】假设函数在上连续,在内二阶可导,过点的直线与曲线相交于点,其中,证明:在内至少存在一点,使【小结】:1. 对命题为的证明,一般利用以下三种方法:(1)验证为的最值或极值点,利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证;(2)验证在包含于其内的区间上满足罗尔定理条件.(3)如果在某区间上存在个不同的零点,则在该区间内至少存在一个零点.2证明零点唯一性的思路:利用单调性;反证法.4.证明函数在某区间上至少有两个零点的思路有:证明该函数的原函数在该区间上有三个零点;先证明至少有一个零点,再用反证法证明零点不是唯一的. (这些结论在证明题中不能直接应用,应用它们的时候需要写出证明过程,但记住它们对复杂一点的证明题是很好的思路提示.)4.费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明过程都是需要掌握的,它们不但是直接的考点。所涉及的思想方法在中值定理的证明过程中也有重要应用。常考题型四:柯西中值定理的使用13.【032 10分】设函数在闭区间上连续,在开区间内可导, 若极限存在,证明:(1)在内;(2)在内存在点,使;(3)在内存在与(2)中相异的点,使14.【08-2 10分】 (I) 证明积分中值定理:若函数在闭区间上连续,则至少存在一点,使得;(II)若函数具有二阶导数,且满足,则至少存在一点,.常考题型五:辅助函数的构造15.【09123 11分】()证明拉格朗日中值定理:若函数在上连续,在可导,则存在,使得()证明:若函数在处连续,在内可导,且,则存在,且16.【98-12 6分】设是区间上的任一非负连续函数.(1) 试证存在,使得在区间上以为高的矩形面积,等于在区间上以为曲边的梯形面积.(2) 又设在区间内可导,且证明(1)中的是唯一的.17.【133 10分】设函数在上可导,证明(1)存在,使得(2)对(1)中的,存在使得18.【951 8分】假设函数和在上存在二阶导数,并且,试证:(1)在开区间内,;(2)在开区间内至少存在一点,使.19.【963 6分】设在区间上可微,且满足条件,试证:存在,使.20.【013 9分】设在区间上连续,在内可导,且满足证明至少存在一点,使得21.【993 7分】设函数在区间上连续,在内可导,且.试证:(1)存在,使;(2)对任意实数,必存在,使得.22.【1312 10分】设奇函数在上具有二阶导数,且.证明:(I)存在,使得;(II)存在,使得。 【小结】:1.构造辅助函数的方法:1).将待证明结论中的改为;2).通过初等变换将等式化为容易积分的形式;3).积分求出原函数,积分常数取作0;4).将等式两边移到一边,即是所需辅助函数.2. 如果要证明的等式为,则令辅助函数为。然后证明该函数满足罗尔定理,即可得到想要的结论。对命题为的证明,一般利用以下两种方法:方法一:验证为的最值或极值点,利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证;方法二:验证在包含于其内的区间上满足罗尔定理条件.常考题型六:双中值问题23.【0512 12分】已知函数在上连续,在内可导,且,证明:(1)存在 使得;(2)存在两个不同的点,使得24.【102 10分】设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,证明:存在,使得25.【983 6分】设函数在上连续,在内可导,且.试证存在,使得.【小结】:1.等式中含有两个参数的题目一般需要用两次柯西中值定理:由,得到,从而有,再通过初等变换得到需要证明的等式.2当要证明的等式关于具有轮换对称性时或题目中明确要求不相同时,通常的做法是:选取适当的点,在和上分别应用中值定理,然后得到所需要证明的等式.常考题型七:泰勒中值定理的使用26.【01-1 7分】设在内具有二阶连续导数且试证:(1) 对于(1,1)内的任意, 存在唯一的(0,1) ,使成立;(2) 27. 【96-1 8分】 设在上具有二阶导数,且满足条件,其中都是非负常数,是(0,1)内任一点,证明.28.【99-2 8分】设函数在闭区间上具有三阶连续导数,且,证明:在开区间内至少存在一点,使29.【01-2 8分】设在区间上具有二阶连续导数,(1) 写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;(2) 证明在上至少存在一点,使参考答案:1.【023 4分】 2.【04-3
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