物理人教版八年级上册因式分解教案

周一第五章复讲解周一第五章复讲解 6 16 1 因式分解因式分解 一 背景介绍一 背景介绍 因式分解是代数式中的重要内容 它与前一章整式和后一章分式联系极为密切 因式分解的教学 是在整式四则运算的基础上进行的 因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形 它不仅在多 项式的除法 简便运算中有直接的应用 也为以后学习分式的约分与通分 解方程 组 及三角函数 式的恒等变形提供了必要的基础 因此 学好因式分解对于代数知识的后续学习 具有相当重要的意 义 二 教学设计二 教学设计 教学内容分析教学内容分析 因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式 它是因式分解方法的理论基础 也是 本章中一个重要概念 教材在引入中是结合剪纸拼图来阐述这一概念的 也可以与小学数学里因数分 解的概念类比予以说明 在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解 应该在讲授因式 分解的三种基本方法时 结合具体例题的分解过程和分解结果 说明这一概念的意义 以达到逐步了 解这一概念的教学目的 教学目标教学目标 1 理解因式分解的概念和意义 2 认识因式分解与整式乘法的相互关系 相反变形 并会运用它们之间的相互关系寻求因 式分解的方法 教学重点 难点教学重点 难点 重点是因式分解的概念 难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系 并运用它们之间的相互 关系寻求因式分解的方法 教学准备教学准备 实物投影仪 多媒体辅助教学 教学过程教学过程 情境导入 情境导入 看谁算得快 抢答 1 若 a 101 b 99 则 a2 b2 2 若 a 99 b 1 则 a2 2ab b2 3 若 x 3 则 20 x2 60 x 探究新知 探究新知 1 请每题答得最快的同学谈思路 得出最佳解题方法 多媒体出示答案 1 a2 b2 a b a b 101 99 101 99 400 2 a2 2ab b2 a b 2 99 1 2 10000 3 20 x2 60 x 20 x x 3 20 x 3 3 3 0 2 观察 a2 b2 a b a b a2 2ab b2 a b 2 20 x2 60 x 20 x x 3 找出它们的特点 等式的左边是一个什么式子 右边又是什么 形式 3 类比小学学过的因数分解概念 得出因式分解概念 学生概括 老师补充 板书课题 6 1 因式分解 因式分解概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解 也 叫分解因式 前进一步 前进一步 1 让学生继续观察 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2ab b2 20 x x 3 20 x2 60 x 它们是什么运算 与因式分解有何关系 它 们有何联系与区别 要注意让学生区分因式分解与整式乘法的区别 防止学生出现在进行因式分解当中 半路又做 乘法的错误 2 因式分解与整式乘法的关系 因式分解 结合 a2 b2 a b a b 整式乘法 说明 说明 从左到右是因式分解其特点是 由和差形式 多项式 转化成整式的积的形式 从右到左 是整式乘法其特点是 由整式积的形式转化成和差形式 多项式 结论 结论 因式分解与整式乘法的相互关系 相反变形 多媒体展示学生得出的成果 巩固新知 巩固新知 1 下列代数式变形中 哪些是因式分解 哪些不是 为什么 1 x2 3x 1 x x 3 1 2 m n a b m n x y m n a b x y 3 2m m n 2m2 2mn 4 4x2 4x 1 2x 1 2 5 3a2 6a 3a a 2 6 x2 4 3x x 2 x 2 3x 7 k2 2 k 2 8 18a3bc 3a2b 6ac 针对学生易犯的错误 制造认知冲突 让学生充分暴露错误 然后通过分析 讨论 达到理解针对学生易犯的错误 制造认知冲突 让学生充分暴露错误 然后通过分析 讨论 达到理解 的效果 的效果 2 你能写出整式相乘 其中至少一个是多项式 的两个例子 并由此得到相应的两个多项式的 因式分解吗 把结果与你的同伴交流 学生出题热情 积极性高 因初一学生好表现 因而能激发学生学习兴趣 激活学生的思维 学生出题热情 积极性高 因初一学生好表现 因而能激发学生学习兴趣 激活学生的思维 应用解释 应用解释 例例 检验下列因式分解是否正确 1 x2y xy2 xy x y 2 2x2 1 2x 1 2x 1 3 x2 3x 2 x 1 x 2 分析 分析 检验因式分解是否正确 只要看等式右边几个整式相乘的积与右边的多项式是否相等 练习练习 计算下列各题 并说明你的算法 请学生板演 1 872 87 13 2 1012 992 思维拓展 思维拓展 1 若 x2 mx n 能分解成 x 2 x 5 则 m n 2 机动题 填空 x2 8x m x 4 且 m 进一步拓展学生在数学领域内的视野 增强学生对数学的兴趣进一步拓展学生在数学领域内的视野 增强学生对数学的兴趣 课堂回顾 课堂回顾 今天这节课 你学到了哪些知识 有哪些收获与感受 说出来大家分享 课堂小结交给学生 课堂小结交给学生 让学生总结本节课中概念的发现过程 运用概念分析问题的过程 养成让学生总结本节课中概念的发现过程 运用概念分析问题的过程 养成 学生学习学生学习 总结总结 学习的良好习惯 唯有总结反思 才能控制思维操作 才能促进理解 提高认学习的良好习惯 唯有总结反思 才能控制思维操作 才能促进理解 提高认 知水平 从而促进数学观点的形成和发展 更好地进行知识建构 实现良性循环 知水平 从而促进数学观点的形成和发展 更好地进行知识建构 实现良性循环 布置作业 布置作业 九九 同步测验同步测验 2 提取公因式法提取公因式法 教学背景教学背景 提取公因式法 是 新浙江版七年级数学 下 第六章第二节内容 本课安排在 整式的乘法 后 明确了因式分解与整式乘法的联系 起到知识的链结开拓作用 提取公因式法是因式分解的基础 也为学习 因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程 如一元二次方程 打下结实的基础 从而也为学生的运算 能力拓展了道路 老教材本小节是分两个课时上的 教学内容分析教学内容分析 提取公因式法 是因式分解的最基本 最常用的方法 它的理论依据是逆用分配律 因此 学生接 受起来并不难 但因题目各有其特点 形式变化多 所以需要学生具有观察 分析能力和应变能力 这就需 要在教学中加以指导 训练 例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深 形式多样化 利用这个方法 首先对 要分解的多项式进行考察 发现特点及多项式各项之间的内在联系 适当变形 可利用计算机辅助教学手段 增大教学的容量和教学质量 改变传统的言传身教的方式 教学目标教学目标 在具体情境中认识公因式 通过对具体问题的分析及逆用分配律 使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因 式 教学重点 难点教学重点 难点 1 教学重点 教学重点 掌握公因式的概念 会使用提取公因式法进行因式分解 理解添括号法则 教学难点 教学难点 正确地找出公因式 教学方法教学方法 理论与实例相结合 采用设问式 启发式 教学工具教学工具 应用投影仪 计算机 教学过程教学过程 创设情境 提出问题创设情境 提出问题 如图 8 1 一块菜园由两个长方形组成 这些长方形的长分别是 3 8m 6 2m 宽都是 3 7 m 如何计算这块菜 园的面积呢 3 8 列式 3 7 3 8 3 7 6 2 学生思考后列式 3 7 有简便算法吗 3 7 3 8 6 2 3 7 3 7 10 37 m2 6 26 2 图图 8 18 1 在这一过程中 把 3 73 7 换成 m 3 8 换成 a 6 2 换成 b 于是有于是有 ma mbmb m a m a b b 利用整式乘法验证 m a b ma mb 可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形 那就更好 或其他的方法 教师都应该 及时肯定学生思维中的闪光点 使学生初步意识到因式分解可以使运算简便 使学生初步意识到因式分解可以使运算简便 同时起到使知识进行迁移化归同时起到使知识进行迁移化归 观察分析 探究新知观察分析 探究新知 让学生观察多项式 ma mb 让学生说出其特点 都有 m 含有两种运算乘法 加法 然后教师规范其特点 从而引出新知 各项都含有一个公共的因式 m 我们把因式 m 叫做这个多项式各项的公因式公因式 又如又如 b 是多项式 ab b2各项的公因式 2xy 是多项式 4x2y 6xy2z 各项的公因式 让学生说出公因式 学生可能会说是 2 或者是 x y 2x 2y 2xy 等 最后一起确定公因式 2xy 让 学生初步体会到确定公因式的方法 独立练习 巩固新知独立练习 巩固新知 指出下列各多项式中各项的公因式 以抢答的形式 ax ay a a 5x2y3 10 x2y 5x2y 24abc 9a2b2 3ab m2n mn2 mn x x y 2 y x y x y 教师在教学中创设抢答 引起学生兴趣 积极参与教学进程 争做课堂的主人 教师在教学中创设抢答 引起学生兴趣 积极参与教学进程 争做课堂的主人 说明说明 本活动也可以改为寻找公因式游戏如本活动也可以改为寻找公因式游戏如 根据提供的多项式和整式根据提供的多项式和整式 寻找出这个多项式的公因式寻找出这个多项式的公因式 ax ay a 5x2y3 10 x2y 24abc 9a2b2 m2n mn2 x x y 2 y x y a x y 5xy 5x2y3 5x2y 3abc 9ab 3ab mn m2n mn2 x x y y x y x y 游戏规则 准备好写有整式和多项式的纸牌 学生分为四组 每组选四个同学游戏 其中 3 个同学举一组题中 的整式牌 第四个根据组员建议寻找出题中的公因式 并说明理由 显然由定义可知 提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法 可以由学生讨论总结 然后教师进行归纳 公因式的系数应取各项系数的最大公约数最大公约数 当系数是整数时 字母取各项的相同字母 且各字母的指数取最低次幂最低次幂 根据分配律 可得 m a b ma mb 逆变形 使得到 ma mb 的因式分解形式 ma mb m a b 这 说明多项式 ma mb 各项都含有的公因式可提到括号外面 将多项式 ma mb 写成 m a b 的形式 这种分 解因式的方法叫做提取公因式法提取公因式法 定义定义 一般地 如果一个多项式的各项含有公因式 那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提一般地 如果一个多项式的各项含有公因式 那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提 取公因式法 取公因式法 例题教学 运用新知例题教学 运用新知 例例 1 把 3pq3 15p3q 分解因式 通过上面的练习 学生会比较容易地找出公因式 所以这一步还是让学生来操作 然后在黑板上正确规 然后在黑板上正确规 范地书写提取公因式法的步骤 事后总结出提取公因式的一般步骤范地书写提取公因式法的步骤 事后总结出提取公因式的一般步骤分两步 第一步 找出公因式 第二步 提取公因式 解解 3pq3 15p3q 3pq q2 3pq 5p2 3pq q2 5p2 让学生口答让学生口答 把 2x3 6x2分解因式 学生在探究 交流中能获得一些初步概念和技能 但真正达到掌握知识与技能 还需要教师示范 学生学生在探究 交流中能获得一些初步概念和技能 但真正达到掌握知识与技能 还需要教师示范 学生 模仿性学习 经过规范化的示范 就能逐步培养学生严谨的思维 正确的计算能力模仿性学习 经过规范化的示范 就能逐步培养学生严谨的思维 正确的计算能力 说明说明 应特别强调确定公因式的两个条件 以免漏取 刚开始讲 最好把公因式单独写出 以显提醒 强调提公因式 强调因式分解 课堂练习课堂练习 P156T1 例例 2 把 4x2 8ax 2x 分解因式 让学生做 教师下去观察并选择有代表性的解答 学生可能出现的解答 4x2 8ax 2x x 4x 8a 2 4x2 8ax 2x 2 2x2 4ax x 4x2 8ax 2x 2x 2x 4a 4x2 8ax 2x 2x 2x 2a 1 4x2 8ax 2x 2x 2x 8ax 2x 教师出示学生的解答 可先让学生自行点评 找出分解因式的错误 而且这些错误都是以后学生练习中的常 犯错误 接着由教师总结 这样做比教师直接给出可能会更有效 先让学生自己动手做 暴露他们的错误 然后再进行点评 加深他们的记忆先让学生自己动手做 暴露他们的错误 然后再进行点评 加深他们的记忆 分析分析 找出公因式 2x 强调多项式中 2x 2x 1 解解 4x2 8ax 2x 2x 2x 2x 4a 2x 1 2x 2x 4a 1 说明说明 当多项式的某一项恰好是公因式时 这一项应看成它与 1 的乘积 提公因式后剩下的应是 1 1 作 为项的系数通常可省略 但如果单独成一项时 它在因式分解时不能漏项 这类题常有学生犯下面的错误 4x2 8ax 2x 2x 2x 4a 注意注意 提公因式后的项数应与原多项式的项数一样 这样可检查是否漏项提公因式后的项数应与原多项式的项数一样 这样可检查是否漏项 例例 3 把 3ab 6abx 9aby 分解因式 让学生自己观察找出此例与前面两例的不同点让学生自己观察找出此例与前面两例的不同点 学生可能会指出字母的个数不同 只要学生说得合理 教师应及时给予肯定与鼓励 他们很快就会发现第一项的系数是 的 那么如何转化呢 由学生各述己见 教师不加评定 然后集体总结学生思维中的闪光点由学生各述己见 教师不加评定 然后集体总结学生思维中的闪光点 应先把它转化成前面的情形 便可以因式分解了 所以应先提负号转化 然后再提公因式 提 号时 教师可适当地引出添括号法则 可谓解决 燃尾之急 添括号法则 添括号法则 括号前面是 号 括到括号里的各项都不变号 括号前面是 号 括到括号里的各项 都要变号 课堂练习课堂练习 P156T 2 巩固添括号法则巩固添括号法则 解解 3ab 6abx 9aby 3ab 6abx 9aby 3ab 1 2x 3y 说明说明 通过此例可看出应用提取公因式法分解因式时 应先观察第一项系数的正负 负号时 运用添括 号法则要提出负因数 此时一定要把各项变号 由此总结出提取公因式法的一般步骤 见 P155 课堂练习课堂练习 P156T3 通过纠错题 及时反馈信息 进行点评通过纠错题 及时反馈信息 进行点评 例例 4 探索探索 2 a b 2 a b 能分解因式吗 还是把问题先交给学生进行小组讨论 四人一小组 鼓励学生进行交流探索 可能有学生会提出好象没 有公因式 此时教师可以适当地点拨一下 比如可降低难度改为 2 a b 2 a b 然后启发学生如何转化 从而解决问题 解解 2 a b 2 a b 2 a b 2 a b a b 2 a b 1 a b 2a 2b 1 然后可追加一问 2 a b 2 b a 3呢 让学生积极思考 讨论回答 让学生积极思考 讨论回答 注 注 n 为偶数为偶数 a b n b a n n 为奇数为奇数 a b n b a n 让他们从合作中去感受群体合作的力量 体验展示自我的愉悦让他们从合作中去感受群体合作的力量 体验展示自我的愉悦 指出指出 我们知道代数式里的字母可以表示一个数 一个单项式 一个多项式 此多项式的公因式不明显 但仔细观察可发现 利用添括号法则把 a b 可变形成 a b 若把 a b 看作 m 原多项式就可以提取公 因式 a b 向学生渗透换元思想向学生渗透换元思想 例题例题 4 培养学生分析问题的能力 优化学生思维品质 让学生区分方法的差异 培养学生分析问题的能力 优化学生思维品质 让学生区分方法的差异 强化训练 掌握新知强化训练 掌握新知 把下列各式分解因式 2ax 2ay x2y xy2 a3 2a2 a 2mn 6m2n2 14m3n3 ab2c 2a2b 5ac2 x a b y a b a x a b a x c x a 让学生上来板演 练习都是针对例题的直接应用 同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用让学生上来板演 练习都是针对例题的直接应用 同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用 变式训练 扩展新知变式训练 扩展新知 A 组组 将下列各式分解因式 3 a b 2 6a 6b 0 01x3y o 2x2yz2 利用因式分解计算 22 3 145 53 3 145 31 45 2 5 学习的最终目的是应用 所以补充了此例 可让学生体验运用新知解决问题的喜悦 学习的最终目的是应用 所以补充了此例 可让学生体验运用新知解决问题的喜悦 B 组组 分解因式 xa xa 1 xa 2 供学有余力的学生练习供学有余力的学生练习 让不同层次的学生都能得到发展让不同层次的学生都能得到发展 整理知识整理知识 形成结构形成结构 同学们 今天这节课你学会了什么 在学习过程中你有哪些收获 还有什么疑问 培养学生反思自己学习过程的意识 让学生在思考问题的过程中自己把整节内容进行了梳理 并且逐步培养学生反思自己学习过程的意识 让学生在思考问题的过程中自己把整节内容进行了梳理 并且逐步 培养学生自我概括 总结能力 学会口头表达能力培养学生自我概括 总结能力 学会口头表达能力 布置作业 作业本布置作业 作业本 同步测验同步测验 6 3 用乘法公式分解因式用乘法公式分解因式 一 一 背景介绍背景介绍 本节课是学生学习了因式分解的概念 用提取公因式法分解因式后继续学习的 在整式的乘 法中学习了平方差公式 今天应用此公式因式分解 关键在于学生必须有逆向的思维 换元的思 想 能体会到公式中 a b 可以是数字 单项式 多项式 把多项式转换到平方差公式的模型然 后依据公式因式分解 二 教学设计二 教学设计 第 1 课时 教学内容分析 在前一课时 学生加深了对因式分解的概念的理解 学会了用提取公因式法因式分解 所以本课 时的重点在于让学生体会到哪些多项式可用平方差公式分解 以及综合应用提取公因式法与平方差公 式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解 教学目标教学目标 1 经历平方差公式的产生过程 会用公式 a2 b2 a b a b 分解因式 2 认识 a2 b2 a b a b 与 a b a b a2 b2之间区别联系 3 体验换元思想 培养学生观察 分析和解决问题能力 4 体会用符号表示公式的意义 形成初步的符号感 教学重 难点教学重 难点 重点 掌握平方差公式的特点及运用此公式分解因式 难点 把多项式转换到能用平方差公式分解因式的模式 综合运用多种方法因式分解 教学准备教学准备 每两名学生准备一张正方形纸板和画图工具 教学过程教学过程 教学过程设计说明 一 创设情景 引出课题一 创设情景 引出课题 问题 一 把如图卡纸剪开 拼成一张长方形 卡纸 作为一幅精美剪纸衬底 怎么 剪 你能给出数学解释吗 b a b a 这个图形的剪拼在整式的乘法中学生已经接触过了 比较 容易 估计学生能剪拼成功 可能得到以下两条公式 a2 b2 a b a b 与 a b a b a2 b2 想一想 1 这两条公式的名称 2 公式 a b a b a2 b2 有什么作用 公式是多项式乘法的特殊形式 能简化计算 学生 能说出最好 若有困难 教师点拨 3 公式 a2 b2 a b a b 左到右的形式发生了什 么变化 4 请用语言描述公式 a2 b2 a b a b 教师板书 两数的平方差等于两数的和与两数差的积 教师指出本课时就应用平方差公式因式分解 从而提出课 题 通过探究两个图形的 变换而面积不变 从 而引出公式 这是根 据初一学生年龄特点 采用图形变化来激发 学生学习兴趣 问题是知识能力生长 点 通过富有实际意 义的问题 激发学生 原有认知 促使学生 主动地进行探索和思 考 二 整理新知 形成结构二 整理新知 形成结构 做一做 1 下列各式能用平方差公式 a2 b2 a b a b 分解 因式吗 a b 分别表示什么 把下列各式分解因式 1 x2 1 2 m2 9 3 x2 4y2 采用抢答形式 例 1 把下列各式分解因式 1 16a2 1 2 m2n2 4P2 3 x2 y4 4 x z 2 y z 2 25 9 16 1 师生一起对话交流 对每一题都提问 a b 分别表示什么 让学生经历这过程后 能充分体验到 a b 可以是单项式 也可以是多项式 解题反思 上述的多项式都可用平方差公式分解因式 它们有什么共 同点 学生讨论 发言 老师纠正 完善 都可以转化两数的平方差 而且这两数可以是单项式 也 可以是多项式 若部分学生理解有困难 不妨把两数用符 号 和 表示 那么公式形象地表示为 2 2 教学应遵循学生的认 知规律 由浅如深 循序渐进 既面向全 体学生 又体现出例 题的层次性 借助数学符号 能把 有关的问题规范化 清晰化 建立正确的 符号感 三 内化知识 尝试成功三 内化知识 尝试成功 1 辩一辩 下列多项式可以用平方差公式分解因式吗 说说你的 理由 1 4x2 y2 2 4x2 y 2 3 4x2 y2 4 4x2 y2 5 a2 4 6 a2 3 2 练一练 分解因式 1 25x2 4 2 121 4a2b2 3 4x2 4 x2 9 9 1 3 试一试 让学生编一些能用平方差公式进行因式分解的多项式 展示在黑板上 并让其他同学解答 评价 学生进一步理解能用 平方差公式分解多项 式的特点 让学生互编互检互评 注重学生间的相互评 价方式的运用 不仅 能更好地激发学生的 学习兴趣 更重要的 是能培养学生的创新 意识和创造能力 四 合作学习 延伸提高四 合作学习 延伸提高 合作学习 一 分解下列因式 1 4x3y 9xy3 2 27a3bc 3ab3c 3 2n 1 2 2n 1 2 教师注意观察个小组的活动情况 并给予适当的说明和引 导 鼓励学生大胆发表自己的意见和观点 对学生的结论 作出评价 解题反思 对于复杂的多项式 我们应该怎么做 学生可能会说先应该先提取公因式 或者说把多项式转化 可以采用平方差公式分解的模型 或者说应该把多项式分 解到每个因式不能再分解为止 等等 教师予以完善总结 合作学习 二 观察下表 你还能继续往下写吗 11 12 02 33 22 12 55 32 22 77 42 32 你发现了什么规律 能用因式分解来说明你的发现吗 如想直接利用平方差 分解因式 则思维受 阻 产生认识冲突 但通过讨论 结合上 面学生知识先提取分 因式 然后采用公式 则可解决 至于 3 目的在于提醒 学生一定要分解每一 个因式不能分解为止 既可培养学生探究能 力 又可让学生体验 因式分解的用处 学 以致用 六 小结提示 作业布置六 小结提示 作业布置 备选练习 1 因式分解 1 3x 4y 2 4x 3y 2 2 16 3m 2n 2 25 m n 2 3 16x4 y4z4 2 计算 1 19992 1998x2000 2 25x2652 1352x25 3 把一块纸板形状如图 请剪一个 b2 面积和这块纸板相等的长方形纸 板 求出这个长方形纸板的长和 宽 并画出图形 四人一组 合 作讨论 a2 让学生来评价自己的 学习体验过程 通过 学生的反馈 进一步 对教学进行深入反思 在深层次上更新教育 观念 作业布置做到分层 体现因材施教原则 周五周五 6 1 到到 6 3 总结并做练习总结并做练习 第六章第六章 6 1 6 36 1 6 3 练习练习 班级 姓名 一 填空题 每题 2 分 共 32 分 2 3 mbmam 1 1x acba 4 分解因式 5 yxyx 332 255 2 22 xyxyyxxy 6 分解因式 3ay 3by 7 分解因式 a2 14a 49 8