理论力学第四部分-分析力学.doc

第四部分 分析力学第13章 达朗贝尔原理上面几章我们是以牛顿定律为基础研究质点和质点系的动力学问题，给出了求解质点和质点系动力学问题的普遍定理。这一章我们要学习求解非自由质点系动力学问题的新方法达朗贝尔原理，它是用静力学平衡的观点解决动力学问题，又称为动静法。它在解决已知运动求约束力方面显得特别方便，因此在工程中得到广泛的应用。13.1 达朗贝尔原理13.1.1惯性力质点的达朗贝尔原理设非自由质点的质量为m，加速度为a，作用在质点上的主动力为F，约束力为，如图13-1所示。根据牛顿第二定律，有将上式移项写为 （13-1）引入记号 （13-2）式（13-1）成为 （13-3）其中，具有力的量纲，称为质点的惯性力，它是一个虚拟力，它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点的加速度方向相反。式（13-3）是一个汇交力系的平衡方程，它表示：作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系，称为质点的达朗贝尔原理。此原理是法国科学家达朗贝尔于1743年提出的。 利用达朗贝尔原理在质点上虚加惯性力，将动力学问题转化成静力学平衡问题进行求解的方法称为动静法。应当指出：（1）达朗贝尔原理并没有改变动力学问题的性质。因为质点实际上并不是受到力的作用而真正处于平衡状态，而是假想地加在质点上的惯性力与作用在质点上的主动力、约束力在形式上构成平衡力系。（2）惯性力是一种虚拟力，但它是使质点改变运动状态的施力物体的反作用力。例如，系在绳子一端质量为的小球，以速度v，用手拉住小球在水平面内作匀速圆周运动，如图13-2所示。小球受到绳子的拉力F，使小球改变运动状态产生法向加速度，即。小球对绳子的反作用力，这是由于小球具有惯性，力图保持其原有的运动状态，而对绳子施加的反作用力。（3）质点的加速度不仅可以由一个力引起，而且还可以由同时作用在质点上的几个力共同引起的。因此惯性力可以是对多个施力物体的反作用力。例如圆锥摆，如图13-3所示，小球在摆线拉力和重力作用下作匀速圆周运动，有此时的惯性力为式中和分别为摆线和地球所受到小球的反作用力。由于它们不作用在同一物体上，当然没有合力，但它们构成了小球的惯性力系。例题13-1有一圆锥摆，如图13-4所示，重为N的小球系于长为cm的绳上，绳的另一端系在固定点，并与铅直线成角。已知小球在水平面内作匀速圆周运动，试求小球的速度和绳子的拉力。解：以小球为研究对象，受由重力、，绳子的拉力以及在小球上虚拟的惯性力，如图13-4所示。由于小球在水平面内作匀速圆周运动，其惯性力只有法向惯性力，即方向与法向加速度相反。由质点的达朗贝尔原理得将上式向自然轴上投影，得下面的平衡方程 解得 13.1.2质点系的达朗贝尔原理设质点系由n个质点组成，其中第i个质点的质量为，加速度为，作用该质点的主动力、约束力、惯性力，由质点的达朗贝尔原理第i个质点有 （13-4）式（13-4）表明：质点系中的每一个质点在主动、约束力、惯性力作用下在形式上处于平衡。若将作用在质点系上的力按外力和内力分，设第i个质点上的外力为、内力为，式（13-4）为 （13-5）式（13-5）表明：质点系中的每一个质点在外力、内力、惯性力，作用下在形式上处于平衡。对于整个质点系而言，外力、内力、惯性力在形式上构成空间平衡力系，由静力学平衡理论知，空间任意力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢量和对任一点的主矩等于均为零。即 （13-6）由于内力是成对出现的，内力的主矢量，内力的主矩。则式（13-6）为 （13-7）即质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的所有外力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成平衡力系。式（13-7）在直角坐标轴上的投影形式：（1）空间力系 （13-8）（2）平面力系 （13-9）13.2 刚体惯性力系的简化在应用动静法解决非自由质点系的动力学问题时，需要在每个质点上虚加惯性力，当质点较多，特别是刚体，非常不方便。因此需要对虚加惯性力系进行简化，以便求解。下面对刚体作平移、绕定轴转动和刚体平面运动时惯性力系的简化。13.2.1平移刚体惯性力系的简化当刚体作平移时，由于同一瞬时刚体上各点的加速度相等，则各点的加速度都用质心C的加速度表示，即，如图13-5所示。将惯性力加在每个质点上，组成平行的惯性力系，且均与质心C的加速度方向相反，惯性力系向任一点简化，得惯性力系主矢量 （13-10）惯性力系的主矩 （13-11）式中为质心C到简化中心点的矢径。若取质心C为简化中心，则惯性力系的主矩为 （13-12）当简化中心不在质心C处，其主矩。结论：刚体作平移时，惯性力系简化为通过质心的一个合力，其大小等于刚体的质量和加速度的乘积，方向与加速度方向相反。13.2.2定轴转动刚体的惯性力系简化这里只限于刚体具有质量对称平面且转轴垂直与此对称平面的特殊情形。当刚体作定轴转动时，先将刚体上的惯性力简化在质量对称平面上，构成平面力系，再将平面力系向转轴与对称平面的交点O简化。轴心O为简化中心，如图13-6所示，惯性力系的主矢量为 （13-13）惯性力系的主矩为 （13-14）其中，为刚体对垂直于质量对称平面转轴的转动惯量。 结论：具有质量对称平面且转轴垂直于此对称平面的定轴转动刚体的惯性力系，向转轴简化为一个力和一个力偶。此力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；此力偶矩的大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度转向相反。当转轴通过质心时，质心的加速度，则惯性力系简化为质心上的一个力矩。即 （13-15）13.2.3平面运动刚体惯性力系的简化设刚体具有质量对称平面，且刚体上的各点在与对称平面保持平行的平面内运动。此时刚体上的惯性力简化在此对称平面内的平面力系。由平面运动的特点，取质心C为基点，如图13-7所示，质心的加速度为，绕质心C转动的角速度为，角加速度为，惯性力系的主矢量为 （13-16）惯性力系的主矩 （13-17）其中，为过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量。结论：具有质量对称平面的刚体，在平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。此力大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过质心；此力偶矩的大小等于刚体对通过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度转向相反。例题13-2均质圆柱体的质量为，在外缘上绕有一细绳，绳的一端固定不动，如图13-8a所示，圆柱体无初速度地自由下降，试求圆柱体质心的加速度和绳的拉力。解：对圆柱体进行受力分析，作用其上的力有：圆柱体的重力，绳的拉力，作用在圆柱质心的虚拟惯性力和，即 (1)其方向如图13-8b所示。列平衡方程为 (2) （3）式(1)代入式(2)和式（3），并联立求解，得圆柱体的角加速度和绳的拉力为圆柱体质心的加速度为例题13-3如图13-9a所示，均质圆盘的质量为，由水平绳拉着沿水平面作纯滚动，绳的另一端跨过定滑轮并系一重物，重物的质量为。绳和定滑轮的质量不计，试求重物下降的加速度，圆盘质心的加速度以及作用在圆盘上绳的拉力。解：以圆盘为研究对象，作用在圆盘上的力有重力，绳的拉力，法向约束力，摩擦力，虚拟惯性力和。虚拟惯性力和为其方向如图13-9b所示，为圆盘的半径。列平衡方程为 （1）再以重物为研究对象，作用在重物上的力有重力，绳的拉力，虚拟惯性力。虚拟惯性力为其方向如图13-9c所示。列平衡方程为 （2）式（1）和式（2）联立，并注意，解得重物下降的加速度为圆盘质心的加速度为作用在圆盘上绳的拉力为例题13-4均质直杆重为，杆长为，为球铰链，端自由，以匀角速度绕铅垂轴转动，如图13-10a所示。试求杆与铅垂轴的夹角以及铰链处的约束力。解：首先计算惯性力如图13-10b所示,将杆分割成微段，且距为，则段上惯性力为 （1）其中，为杆的线密度。对式（1）积分，求合惯性力为 （2）合惯性力的作用线位置，由合力矩定理得其中，为合惯性力到的距离。解得将式（2）代入得 （3）由式（1）和式（3）知，此惯性力为线性分布载荷，其合力为载荷图的面积，合力的作用线通过载荷图的形心。其次求杆与铅垂轴的夹角以及铰链处的约束力。对杆进行受力分析，如图13-10c所示,在杆所在的铅垂平面内，杆受重力，铰链处的约束力为、，虚拟惯性力。列平衡方程为 （4） （5） （6）将惯性力式（2）代入式（4）、（5）、（6）得13.3 本章小结1.质点的惯性力其中，惯性力是一个虚拟力。2.质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系。即3.质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的所有外力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成平衡力系。即平衡力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢量和对任一点的主矩等于均为零。主矢量: 主矢量: 4.质点系达朗贝尔原理的投影形式：（1）空间力系（2）平面力系5.刚体惯性力系的简化（1）平移刚体惯性力系的简化: 其中，惯性力系简化为通过质心的一个合力。（2）定轴转动刚体的惯性力系简化： 当转轴通过质心时，定轴转动刚体的惯性力系简化为质心上的一个力矩。即（3）平面运动刚体惯性力系的简化： 第14章 虚位移原理在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程，才能求出所要求的未知力。这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力学。1788年，法国科学家拉格朗日发表的分析力学一书，给出了解决非自由质点系的新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和拉格朗日方程。虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，减少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。14.1 约束自由度广义坐标14.1.1约束质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为约束，表示约束的数学方程称为约束方程。按约束方程的形式对约束进行以下分类。1.几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。例如图14-1所示的单摆，其约束方程为又如图14-2所示的曲柄连杆机构，其约束方程为 上述例子中的约束方程均表示几何约束。如果约束方程中含有坐标对时间的导数，或者说，约束限制质点或质点系运动的条件，称为运动约束。例如图14-3所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心的速度为运动约束方程为设和分别为轮心点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为2.定常约束与非定常约束约束方程中不显含时间的约束称为定常约束，上面各例中的约束均为定常约束。约束方程中显含时间的约束称为非定常约束，例如将单摆的绳穿在小环上，如图14-4所示，设初始摆长为，以不变的速度拉动摆绳，单摆的约束方程为约束方程中有时间变量，属于非定常约束。3.完整约束与非完整约束约束方程中含有坐标对时间的导数，而且方程不能积分成有限形式，称为非完整约束。反之，约束方程中不含有坐标对时间的导数；或约束方程中含有坐标对时间的导数，但能积分成有限形式，称为完整约束。上述例子中在平直轨道上作纯滚动的圆轮，其运动约束方程为完整约束。4.双侧约束与单侧约束如果约束不仅限制物体沿某一方向的位移，同时也限制物体沿相反方向的位移，这种约束称为双侧约束。例如，图14-1所示的单摆是用直杆制成的，摆杆不仅限制小球拉伸方向的位移，而且也限制小球沿压缩方向的位移，此约束为双侧约束。若将摆杆换成绳索，绳索不能限制小球沿压缩方向的位移，这样的约束为单侧约束。即约束仅限制物体沿某一方向的位移，不能限制物体沿相反方向的位移，这种约束称为单侧约束。本章非自由质点系的约束只限于几何、定常的双侧约束，约束方程的一般形式为 (14-1)式中n为质点系中质点的数目，s为约束方程的数目。14.1.2自由度确定具有完整约束的质点系位置所需独立坐标的数目称为质点系的自由度数，简称自由度，用表示。例如，在空间运动的质点，其独立坐标为,自由度为；在平面运动的质点，其独立坐标为,自由度为；作平面运动的刚体，其独立坐标为，自由度为k=3。一般情况，设由n个质点组成的质点系，受有s个几何约束，此完整系统的自由度数为空间运动的自由度数： ；平面运动的自由度数： 。14.1.3广义坐标确定质点系位置的独立参量称质点系的广义坐标，常用表示。广义坐标的形式是多种的，可以是笛卡尔直角坐标,、弧坐标、转角。一般情况，设具有理想、双则约束的质点系，由n个质点组成，受有s个几何约束，系统的自由度为，若以表示质点系的广义坐标，质点系第i个质点的直角坐标形式的广义坐标为 (14-2)矢量形式为 (14-3)14.2 虚位移原理14.2.1虚位移和虚功1.虚位移在某给定瞬时，质点或质点系为约束所允许的无限小的位移称为质点或质点系的虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。用变分符号表示，以区别真实位移。例如图14-1所示的单摆，沿圆弧的切线有虚位移。虚位移与实际位移是两个截然不同的概念。虚位移只与约束条件有关，与时间、作用力和运动的初始条件无关。实位移是质点或质点系在一定时间内发生的真实位移，除了与约束条件有关以外，还与作用在它们上的主动力和运动的初始条件有关。虚位移是任意的无限小的位移，在定常约束下，虚位移可以有沿不同方向的虚位移。2.虚功力在虚位移上作的功称为虚功，用表示，即 (14-4)虚功与实际位移中的元功在本教材中的符号相同，但它们之间有着本质的区别。因为虚位移是假想的，不是真实位移，因此其虚功就不是真实的功，是假想的，它与实际位移无关；而实际位移中的元功是真实位移的功，它与物体运动的路径有关。这一点上学习时应当注意。3.理想约束如果约束力在质点系的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，这样的约束称为理想约束。若用表示质点系中第i个质点所受的约束力，表示质点系中第i个质点的虚位移，则理想约束为 (14-5)将第12章的式（12-11）中变换为即可。如光滑接触面、铰链、不可伸长刚杆（二力杆）等均为理想约束。将第12章的理想约束推广到某些非定常约束，也能成为理想约束。例如变长度摆，如图14-5所示，绳的约束力在实位移上作的功，但虚位移上的虚功，因而也是理想约束。14.2.2虚位移原理虚位移原理：具有理想、双侧、定常约束的质点系其平衡必要与充分条件是：作用在质点系上的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即 (14-6)式(14-6)的解析式为 (14-7)虚位移原理由拉格朗日于1764年提出的，又称为虚功原理，它是研究一般质点系平衡的普遍定理，也称静力学普遍定理。虚位移原理的必要性证明：当质点系平衡时，质点系中的每个质点受到主动力和约束力而处于平衡，则有 将上式两端同乘以，并连加得由于质点系受有理想约束，即则有 虚位移原理的充分性证明：假设质点系受到力系作用时，不处于平衡状态，则作用在质点系上的某一个主动力和约束力其在相应的虚位移上所作的虚功必有由于质点系受有理想约束，即则对于质点系有这与式(14-6)矛盾，质点系必处于平衡。例题14-1如图14-6所示的机构中，当曲柄绕轴转动时，滑块沿曲柄滑动，从而带动杆在铅直的滑槽内移动，不计各杆的自重与各处的摩擦。试求平衡时力和的关系。解：作用在该机构上的主动力为力和，约束是理想约束，且为1个自由度体系。有如下的两种解法：（1）几何法如图14-6所示，、两点的虚位移为，则由虚位移原理式(14-6)得 （1）由图中的几何关系得 （2）式（2）代入式（1），得由于虚位移为是任意独立的，则有关系为（2）解析法由于体系具有1个自由度，广义坐标为曲柄绕轴转动时的转角，则滑块在图示坐标系中的坐标为滑块的虚位移为点的虚位移为将点、的虚位移代入式（1）得由于广义虚位移是任意独立的，则有即例题14-2如图14-7所示的平面机构中。已知各杆与弹簧的原长为，重量均略去不计。滑块重为，弹簧刚度系数为，铅直滑道是光滑的。试求平衡时重力与之间的关系。解：去掉弹簧的约束，以弹力、代替，体系的约束为理想约束，在主动力重力和弹力、的作用下处于平衡。此体系具有1个自由度，广义坐标为，则由虚位移原理式(14-6)得 （1）主动力作用点的坐标为则各作用点的虚位移为上式取变分，得 （2）弹簧的弹力、为 （3）将式（2）和式（3）代入式（1），得整理得由于广义虚位移是任意独立的，则有即得平衡时重力与之间的关系为例题14-3一多跨静定梁受力如图14-8a所示，试求支座的约束力。解：将支座处的约束解除，用力代替。此梁为1个自由度体系。由虚位移原理式(14-6)得则其中，各处的虚位移关系为从而得支座的约束力为14.2.3以广义坐标表示的质点系平衡方程设由n个质点组成的质点系，受有s个定常完整约束，系统的自由度为，对质点系中第i个质点的广义坐标求变分，由式(14-2)得 （14-8）其矢量式为 式(14-8)代入式(14-7)得 (14-9)令 (14-10)式(14-10)代入式(14-9) (14-11)其中，具有功的量纲，称为与广义坐标对应的广义力。由于广义坐标具有独立性，式(14-11)有 (14-12)即质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。式(14-12)广义力表示的平衡方程。求广义力有两种方法：一是直接从式(14-10)中求出，另一中求法是利用广义坐标具有独立和任意的性质，令某一的虚位移，其余的个虚位移为零，则有从而 (14-13)在实际求解中常采用第二种方法。例题14-4平面机构在如图14-9所示位置上平衡，已知在曲柄上作用有力偶矩，在铰链处，受有水平力。，各杆的重量和摩擦不计，试求水平力与力偶矩为的关系。解：此机构为2个自由度体系。设广义坐标为曲柄与水平轴的夹角，滑块的水平位移。（1）求广义坐标所对应的广义力令滑块不动，虚位移，则广义力图示位置，杆可以看成瞬时平移，则有代入上式，再由质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。则得则水平力与力偶矩为的关系为 （a）（2）求广义坐标所对应的广义力令曲柄不动，虚位移。此时体系相当于为曲柄，杆为连杆组成的曲柄连杆机构。铰链处的虚位移垂直于杆，由速度投影定理得广义力为由质点系平衡条件得则水平力与的关系为 （b）将式（a）代入式（b）得水平力与力偶矩为的关系为例题14-5如图14-10所示两重物和，重量分别为和，并系在细绳上，分别放在倾角为和的斜面上，绳子绕过两个定滑轮与动滑轮相连。动滑轮上挂重物，重量为的重物。若滑轮和细绳的自重以及各处的摩擦不计，试求体系平衡时，、和的关系。解：此机构为2个自由度体系。设广义坐标为重物沿斜面向下的位移为和重物沿斜面向上的位移为。重物的竖直位移为。（1）求广义坐标所对应的广义力令重物不动，虚位移，则广义力由运动关系得则上式为由质点系平衡条件得 （a）（2）求广义坐标所对应的广义力令重物不动，虚位移，则广义力由运动关系得则上式为由质点系平衡条件得 (b)由式（a）和式(b)得、和的关系为当主动力是势力时，势能也是广义坐标的函数，即主动力与势能的关系由（12-27）有 (14-14)虚位移为 (14-15)将式(14-14)和(14-15)代入(14-10)得 (14-16)则虚位移原理的平衡方程式(14-12)变为 (14-17)或者为 (14-18)即在势力场中，具有理想、双侧、定常约束的质点系平衡的必要与充分条件是：势能对每个广义坐标的偏导数都等于零，或者势能在平衡位置取驻值。例题14-6例题14-2用广义坐标法，求试求平衡时重力与之间的关系。解：此机构为1个自由度体系。广义坐标。设铰链为重力的零势能点，弹簧为原长为弹力的零势能点，则体系的势能为虚位移原理的平衡条件，得由虚位移是任意独立的，则得14.3 本章小结1约束自由度广义坐标约束分为以下形式：（1）几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。（2）运动约束：约束限制质点或质点系运动的条件。（3）定常约束：约束方程中不显含时间的约束。（4）非定常约束：约束方程中显含时间的约束。（5）非完整约束：约束方程中含有坐标对时间的导数，而且方程不能积分成有限形式，（6）完整约束：约束方程中不含有坐标对时间的导数；或约束方程中含有坐标对时间的导数，但能积分成有限形式。（7）双侧约束：约束限制物体沿某一方向的位移，同时也限制物体沿相反方向的位移。（8）单侧约束：约束仅限制物体沿某一方向的位移，不能限制物体沿相反方向的位移。自由度：确定具有完整约束的质点系位置所需独立坐标的数目，用表示。广义坐标：确定质点系位置的独立参量，以表示质点系的广义坐标。由n个质点组成的质点系，受有s约束，自由度为，则质点系第i个质点直角坐标形式的广义坐标为 矢量形式为 2.虚位移虚功理想约束虚位移:质点或质点系为约束所允许的无限小的位移。虚功：力在虚位移上作的功。理想约束：约束力在质点系的任意虚位移中所作的虚功之和等于零。即3.虚位移原理具有理想、双侧、定常约束的质点系其平衡必要与充分条件是：作用在质点系上的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即解析式为4.广义坐标表示的质点系平衡方程（1）一般的平衡问题广义力： 广义力表示的平衡方程：即质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。（2）当主动力是势力时广义力:其中，势能是广义坐标的函数，即。平衡方程： 或者为即在势力场中，具有理想、双侧、定常约束的质点系平衡的必要与充分条件是：势能对每个广义坐标的偏导数都等于零，或者势能在平衡位置取驻值。第15章 分析力学基础在这一章里，我们将达朗贝尔原理与虚位移原理结合起来，给出动力学普遍方程和拉格朗日方程。它们是分析力学的基础，是解决非自由质点系动力学问题的最一般原理。15.1 动力学普遍方程设质点系由n个质点组成，应用达朗贝尔原理，第i个质点的惯性力，则作用该质点的主动力、约束力、惯性力构成平衡力系。其平衡方程为 质点系受到理想、双侧约束时，依据虚位移原理有若质点系受的理想约束，即则 （15-1）或者 （15-2）式（15-1）或（15-2）称为动力学普遍方程，也称为达朗贝尔拉格朗日方程。它表明：具有完整、理想、双侧束的质点系在运动的任一瞬时，作用在质点系上的主动力和惯性力在任一组虚位移中所作的元功之和为零。它建立了质点系动力学问题的普遍规律，特别是对于非自由质点系来说，在求解时不必考虑未知的约束力，只需研究主动力，从而大大地简化了计算过程。式（15-2）的解析式为 （15-3）在应用动力学普遍方程求解时应遵循以下步骤：（1）判断系统是否是理想、双侧约束，确定系统的自由度；（2）计算主动力和惯性力，对于刚体而言将惯性力进行简化；（3）确定系统的虚位移；（4）由式（15-1）或（15-2）进行计算。例题15-1如图15-1所示的滑轮系统，动滑轮上悬挂质量为的重物，绳子绕过定滑轮后悬挂质量为的重物，设两均质滑轮的质量为，半径为，绳的质量及轮轴处的摩擦不计，试求定滑轮的角加速度及质量为的重物加速度 解：取整个滑轮系统为研究对象，系统为完整、理想、双侧束的约束，所受到的主动力为、和，惯性力为重物：，轮：，则由虚位移原理得 （1）因此系统为1个自由度，设广义虚位移为动滑轮的角位移，则虚位移间的关系为 （2）则式（1）为即由于虚位移是任意独立的，有又由运动学知角加速度关系：加速度关系： 则定滑轮的角加速度为质量为的重物加速度为例题15-2如图15-2所示的橢圆规机构在水平面内运动，曲柄上作用一力偶矩为，已知曲柄的质量均为和连杆的质量为，滑块、的质量均为，。若各处的摩擦不计，试求曲柄的角加速度。解：此机构为1个自由度体系，设广义坐标为曲柄与轴的夹角。受完整、理想、双侧的约束。此机构上的主动力为力偶矩，惯性力为曲柄：；连杆：，；滑块、：，。由虚位移原理得代入惯性力，得 （a）由运动学知（1）曲柄和连杆的角速度相等，其虚位移也相等，即为（2）由于虚位移是任意独立的，则式（a）为解得曲柄的角加速度为 （b）15.2 拉格朗日方程在应用动力学普遍方程求解复杂质点系问题时，如何将复杂的惯性力系表示成简洁方式，普遍方程中并没有给出，因此求解非常不便。拉格朗日方程有效地解决了这个问题。15.2.1拉格朗日关系式设具有理想、双侧约束的质点系，由n个质点组成，受有s个几何约束，系统的自由度为，若以表示质点系的广义坐标，质点系第i个质点广义坐标的矢量形式为 (15-4)式(15-4)对时间t求导 (15-5)式中称为广义速度，由于、只是广义坐标和时间t的函数，因此式(15-5)对求偏导得 (15-6)式(15-6)表示：任一质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数，它为拉格朗日关系式第一式。式(15-5)对任一广义坐标求偏导，得 （a）将对时间t求导，得 （b）比较式（a）和式（b）得 (15-7)式(15-7)表示：任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数，再对时间的一阶导数，它为拉格朗日关系式第二式。15.2.2拉格朗日方程式(15-4)求变分得代入动力学普遍方程式（15-1）中，得即有 （15-8）其中，式(15-8)中的为广义坐标对应的广义力，为广义坐标对应的广义惯性力。由于虚位移是任意独立的，式(15-8)中前面的系数为 （15-9）即具有完整、理想、双侧约束的质点系，每个广义坐标所对应广义力和广义惯性力相平衡。将广义惯性力进行如下的变换 （15-10）其中 （15-11）并注意到是质点系的动能。将式（15-11）代入（15-10）得 （15-12）再将式（15-12）代入（15-9），得广义力 （15-13）式（15-13）称为拉格朗日方程，它建立了