2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文科试题（全国I卷）真题精品解析.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修II)本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。【教师简评】本试卷整体上明显比去年加大了难度，整套题对程度中等的学生来说有比较有难度，估计最后的考试分数不会特别理想。试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。体现了“稳中求变，深化能力”的主导思想。知识分布还是比较广的，题的形式稳定，延续以前试题格式。本套试卷基础与能力并重，前6题都是常见题，在考场上能够稳定学生情绪，第10、11、12三题是较为综合性的试题，这是近几年来全国1套试卷难度最大的，填空题难度不算大。主观题试题类型都是常规题，难度和运算量仍然不小。第I卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中R表示球的半径一选择题(1)(A) (B)- (C) (D) 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式及特殊角求值。【解析】，故选C。(2)设全集，集合，则A. B. C. D. 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查集合的概念及集合的交集、补集运算。【解析】.故选C(3)若变量满足约束条件则的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则=(A) (B) 7 (C) 6 (D) (5)的展开式的系数为(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3【答案】A 【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和指定项系数的求法，考查分类讨论的思想方法。【解析】项的系数是,故选A.(6)直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于(A)30 (B)45(C)60 (D)90【答案】C 【命题意图】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力。【解析】延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AEA1B，EAB或其补角为所求，由已知条件可得AEC1为正三角形，EAB为600，故选C(7)已知函数.若且，则的取值范围是(A) (B)(C) (D) （8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点p在C上，p=，则(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8【答案】B 【命题意图】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用。【解析】由双曲线的定义得,又,由余弦定理，由2-得，故选B.（9）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为（A） （B） （C） （D）【答案】D 【命题意图】本试题主要考查直线与平面所成的角问题，考查空间的想象与迁移能力。【解析】在正方体中，DD1BB1，所以DD1,BB1与平面ACD1所成的角相等，设正方体的棱长为，在正方体AC1中，可知三棱锥D-ACD1为正三棱锥，所以D在平面ACD1的射影为正三角形ACD1的中心O，则DD1O即为所求，又ACD1的边长为，所以,，故选D。（10）设则（A）（B） (C) (D) （11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为(A) (B) (C) (D) （12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) 【答案】B 【命题意图】本试题主要考查本题主要考查几何体体积的计算、球的性质，综合考查空间分析问题、解决问题能力。【解析】过CD作平面PCDAB于P，设P到CD的距离为，则，所以当h最大时，体积最大，当直径通过AB与CD的中点时，所以，故选B。绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修II)第卷注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2第卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 3.第卷共10小题，共90分。二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试题卷上作答无效) (13)不等式的解集是 . (15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程各自少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)【答案】30 【命题意图】本试题主要考查排列组合知识及分类讨论的思想方法。【解析】分两种情况：（1）A类选1门，B类选2门，有种方法；（2）A类选2门，B类选1门，有种方法，共有30种方法。(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且，则的离心率为 .【答案】 【命题意图】本试题主要考查椭圆的方程与几何性质，考查定比分点问题。【解析】假设椭圆的焦点在x轴，方程为，设点，由，则D有向线段的比为-3，则，代入方程得，所以.三解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分10分）(注意：在试题卷上作答无效)记等差数列的前的和为，设，且成等比数列，求.【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，以及等比数列的性质，考查学生用方程组的思想解决数列问题的能力。【参考答案】【点评】数列问题属于高考的传统题型，近两年全国1文科卷，数列解答题的难度有所降低，旨在考查考生对数列的基本公式、性质的掌握，显然这就降低对综合能力的要求。(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) 已知的内角，及其对边，满足，求内角(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为05，复审的稿件能通过评审的概率为03各专家独立评审 (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； (II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率 【命题意图】本题主要考查独立事件与互斥事件的概率问题，考查学生分类讨论的思想和分析问题、解决问题的能力。【参考答案】解： ()记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用. 则 D=A+BC, = = =0.25+0.50.3 =0.40. () 记表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用； 表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用； 表示事件：4篇稿件中恰有2篇被录用； =+ =0.1296+0.3456 =0.4752, ,【点评】概率问题是高考的必考题型，一般都在18、19题，试题的难度不大。主要考查考生对互斥事件、独立事件等基本概率模型知识的掌握程度以及应用知识分析问题、解决问题的能力。新背景下的概率问题是高考的亮点内容之一，估计明年高考对概率解答题的考查除了常规模式外，还可能与数列、不等式、统计等交汇命题。（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC . （）证明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .() 由知.故为等腰三角形.取中点F,连接,则.连接，则.所以，是二面角的平面角.连接AG,AG=,所以，二面角的大小为120.解法二： 以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系， ，故 .令，则. 由平面得.故.() 由（）知,取中点F，则,故,由此得. 又,故由此得,向量与的夹角等于二面角的平面角.于是 ,所以，二面角的大小为120.（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知函数（I）当时，求的极值;（II）若在上是增函数，求的取值范围【命题意图】本题主要考查导数的两大应用，即利用导数求极值和解决函数的的单调性，考查学生对高次方程的因式分解能力与计算能力。【参考答案】解：（）当时，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值. 所以是的极小值.() 在上，单调增加当且仅当即 （i）当a=0时恒成立；（ii）当a0时成立, 当且仅当,解得。（iii）当a0时成立,即当且仅当 。解得：。综上，a的取值范围是。【点评】本题属于导数的常见题型，与往年不同的是次数的升高，这就对考生的因式分解能力加大了要求，这就要求我们在复习备考时，在牢固掌握三次函数的导数问题同时对四次的导数问题也应该有所涉猎。(22)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D .（）证明：点在直线上；（）设，求的内切圆的方程 .故直线BD的斜率，因而直线BD的方程为因为KF为的平分线，故可设圆心，到及BD的距离分别为.由得，或（舍去），故 圆M的半径.所以圆M的方程为.（18）、解： 由及正弦定理得 , ,从而 ，.又故 ,所以 .（19）、解： ()记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用. 则 D=A+BC, =+ =0.1296+0.3456 =0.4752, ,（20）解法一： ()连接BD,取DC的中点G，连接BG, 由此知 即为直角三角形，故. 又,所以，.作，故内的两条相交直线都垂直. 连接，则.所以，是二面角的平面角.连接AG,AG=,所以，二面角的大小为120.解法二： 以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，设则,.(), 设平面的法向量为,由,故令，又设 ,