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北师大版 八年级下 1一元一次不等式与一元一次不等式组1.1不等关系（1）不等式的概念：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式。（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式。常用的不等号有“”、“”、“”、“”、“”。另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数。1.2不等式的基本性质（1）不等式的基本性质不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若ab，那么ambm； 不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若ab，且m0，那么ambm或a/mb/m； 不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若ab，且m0，那么ambm或a/mb/m；（2）不等式的变形：两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变。1.3不等式的解集（1）不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集。（3）解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式。（4）不等式的解和解集的区别和联系不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示。不等式的每一个解都在它的解集的范围内。用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可。定边界点时要注意， 点是实心还是空心， 若边界点含于解集为实心点， 不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”。1.4一元一次不等式（1） 一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。（2）概念解析一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接。另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数。但两者也有联系，即一元一次不等式是属于不等式。根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1 。以上步骤中，只有去分母和化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向。注意：符号“”和“”分别比“”和“”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式。一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解。可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题。用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号。因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系。（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案。（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系。因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵。（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：弄清题中数量关系，用字母表示未知数。根据题中的不等关系列出不等式。解不等式，求出解集。 写出符合题意的解。1.5一元一次不等式与一次函数（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。（2）用画函数图象的方法解不等式ax+b0(或0)对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（-b/k，0）。当k0时不等式kx+b0的解为：x- b/k，不等式kx+b0的解为：x- b/k；当k0，不等式kx+b0的解为：x- b/k，不等式kx+b0的解为：x- b/k。1.6一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。（2）概念解析形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组。但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个。（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组。（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分。解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到。（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）。解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解。（2）已知解集（整数解）求字母的取值。一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案。由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系。往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方。所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目。对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解。一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答。 2分解因式2.1分解因式1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式。因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式。例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验。2.2提公因式法1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式。2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：定系数，即确定各项系数的最大公约数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂。1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。2.3运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a22abb2(ab)2；2、概括整合：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止。1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式。2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。例如：ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)2xy-x2+1-y2=-(x2-2xy+y2)+1=1-(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y)借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解。这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）ax2+bx+c(a0)型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果: ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式。例如：x2-2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解x2-2=x2-（2）2=（x+2）（x-2）因式分解的应用1、利用因式分解解决求值问题。2、利用因式分解解决证明问题。3、利用因式分解简化计算问题。3分式3.1分式（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0 。（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用。（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是A/B的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简。（5）分式是一种表达形式，如（x+1）/（x+2）是分式，如果形式都不是A/B的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）-2，y-1，则为分式，因为y-1=1/y仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式。（1）分式有意义的条件是分母不等于零。（2）分式无意义的条件是分母等于零。（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同时大于零。（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。注意：“分母不为零”这个条件不能少。分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径。（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变。（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定。分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式。当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面。约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式。（3）规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分。（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。（2）通分的关键是确定最简公分母。最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数。最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积。（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式。最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。和分数不能化简一样，叫最简分数。（1）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 （2）一般方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里。 如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂。（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。 （2）列代数式五点注意：仔细辨别词义。 分清数量关系。注意运算顺序。 规范书写格式。正确进行代换。注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替3.2分式的乘除法（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方。（4）分式的乘、除、乘方混合运算。运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”。（5）规律方法总结：分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算,当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解,再约分。 整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式。做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序。3.3分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减。（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减。 说明:分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘。 通分是和约分是相反的一种变换。约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式。约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的。（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的。（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式。（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算。先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简。化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式。3.4分式方程分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数。求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解。注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解。（1）解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论。（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解。将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解。所以解分式方程时，一定要检验。1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根。（2）增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根。由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系。（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等。（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路。1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答。必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等。2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程/时间；工作量问题：工作效率=工作量/工作时间等等。列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力。4相似图形4.1线段的比（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项（2）常用的性质有：内项之积等于外项之积若 a/b=c/d，则ad=bc合比性质若 a/b=c/d，则a+b/b=c+d/d分比性质若 a/b=c/d，则a-b/b=c-d/d合分比性质若 a/b=c/d，则 a+b/a-b=c+d/c-d等比性质若 a/b=c/d=m/n（b+d+n0），则a+c+m/b+d+n=m/n（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系4.2黄金分割（1）黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB/AC=AC/BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点其中AC=5-1/2AB0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值黄金三角形分两种：等腰三角形，两个底角为72，顶角为36这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：5-1/2；等腰三角形，两个底角为36，顶角为108；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：5-1/2（3）黄金矩形：黄金矩形的长宽之比确切值为5-1/2（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例（2）定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边（3）定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例4.3形状相同的图形（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似形（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同；两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况（3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形4.4相似多边形4.5相似三角形相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方4.6探索三角形相似的条件（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可（1）射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项（2）RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：AD2=BDDC；AB2=BDBC；AC2=CDBC4.7测量旗杆的高度（1）利用影长测量物体的高度测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度（3）借助标杆或直尺测量物体的高度利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图如图所示：（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形4.8相似多边形的性质（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形（2）相似多边形对应边的比叫做相似比（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形（4）相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等4.9图形的放大与缩小（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（2）位似图形与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k（1）画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小（2）注意：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的 5数据的收集与处理5.1每天干家务活的时间1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查。2、全面调查与抽样调查的优缺点：全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查。抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度。3、如何选择调查方法要根据具体情况而定。一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查。其一，调查者能力有限， 不能进行普查。如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查。其二，调查过程带有破坏性。如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查， 而不能将整批灯泡全部用于实验。其三，有些被调查的对象无法进行普查。如：某一天， 全国人均讲话的次数， 便无法进行普查。（1）定义 总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体； 个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体； 样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本； 样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量。（2）关于样本容量 样本容量只是个数字，没有单位。用样本估计总体是统计的基本思想 1、用样本的频率分布估计总体分布 ：从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差）。一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确5.2 数据的收集（1）在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况。（2）统计图通常有条形统计图，扇形统计图，折线统计图。（3）设计调查问卷分以下三步：确定调查目的；选择调查对象；设计调查问题。（4）统计调查的一般过程：问卷调查法-收集数据；列统计表-整理数据；画统计图-描述数据。（1）抽样调查是实际中经常采用的调查方式。（2）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况。（3）抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面调查的情况（如具有破坏性的调查）。（4）分层抽样获取的样本与直接进行简单的随机抽样相比一般能更好地反映总体。其特点是：通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本，该方法适用于总体情况复杂，各单位之间差异较大，单位较多的情况。统计表可以将大量数据的分类结果清晰，一目了然地表达出来。统计调查所得的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成“统计表”。统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格。 统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式。5.3 频数与频率(1)频数是指每个对象出现的次数。(2)频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）。即频率=频数/数据总数一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率。频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量。1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组， 分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表。2、列频率分布表的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差 （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成512组） （3）将数据分组 （4）列频率分布表画频率分布直方图的步骤：（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成512组）（3）确定分点，将数据分组（4）列频率分布表。（5）绘制频率分布直方图 注：频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积组距频数组距 频率。各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1。频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势。从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容。一般利用直方图画频数分布折线图，在频数分布直方图中，把每个小长方形上面的一条边的中点顺次连接起来，得到频数折线图。注意：折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势。5.4数据的波动（1）极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。极差=最大值 - 最小值。（2）极差是刻画数据离散程度的一个统计量。它只能反映数据的波动范围，不能衡量每个数据的变化情况。（3）极差的优势在于计算简单，但它受极端值的影响较大。（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：s2=1/n（x1-x）2+（x2-x）2+.+（xn-x）2（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量。方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。（1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度公式：s=s2=1/n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2（2）标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标。标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作。以如图的计算器为例说明：首先，按2ndf键，再按on/c（清零）键，即进入统计状态，右上角有stat显示。接着，进入数据输入存储状态，输入一个数据后按M+键，即对数据进行储存，可显示1，表示输入了第一个数据，依次再输入，显示2，为第二个数据。数据输入完成后，就可进行计算，按2ndf，再按RM，即显示为平均值，其他同此。先按2ndf键再按其他键，表示选择的是该键上方的功能。（1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。但这并不是绝对的，有时多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值。从而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小。（2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：数据的平均数、众数、中位数