数列求和与数列的综合应用

4.4 数列求和与数列的综合应用 知识梳理 t57301p 2 1.特殊数列的求和公式： ( 1 )1 2 32nnn L21 3 5 ( 2 1 )nn L2 4 6 2 ( 1 )n n n LL2 2 2 2( 1 ) ( 2 1 )1 2 36n n nn+ + + + =L3 3 3 3 2( 1 )1 2 3 2nnn+ + + + =0 1 2 2nnn n n nC C C C+ + + + =L2.数列的求和方法： （ 1）公式法： 若 an为等差数列或等比数列，则求数列 an的前 n项和用公式法 . （ 2）分组法： 若 an为等差数列， bn等比数列，则求数列 an bn的前 n项和用分组法 . （ 3）裂项法： 若 an为等差数列，则求数列 的前 n项和用裂项法 . 11nnaa 若 an为等差数列， bn等比数列，则求数列 anbn的前 n项和用错位相减法 . （ 4）错位相减法： （ 5）倒序相加法： 若 a1 an a2 an 1 a3 an 2 ，则求数列 an的前 n项和用倒序相加法 . （ 6）归纳法： 计算 S1， S2， S3 猜测 Sn的一般表达式 用数学归纳法证明猜想 . 考点分析 考点 1 求特定数列的和 例 1 求下列数列的各项之和： 1 1 2 1 2 3 1 2, , , , , , , , , , .2 3 3 4 4 4 1 1 1nn n n LL（ 1） （ 2） 1， 3， 5， 7， ， . ( 1 ) ( 2 1 )n n1 1 1, , , .1 2 3 2 3 4 ( 1 ) ( 2 )n n n L（ 3） （ 4） 1， 2 3， 3 7， ， . ( 2 1 )nn 【 解题要点 】 改造数列结构 选择适当方法 化简结论 . .)13(,7,4, 210 nnnnn CnCCC （ 5） 考点 2 数列背景下的求和问题 例 2 已知函数 f(x) x2 x 1， ， 是方程 f(x) 0的两根 ( )， f(x)是f(x)的导数，数列 an满足 a1 1， （ 1）证明：对任意正整数 n都有 an ; （ 2）记 ，求数列 bn的前 n项 和 Sn. 1()( * ) .()nnnnfaa a n Nfa ln nnnaba 例 3 对于数列 an，定义 an为数列 an的一阶差分数列，其中 an an 1 an(n N*). （ 1）若数列 an的通项公式是 求数列 an的通项公式； （ 2）若数列 an的首项为 1，且 anan 2n，求数列 an的前 n项和 Sn. 25 1 322na n n 例 4 设数列 an的前 n项和为 Sn， t 0为常数，已知 a1 1， .（ n2) （ 1）求证：数列 an是等比数列； （ 2）设数列 an的公比为 f(t)， b1 1, ，求数列 的前 2n项和 S2n. 13 ( 2 3 ) 3nnt S t S t 11( ) ( 2 )nnb f nb 1 1( 1 ) n nnbb 【 解题要点 】 变形递推关系 分析数列特征 选择求和方法 . 考点 3 证明与和式有关的不等式 例 5（ 07浙江卷）已知数列 an的相邻两项 是关于 x的方程 (kN *)的两根，且 . （ 1）求数列 an的前 2n项和 S2n； ， 求证： . 2 1 2,kkaa2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k 2 1 2kkaa 1 | sin |( ) ( 3 ) ,2 sinnfnn( 2 ) ( 3 ) ( 1 )1 2 3 4 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )f f f nnnnTa a a a a a L156 24nT（ 2）记 例 6（ 08湖南卷）已知数列 an满足： a1 1， a2 2， (nN *). （ 1）求 a3， a4及数列 an的通项公式； （ 2）设 ， ， 证明：当 n6 时， . 222 ( 1 c o s ) s in22nnnnaa 212nnnaba 12nnS b b b L1| 2 |nSn【 解题要点 】 先求和再证不等式 放缩求和推出不等式 . 考点 4 与和式有关的应用性问题 例 7（ 07安徽卷）某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d(d 0)，因此，历年所交纳的储备金数目 a1， a2， ，是一个公差为 d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利 .这就是说，如果固定年利率为 r(r 0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为 ，第二年所交纳的储备金就变为 ， 以 Tn表示到第 n年末所累计的储备金总额 （ 1）写出 Tn与 Tn 1(n2) 的递推关系式； （ 2）求证： Tn An Bn，其中 An是一个等比数列，Bn是一个等差数列 11 (1 )nar 22 (1 )nar 例 8 某商场在今年四月份销售一种新款时装， 4月 1日该款时装销售出 20件，第二天销售出 35件，第三天销售出 50件，以后每天销售该款时装的件数都比前一天增加 15件，直至日销售量达到最大 . 然后每天销售该款时装的件数都比前一天减少 10件，到月底该商场共销售出这款时装 2850件 . （ 1）该商场在哪一天销售这款时装的日销售量最大？其最大值是多少？ （ 2）以往销售规律表明，当该商