高考数学一轮复习 参数方程课件 文 新人教A版选修41.ppt

第二节参数方程 知识梳理 1 曲线的参数方程一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值 由这个方程组所确定的点m x y 都在这条曲线上 那么这个方程组就叫做这条曲线的 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程f x y 0叫做 方程 参数方程 参数 普通 2 直线 圆与椭圆的普通方程和参数方程 小题快练 1 2014 北京高考 曲线 为参数 的对称中心 a 在直线y 2x上b 在直线y 2x上c 在直线y x 1上d 在直线y x 1上 解析 选b 由得所以 x 1 2 y 2 2 1 曲线是以 1 2 为圆心 1为半径的圆 所以对称中心为 1 2 在直线y 2x上 2 2015 佛山模拟 已知直线l的参数方程为 t为参数 圆c的极坐标方程为 2sin 则直线l与圆c的位置关系为 a 相离b 相切c 相交d 由参数确定 解析 选c 将直线的参数方程 t为参数 化为普通方程 得2x y 1 0 将圆c的极坐标方程 2sin 化为直角坐标方程 得x2 y2 2y 0 即x2 y 2 2 圆心到直线的距离为d r 所以直线l与圆c相交 3 2015 潮州模拟 以直角坐标系的原点为极点 x轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系 在两种坐标系中取相同的单位长度 点a的极坐标为曲线c 为参数 则曲线c上的点b与点a距离的最大值为 解析 由点a的极坐标为得直角坐标为a 2 2 曲线c 为参数 的直角坐标方程为 x 2 2 y 2 2 1 圆心 2 2 与点a 2 2 的距离为4 所以点a在圆的外部 则圆c上的点b与点a距离的最大值为5 答案 5 4 2015 黄冈模拟 在直角坐标系xoy中 曲线c1的参数方程是以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线c2的极坐标方程是则两曲线交点间的距离是 解析 将曲线c1的参数方程化为普通方程 得x2 y2 4 将曲线c2的极坐标方程 1化为直角坐标方程 得y x 2 代入x2 y2 4 得x2 2x 0 解得 即两曲线交点的坐标分别为a 0 2 b 2 4 所以两曲线交点间的距离是 ab 答案 4 考点1直线的参数方程与应用 典例1 已知经过点p 1 2 倾斜角为的直线l与曲线 3相交于a b两点 求 pa pb 解题提示 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程 利用直线参数方程参数的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算 规范解答 直线l的参数方程为 t为参数 代入圆的直角坐标方程x2 y2 9 整理 得t2 t 4 0 设点a b对应的参数分别是t1 t2 则t1 t2 4 所以 pa pb t1t2 4 互动探究 若本例条件不变 如何求 ab 解析 由题意可知 设点a b对应的参数分别是t1 t2 则t1 t2 t1t2 4 ab t1 t2 规律方法 直线的参数方程在交点问题中的应用已知直线l经过点m0 x0 y0 倾斜角为 点m x y 为l上任意一点 则直线l的参数方程为 t为参数 1 若m1 m2是直线l上的两个点 对应的参数分别为t1 t2 则 2 若线段m1m2的中点为m3 点m1 m2 m3对应的参数分别为t1 t2 t3 则t3 3 若直线l上的线段m1m2的中点为m0 x0 y0 则t1 t2 0 t1t2 0 直线的参数方程中参数的几何意义已知直线l经过点m0 x0 y0 倾斜角为 点m x y 为直线l上任意一点 如图 设e是直线l的单位方向向量 得e cos sin 设 te 显然有 x x0 y y0 tcos tsin 所以直线l的参数方程为 t为参数 由 te 得 te t 所以参数t的几何意义是有向线段的数量 长度 方向 当t 0时 点m在点m0的上方 当t 0时 点m与点m0重合 当t0时 点m在点m0的右侧 当t 0时 点m与点m0重合 当t 0时 点m在点m0的左侧 变式训练 2015 冀州模拟 已知抛物线c y2 4a x a a 0 过原点o的直线l与c交于a b两点 1 求 oa ob 的最小值 2 求的值 解析 1 设直线l的参数方程为 t为参数 与抛物线方程y2 4a x a a 0 联立 得t2sin2 4atcos 4a2 0 所以t1 t2 t1t2 得 oa ob t1t2 4a2 所以 oa ob 的最小值为4a2 2 加固训练 2015 随州模拟 已知直线l的参数方程为 t为参数 求直线l的斜率 解析 由直线l的参数方程 t为参数 得所以直线l的斜率为 考点2圆的参数方程与应用 典例2 2015 龙岩模拟 已知在平面直角坐标系xoy中 圆m的方程为 x 4 2 y2 1 以原点o为极点 以x轴正半轴为极轴 且与直角坐标系取相同的单位长度 建立极坐标系 直线l的极坐标方程为 1 求直线l的直角坐标方程和圆m的参数方程 2 求圆m上的点到直线l的距离的最小值 解题提示 1 由三角变换公式将直线的极坐标方程化为直角坐标方程 由三角代换公式求出圆的参数方程 2 由圆的参数方程转化为三角函数求最小值 规范解答 1 由得所以即x y 1 0 设所以所以直线l的直角坐标方程为x y 1 0 圆m的参数方程为 为参数 2 设m 4 cos sin 则点m到直线l的距离为d 所以当 1即 2k k z 时 dmin 所以圆m上的点到直线l的距离的最小值为 规律方法 1 利用圆的参数方程求最值的技巧 1 解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题 通常可以转化为点与圆 直线与圆的位置关系 2 求距离的问题 通过设圆的参数方程 就转化为求三角函数的值域问题 2 辅助角公式在求最值中的应用辅助角公式asin bcos sin 其中sin cos 或者tan a 0 且角 的终边经过点 a b 借助其可求含参数的最值问题 变式训练 2015 新乡模拟 已知在直角坐标系xoy中 直线l的参数方程为 t为参数 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线c的极坐标方程为 2 4 cos 3 0 1 求直线l的普通方程和曲线c的直角坐标方程 2 设点p是曲线c上的一个动点 求它到直线l的距离d的取值范围 解析 1 直线l的普通方程为x y 3 0 曲线c的直角坐标方程为 x 2 2 y2 1 2 设点p 2 cos sin r 则d 所以d的取值范围是 加固训练 2014 惠州模拟 已知在平面直角坐标系xoy中 圆c的参数方程为 为参数 以ox为极轴建立极坐标系 直线的极坐标方程为 0 求圆c截直线所得的弦长 解析 圆c 为参数 的普通方程为 x 2 y 1 2 9 表示以点 1 为圆心 以3为半径的圆 将直线 0的方程化为直角坐标方程为x y 0 圆心 1 到直线x y 0的距离d 1 故圆c截直线所得弦长为 考点3椭圆的参数方程 典例3 已知曲线c的参数方程是 为参数 a 0 直线l的参数方程是 t为参数 曲线c与直线l有一个公共点在x轴上 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求曲线c的普通方程 2 若点a 1 在曲线c上 求的值 解题提示 将直线与曲线的参数方程化为普通方程 利用三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式计算 规范解答 1 由直线l的参数方程 t为参数 得普通方程为x y 2 又曲线c 为参数 a 0 的普通方程为 1 由于直线x y 2与曲线的一个公共点在x轴上 得 2 0 在曲线上 得a2 4 所以曲线c的普通方程为 1 2 因为点a 1 在曲线上 即点a 1cos 1sin 依题意 得 1 得 同理 得所以 规律方法 圆锥曲线的参数方程 1 圆与椭圆的参数方程的异同点 圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换 有关圆或椭圆上的动点距离的最大值 最小值以及取值范围的问题 通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值 最小值求解 圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同 圆的参数方程中的参数是圆心角 椭圆的参数方程中的参数是离心角 只有椭圆上的点在坐标轴上时 离心角才等于圆心角 2 双曲线与抛物线的参数方程形式不唯一 通常消去参数转化为普通方程解决 变式训练 2015 平顶山模拟 已知平面直角坐标系xoy 以o为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 p点的极坐标为曲线c的极坐标方程为 2 2 sin 1 1 写出点p的直角坐标及曲线c的普通方程 2 若q为曲线c上的动点 求pq中点m到直线 t为参数 距离的最小值 解析 1 由p点的极坐标 得直角坐标为曲线c 2 2 sin 1的普通方程为x2 y2 2y 1 标准方程为x2 y 2 4 2 直线 t为参数 的普通方程为x 2y 7 0 圆x2 y 2 4的参数方程为 为参数 则pq中点m的坐标为即则点m到直线的距离为所以pq中点m到直线的距离的最小值为 加固训练 在直角坐标系xoy中 已知点p 0 曲线c的参数方程为 为参数 以原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线l的极坐标方程为 1 判断点p与直线l的