§93三重积分的计算.doc

9.3三重积分的计算9.31直角坐标系中三重积分的计算一、三重积分的定义 设是空间有界闭区域的有界函数， 任意分成小闭区域，其中表示第小闭区域，也表示它的体积。，作和式，若极限存在，且极限值与分法、的取法无关，则称在上可积，并称此极限值为在上的三重积分，记作 ，即 ，其中称为体积元素。 当在闭区域连续时，在的三重积分必定存在。今后总假定在闭区域连续。 如果表示某物体在点处的密度，该物体所占有的空间闭区域，在连续，则是该物体质量的近似值， 。注1， 称为直角坐标系下的体积元素。 2（）。二、三重积分的计算化为三次积分 设平行于且穿过闭区域的直线与的边界曲面的交点不多于两个，把投影到面上，得投影区域，以的边界为准线作z母线平行于的柱面，这柱面与的交线把分成上、下两部分： ：；：， 且。过内任一点作平行于的直线，此直线与的交点的纵坐标为和。 先将看作定值，将只看作函数，在区间上对，积分的结果是的函数，记为，即 ，然后计算在闭区域上的二重积分， ，即先对积分（先一后二法 ）。假如闭区域可用不等式，来表示，把二重积分化为二次积分，则三重积分的计算公式为 。 式是先对，次对，最后对的三次积分。注1 若平行于的直线与的交点不多于两个，则同样可把投影 到面（面）上，得到先对（）的积分。 2若平行于坐标轴的直线与的交点多于两个，则可把分成几块处理。 3计算三重积分也可化为先计算一个二重积分，再计算一个定积分（先二后 一法） 设空间闭区域，其中是竖坐标为的平面截闭区域所得的平面闭区域，则有 。例1把三重积分化为各种次序的三次积分，其中是由平面及锥面所围成的立体。解：先对 ：。 ， 或； 先对：，。由解得， ， 或； 先对：，。由解得， ， 。例2计算三重积分，其中为三个坐标 平面及平面所围成的闭区域。解：将投影到面上，得投影区域 ：， 。例3计算三重积分，其中是由椭球面所围成的空间闭区域。解：空间闭区域可表示为， 。分析：被积函数中缺变量，用平行于平面去截，其截面是椭圆。故用“先二后一法”。932三重积分的一般换元法则 定理：设（1）变换T：，把区域一对一的变为； （2）上面变换中的函数在区域具有连续偏导数； （3），则。 当行列式在区域的个别点或某条曲线、某张曲面上等于零而在其它点不等于零时，三元积分的换元公式仍成立。932柱面坐标系下三重积分的计算 设为空间内一点，并设点在面上的投影的极坐标为，则称三元有序数组是点的柱面坐标，其中的取值范围规定为： ，。 三组坐标面分别为： ，即以为轴的圆柱面； ，即过的半平面； ，即与面平行的平面。 显然：。 。例4计算，其中是由曲面及所围成的闭 区域。解：由方程组得两曲面的交线为 ， 从而在平面上的投影区域为。 在柱面坐标下， 。例5计算，其中由与所围成 的区域。解：由方程组得两曲面的交线为， 从而在平面上的投影区域为， 在柱面坐标下，积分区域关于平面、平面对称，而被 积函数 分别关于 变量奇函数，。 例6一形体 ，和圆柱面所围成，已知其上任一点的密度与该点到成正比，求其。解：密度函数，则 。从而在平面上的投影区域为， 在柱面坐标下， 。933球面坐标系下三重积分的计算 设空间一点的直角坐标为，从点向平面引垂线，垂足为，令，设与正向的夹角为，与正向的夹角为，则称三元有序数组是点的球面坐标，其中的取值范围规定为： ，。 三组坐标面分别为： ，即以原点为心的球面； ，即以原点为顶点，为轴的圆锥面； ，即过的半平面。 。 。 。例7计算三重积分，其中是由圆锥面与上 半球面所围成的区域。解：在球面坐标系下，圆锥面化为， 上半球面化为， 。 。例8计算三重积分，其中由曲面与 所围成的闭区域。解：在球面坐标系下，曲面化为平面化为， 。例9求椭球体的体积。解：作广义球面坐标变换：， 在广义球面坐标变换下对应于 ， 。小 结：（1）若积分区域或被积函数的表达式中含有因子，一般用柱面坐标计算三重积分； 若积分区域或被积函数为的表达式中含有因子，一 般 用球面坐标计算三重积分； 若积分区域的