Maple在有限差分法解二维电势边值问题的应用探讨.doc

第 17 卷第 3 期1 9 9 8 年3 月大 学 物 理COLL E GE P H YSICSVol . 17 No . 3Mar . 1998Ma ple 在有限差分法解二维电势边值问题的应用探讨郭冰莹(广州师范学院物理系 ,广州 510400) 摘 要 用 Maple 计算机代数系统求解典型的二维电势边值问题 ,并探讨了借助 Maple 实行大学物理教材教学改革的诱人前景 .关键词分类号Maple ; CA I ;二维电势边值问题 ;有限差分法O 441 . 1值问题进行求解 ,并把结果绘制成电势分布的三维图象 . 特别是把程序编制成收敛因子的函数 ,动态求得收 敛因子的最优值 .1 引言二维电势的边值问题是静态场的基本课题 , 是场模型实验模拟法的理论依据 . 由于要求拉普拉斯方程 在给定的边界条件下的解 ,而电势边值问题的解析法 求解 ,只有对一些特殊对称的边界才是可行的. 在许多 实际问题中 ,往往由于边界条件过于复杂而无法求得 解析解 ,这时一般要借助数值法求得电势的数值解 . 随 着计算机应用技术的发展 ,数值法求解已经成为行之 有效的方法 ,原则上 ,解答可以达到任意需要的精度. 有限差分法是一种比较容易应用的数值解法 . 本文介 绍有限差分法求解二维电势边值问题中 Maple 计算机 代数系统的应用 .Maple 计算机代数系统是科学计算领域当今流行 颇广的工具软件 ,它在符号处理 、数值计算与图象绘制 诸方面功能较全面 ,具有丰富的库函数和灵活的编程 语言 ,所以在科学研究和教学实践中越来越为广大的 科学工作者所采用 . 代表世界领先水平的美国伦塞勒 工业大学 ( Rensselaer Polytechnic Instit ute) 的物理教学 改革项目 St udio Physics (意为“电子教室物理”) 1 所开 创的 CA I 课件编写系统 CU PL E ( Co mp rehensive U nified Physics L earning Eviro nment , 综 合 一 体 化 物 理 学 习 环 境) 2 ,其中指定的第一个教学工具就是 Maple. 与直接 使用高级语言编程计算比较 ,使用 Maple 能省时省力 , 改善效果 . 本文用 Maple 对拉普拉斯方程各类典型边2 拉普拉斯方程二维边值问题的有限差分法有限差分法首先要将求解的区域划分为网格 , 把电势的连续分布化为网格节点上的离散数值解 . 为了 达到一定的精度 ,网格要划分得足够细 . 采用正方形网 格的划分法 ,如图 1 所示. 我们借助 Maple 二维泰勒级 数展开函数 mtaylor 进行分析 ,容易得到电势满足的差图 1分方程 ,并采用矩阵元的标记 1ij = (i - 1 , j + i , j - 1 + i + 1 , j + i , j + 1 )( 1)4因此 , 只要任意设定各点电势的初值 , 则可以用迭代法不断更新各点电势的值 , 直到满足所要求的精度为止 . 注意计算机对变量赋值的自动更新的功能 , 在每次的 迭代计算中 , 左边和下边两点的值都是取刚刚求得的 广东省面向 21 世纪“九五”规划 1352 工程教材编著项目 “: Maple 支持下的电动力学”收稿日期 :1997 - 02 - 13 ;修回日期 :1997 - 10 - 07值 ,使收敛速度加快 , 这称为松弛法 . 为了进一步加快收敛速度 , 把各点电势写成增量的形式并引入收敛因 子 , 则例 5 是导电纸模拟实验中制备的二维恒定电流场i , j = i , j + 1 (i - 1 , j + i , j - 1 + i + 1 , j +4i , j + 1 - 4i , j )(= 1 2)( 2)即我们给予每点电势的增量 , 超过使方程达到局部平衡的增量 , 从 而 加 快 收 敛 速 度. 收 敛 因 子 有 一 个 最 优 值 , 使得收敛最快 , 但是收敛因子的确定是一个复杂的 问题.3 一些特例图 3模型 ( 如图 5 所示) , A B 边上是第一类边界条件 , A C 、1) 第一类边界条件 , 给出边界上电势的值| S = fB D 边上满足的是齐次第二类边界条件 , B C 是两种导电媒体的分界面 . 这里二维电势的边值问题是( 3)例 1 、例 2 、例 3 的开 口 导 电 盒 ( 如 图 2 ( a) 、( b) 、( c) 所示) 和例 4 的同心回形导电槽 ( 如图 2 ( d) 所示) 中的电 势都属于这种情况 .52 521 15 x 2 + 5 y2= 0522 5225 x 2 + 5 y2= 01= U 0 ,2= 0A BC D515 n525 n= 0 ,= 0A CB D1= 2B CB C511 5 n52= 2 5 nB CB C 取 刚普图 2程序运行时间与网点数 、要求达到的精度 、收敛因子和电势初始值的设定有关. 例 1 、例 2 和例 3 的网点 数取为 25 25 ,例 4 的网点数取为 28 28 ,各例的精 度设为 10 - 5 ,区域内电势的初值设为非零的小值 ,运行 的程序编制成收敛因子的函数 . 图 3 与图 4 分别为程给出了结果的图示 .图 5图 64 讨论1) 用 Maple 编写的程序简单明了 ,特别是可以直接调用库函数 plot s mat rix plot , 把迭代结果描绘为电 势分布的三维图像 ,省时省力. 以上各例 , 程序运行只 需十几秒 . 还可以利用 Maple 作图窗口的功能 ,随意调 节视角 ,观察图像的各个侧面 .2) 例 4 中根据问题的对称性 ,采用了 Maple 的对 称矩阵的定义 ,使需要计算的网点数减少一半 ,有效地 提高了效率 . 本例中需要计算的是图 2 ( d) 中阴影部分 的网点 , 顺 便 一 提 , 不 能 把 迭 代 网 点 的 范 围 缩 小 为 aA Ee , 因为这相当于人为地把 aA 和 e E 当作边界 , 结 果得出的是畸变了的图像 4 , 这与原问题的边界条件是 不相符的 .3) 电势初值的设定对迭代收敛的快慢 有 一 定 的 影响 , 一般来说 , 把电势设定为由低到高递增的分布 , 可以加快迭代收敛的速度 . 但在例 1 到例 4 中 , 这个影 响不明显 , 这是由于对于这几例的边界条件来说 , 电势 的下降较急速 , 把电势初值设定为非零的小值 , 反而能 加快收敛 . 例 5 中则把电势初值设定为随 j 递增的分 布 , 有效地加快了收敛速度 . 正是 Maple 省时省力的特 点 ,使有可能对此进行试探研究 .4) 迭代收敛的速度对收敛因子的选取很敏感 ,但 收敛因子的确定是一个复杂的问题 ,一般是根据场域 网格的划分情况 ,参照经验公式估算 . 这里把程序设计( 下转 43 页)开口导电盒中的电势 ( 3)图 4其极为广泛的实际应用了 . 量子力学的前面一部分也与普通物理光学和原子物理学有不少重复之处 . 特别 是目前普 通 物 理 原 子 物 理 学 存 在 两 种 很 不 相 同 的 倾 向 , 一种倾向是仍用相当多的篇幅在旧量子论的范围 内兜圈子 , 例如椭圆轨道 、相对论修正 、空间量子化等 , 但所得结果又与随后就引入的量子力学结论不同 , 不 仅讲解起来十分费口舌 , 并且给学生形成先入为主的 错误观念 , 再行扭转和纠正 , 往往令学生不知所措 , 对 为何明知错误的内容还要先讲然后加以纠正的做法感 到十分困惑不解. 另一种倾向是将普通物理原子物理 学完全以量子力学作为理论基础 , 使学生学习起来感 到难度很大 , 并且与量子力学的重复部分更加增多了 .迄今为 止 , 在 全 世 界 的 范 围 内 , 各 行 各 业 一 致 公 认 , 物理学是 20 世纪的领先学科 ( 或者说 20 世纪是物 理学的世纪) , 并且仍将是 21 世纪几项主要科学技术 (信息科学 、材料科学 、生命科学 、能源科学 、环境科学 和空间科学) 的共同基础 . 但是 , 多数高等院校物理系 (专业) 毕业生却往往对此毫无感受 , 这确实不能不说 是大学物理教学 、特别是理论物理教学的严重缺陷 .确化 , 并在可能的范围内“封住”普通物理所开的窗口 ,以便与普通物理能够真正实现“对接”. 在方法方面 , 普 通物理应该尽量从实验及生产和生活实践出发 , 运用 归纳的方法定义概念 , 总结规律 ; 而理论物理则应该尽 量做到从最普遍的基本原理出发 , 运用演绎的方法导 出实验规律 , 并在可能的范围内指导实验和生产实践 , 以便真正能够培养学生运用物理理论解决一些典型实 际问题的方法和能力 .据此 , 我们建议 , 将现有的“四大力学”改变为经典 物理学 ( 主要包括分析力学和电动力学 , 但不包括热力 学) 、量子 物 理 学 和 统 计 物 理 学 ( 包 括 热 力 学) 三 门 课 程 . 有鉴于近年来统计物理学的发展十分迅速 , 并且应 用范围也非常广泛 , 因此将统计物理学安排在量子力 学之后 , 这样才有可能真正解决一些典型的实际问题 , 并尽量减少与普通物理相应课程内容的重复 . 例如 , 经 典物理学分别以分析力学和麦克斯韦方程组作为出发 点 , 导出牛顿运动定律和电磁学中的各个实验定律 ; 统 计物理学以量子统计作为出发点 , 不仅可以导出经典 统计的结论 , 还可导出热力学的基本规律 .我们设想 , 将整个理论物理课程建立在守恒定律 和对称性的基础之上 , 并且以能量的观点作为红线 , 通 过拉格朗日表述和哈密顿表述贯穿始终 . 这样 , 不仅可 以大大提高起点 , 还可以达到更高的终点 , 例如密度矩 阵 、二次量子化 、格林函数和关联函数等 . 为物理系 ( 专 业) 本科毕业生以后进一步升学深造和参与前沿研究 奠定初步的基础 .3 改革的建议理论物理和普通物理之间有少量的“搭接”是必要的和应该的 , 并且也是可以接受的 ; 但是我们更坚持认 为 , 二者之间应有相当明确的区别和分工. 具体地说 , 在内容方面 , 普通物理应该尽量做到广泛化和现代化 , 并可开“窗口”和设“接口”, 包括对新现象和新规律进 行简略介绍 ; 而理论物理则应该尽量做到系统化和精( 上接 46 页)为收敛因子的函数 . Maple 省时的功能使得可以对收敛 因子进行动态调试 ,从而求得收敛因子的最优值 . 如我 们使用一般的 586 - 133 微机 ( 16M 内存) , 求得例 2 收 敛因子的最优值是 1 . 77 ,迭代次数为 52 ,运行时间为 16 s ;例 4 收敛因子的最优值是 1 . 67 ,运行时间为 8 s ,迭代 次数为 42 ;例 5 收敛因子的最优值是 1 . 94 ,运行时间为18 s ,迭代次数为 92 .用 Maple 进行大学物理教材与教法的改革 ,前景光 明 ,很