高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念教材习题点拨 北师大版选修2-2.DOC

高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念教材习题点拨 北师大版选修2-2练习1(p76)解:(1)如图所示:（2）将区间0，1分成10等份，每一等份的长度为x=0.1.过剩估计值s1=(+1)0.10.710 5,不足估计值s1=(+)0.10.610 5,过剩估计值与不足估计值之差为s1-s10.710 5-0.610 5=0.1,所以,估计值误差不超过0.1.练习2(p81)解:将区间0,5分成10等份,每一等份的长度为0.5.过剩估计值s1=(200.5+201+201.5+204.5+205)0.5=275,不足估计值s1=(200+200.5+201+204.5)0.5=225,过剩估计值与不足估计值之差为s1-s1=275-225=50,所以,估计误差不超过50.练习(p80)解:(1)如图a中阴影部分所示;(2)如图b中阴影部分所示;(3)如图c中阴影部分所示. a b c思路分析:(1)曲边梯形面积由曲线y=x2,x=1和x轴围成;(2)曲边梯形面积由曲线y=lnx,x=2和x轴围成;(3)曲边梯形面积由曲线y=ex,x=-1和x轴、y轴围成.习题41(p80)a组1.解:图中将区间0,10等分成10等份,每个小区间的长度为x=1,过剩估计值s1=(1+2+2.6+3+2.8+2.3+2+2.5+3.5+5)1=26.7,不足估计值s1=(0+1+2+2.6+3+2.8+2.3+2+2.5+3.5)1=21.7,过剩估计值与不足估计值之差为s1-s1=26.7-21.7=5,所以,估计值误差不超过5.要得到估计误差不超过1的估计值,就需要把曲线分成更多的等份.思路分析:利用估算曲边梯形面积的方法进行估计.2.解:(1)在开始的半小时内,路程的过剩估计值为s1=(19+17)=9(km),不足估计值s1=(17+16)=8.25(km).估计值之差为s1-s1=9-8.25=0.75(km).所以,估计值误差不超过0.75 km.(2)(1)全程的过剩估计值为s1=(19+17+16+16+13+10)=22.75(km),不足估计值s1=(17+16+16+13+10+0)=18(km).估计值之差为s1-s1=22.75-18=4.75(km).所以,估计值误差不超过4.75 km.3.解:将010 m分成10等份,每等份长度为x=1 m,在路程为0,1 m,2 m,10 m时对应的力的大小为:路程x(m)012345678910力f(n)1过剩估计值为s1=（1+)12.93(nm),不足估计值s1=(+)12.02(nm),估计值之差为s1-s12.93-2.02=0.91(nm).所以,估计值误差不超过0.91 nm.4.解:(1)如图a所示;(2)如图b所示. a b思路分析:(1)曲边梯形由曲线y=ex,x=1,x=3和x轴围成;(2)曲边梯形由曲线y=x2+2x,x=1和x轴围成.5.解:(1)如图所示:积分2xdx的值实际上就是图中y=2x,x=1,x=2和x轴围成的梯形的面积.当x=1时,y=2;当x=2时,y=4.2xdx=(2+4)1=3(2)如图所示:积分dx的值实际上就是图中y=,y轴和x轴围成的圆的面积.dx=22=.6.解:(1)(ex+1)dx=exdx+1dx=e+(1-0)=e+1;(2)(2ex-x2)dx=2exdx-x2dx=2e-.b组1.解:如图所示:|x|dx的值实际上就是图中阴影部分的面积,所以,|x|dx=11+11=1.2.解:如图所示,图a中的阴影部分的面积就是抛物线y=和x轴围成的平面图形的面积s1;图b中的阴影部分的面积就是抛物线y=x2-1和x轴围成的平面图形的面积s2. 图a 图bs1和定积分(x2-1)dx互为相反数,s2和定积分(x2-1)dx相等.sts浅谈微积分(一) 17世纪以来微积分学发展成为数学的一大分支,它曾和几何学、代数学并列为数学中的三个主要分支,并从18世纪以来相对独立地得到很大的发展,曾经被认为是数学的一个最大分支. 牛顿首先把微积分学称为分析学,独立于几何学.他在1669年把他自己在微积分学方面的主要工作写成一篇题为运用无穷多项方程的分析学的小册子,把无穷级数也纳入了分析学的范围. 微积分的萌芽思想,还可以追溯得更远.中国古代的数学家刘徽(公元3世纪)的割圆术和其后祖冲之关于圆周率的工作是值得提出的.刘徽首先肯定圆内接正多边形的面积小于圆的面积.刘徽在他的割圆术中说道:“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”在这一特殊问题上,刘徽反映的极限思想比上述巴罗运用特征三角形求曲线切线的斜率时所隐含的极限思想要更为明确.刘徽所说的“割之弥细,所失弥少”表达了圆面积与内接正多边形面积之差是一个单调减少的正的序列.他的后两句话表示当边数无限增加时,这个序列的极限为零,即他所说的“无所失