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长度之和必不小于第三边的长度。进而还有，第三边的长度不小于其余两边长度之差，即。事实上，利用三角不等式，一方面我们有 另一方面又有 结合起来，即知 下面举几个例子来说明赋范线性空间。例1 。它是定义在上的所有连续函数构成的线性空间，并且对于每一个赋予范数 要证明如此定义的的确是一个范数，必须证明它满足关于范数的三条公理。为此，看 是显然的；当且仅当，即上恒为0的函数。 。 所以的确是范数。例 2 。它是定义在上所有连续可导函数构成的线性空间，对于每一个，规定范数 例 3 有限非零序列空间。若记此空间为，则对于每一个其范数规定为例 4 设由上所有连续函数构成的线性空间为，对于每一个，定义可以验证，以上定义的满足关于范数的三条公理。以此它也构成一个赋范线性空间。注意它是与不同的赋范线性空间，尽管它们同是上所有的连续函数构成的线性空间，但是两者所规定的范数不同。例 5 维空间 。所有形如的维向量构成的线性空间，其间规定范数则它是一个赋范线性空间，称为维空间，简称为维欧式空间，记为。可以验证，这样规定的确实满足关于范数的三条公理，其中1与 2条是显然的，致于第3条，在随之即将介绍的空间中，三角不等式是不等式的特殊结果。例6 与空间。定义在上的一个函数，若存在一个非负常数，使得对于的任一分割 有 成立，则称为上的一个有界变差函数。其全变差定义为这里的上确界是对上的所有分割所取的。对于在上的全变差，还有一个富于启示的记法，即依照有界变差函数的性质，可知上的所有有界变差函数构成一个线性空间，其中范数定义为可以验证确实范数。并且把这样赋范的线性空间记为，称为有界变差函数空间。需要指出的是，常数的全变差为零，而单调函数的全变差为函数在区间的两个端点处取值之差的绝对值。同时，还指出，特别的一类有界变差函数，即，在上右连续，这样的在上所有有界变差函数构成的赋范线性空间，称为标准的有界变差函数空间，记为。其间，若，则32 开集与闭集集合的开性与闭性是集合的拓扑性质，它是集合的基本概念之一。在赋范线性空间中，由于已经引入了范数，所以就可以定义一个点的领域或小球，即其中。它称为点的领域。有时也将它记为，即是以点为中心，以为半径的小球。对于的一个子集，给定，如果存在，使得满足的所有也在之中，即有的领域，那么称这样的点为的内点。如图3.1所示。由集合所有内点构成的集合，称为的内部，记为。一个集合的内部可能是空集，例如，在中，由单个点或一条直线构成的集合，其。如果一个集合，其全部由内点构成，那么有下列定义。定义 当时，则称为一个开集。由于空集的内部也是空集，即，所以空集是开集。此外，全空间也是一个开集，因为。领域也是一个开集，例如，将集合称为一个单位开球。定义 若对于任意的及，都存在一点，使得，则称点为的闭合点或聚点。的所有闭合点构成的集合称为的闭包，记为。此定义说明，如果点的任一领域中都包含有中的一个点，那么便是的一个闭合点。显然有。定义 当时，则称为一个闭集。依据这个定义，可知空集与全空间也都是闭集。结合前述，与是既开又闭的。而集合是一个单位闭球。此外，单点集也是个闭集。同时，还有。 当集合的一个点，它的任一领域中既有中的点，又有不在中的点，这样的点称为的边界点。实际上，闭包是由与其边界点构成。 对于开集与闭集，它们之间有下列性质： 命题1 一个开集的余集是闭集，而一个闭集的余集是开集。证明 设是一个开集，则它的余集因此，对于任意的点，有的领域与不相交，所以不是的闭合点。从而包含了自己的所有闭合点。这就证明了是一个闭集。另外，设是一个闭集，则对于任意的，它不是的闭合点。因此，有点的一个领域与不相交，也就是，是的一个内点，从而是一个开集。命题2 有限多个开集之交是开集；任意多个开集之并是开集。证明 设，其中是开集，。对于任意的，则对于每个，有，由于是开集，所以又有某个领域，由于指标集是有限的，所以对于所有的，可以选出一个最小的，设为，则有，从而，有这说明是一个开集。另外，设，其中是某个有限或无限的指标集。于是，对于任意的，必有某个指标，使得，由于是开集，所以又有某个领域。进而又有。这就证明了是一个开集。与命题2互补的是命题3 有限个闭集之并是闭集；任意多个闭集之交是闭集。其证明与命题2类似。命题4 设是一个凸集，则与亦然。证明 当与都是空集时，则它们都是凸集。现在设。若，则对于任意固定的标量，需要证明。为此有，对于任意给定的，可以选取，使之满足。令，进而有 这就说明是的闭合点，即另外，若，则存在，使得与。当时，可有与。令，则根据的凸性，可知 这说明是的内点，从而也是凸集。类似地可以证明，子空间，线性流形，以及锥的闭包与内部仍分别是子空间，线性流形，以及锥。最后，还要指出，以上讨论的所有拓扑概念，也可以相对于给定的线性流形来定义。设是包含在线性流形中的集合。如果存在，使得满足的都落在内，则称是相对于的内点。如果中的每一点都是相对于的内点，则称是相对于的开集。特别地，当是由生成的闭线性流形时，也就是说，是所有包含的闭线性流形之交时，是相对于的内点，则可简称是的相对内点。的相对闭合点，也有类似的含义。3.3 收 敛 性在很多理论和实际问题中，为了确定某个具有所需性质的向量存在，通常是首先在赋范线性空间中建立一个适当的向量序列，这个向量序列收敛到所需的向量。也就是说，我们所建立的向量序列的极限就是要确立的那个向量。然后再证明它具有所希望的性质。因此，收敛性和极限的概念在分析和实用中起着很重要的作用。定义 在赋范线性空间中，所谓一个向量序列收敛到向量，是指实数序列收敛到零，我们记为或，称为依范数收敛到；也称为的极限。换言之，一个向量序列收敛到，当且仅当，对于任意的，都存在一个，使得当时，总有。当时，会有，这是因为 但是，这个结果反之则不对。值得指出的是，在维欧氏空间中，向量序列依范数收敛，当且仅当其每个分量都收敛。然而在其他的赋范线性空间中，收敛性并不能这样直观地表征。例如，在有限非零序列空间中，定义向量，即其第个分量是1，其余分量全为0，那么向量序列是按分量收敛到的，但是，由于对于所有的，有，所以并不依范数收敛到零向量。以下两个命题，给出了又关收敛性的一些结论。命题1 收敛序列的极限是唯一的。证明 设及，则由关于范数的三角不等式有 由此对出。命题2 是闭集，当且仅当中的所有收敛序列的极限都落在中。证明 设是闭集，则由闭集的定义可知，凡中的极限点都是F的闭合点，从而它落在F中。反之，用反证法。即假设中所有收敛序列的极限点都落在中，而不是闭集。于是，由于不是闭集，那么必有一个闭合点不落在中，不妨设此闭合点为,。在的领域中。可选取点，。因为序列收敛到，但是又有。这与假设不符。从而是闭集。34 变换与连续性从一个线性空间到一个线性空间，在它们之间引入变换的概念，这在研究线性空间之间的关系，特别是线性泛函，非线性泛函以及对偶空间，乃至最优化等方面是不可缺少的。定义 设与是两个线性空间，与，若对于每一个，按照一定的规则，都有与之对应，则这一对应规则称为以为定义域到值域的一个变换，记为或。有时也称为映射(有时它是泛函，有时它是算子)。对此，有时又常记为:，或:，其中和分别是的定义域和值域。特别指出，如果对于每一个，至多有一个，使得，那么称变换是一对一的，有时也称是将映射到之中的，在代数上也称为单射；如果对于每一个，至少有一个，使得，那么称变换是映射到上的，有时也称是一个满射。这些概念都是我们熟知的函数感念的推广。不过，变换是在线性空间上定义，在线性空间上取值而已。还有一种特殊的情形，这就是当值域是一个实数域时，我们就称变换为一个实泛函；当是一个复数域时，则称变换为一个复泛函。除非特别声明，我们将只涉及到实泛函。为了表示方便，我们将泛函与一般的变换区别开来。前者用小写字母表示，例如，等等，后者用大写字母表示。还有，用表示泛函在的取值。例如，在赋范线性空间上，定义，就是泛函的一个例子，此外，例如，在上，和 等也都是泛函的例子。 在最优化理论中，实值泛函有着直接的功用，因为最优化就是选定一个向量，在一定条件下，使得给定的目标泛函达到最优值。定义 设与是两个线性空间，是由到的一个变换。若对于所有的及任意的标量，有则称是一个由到的线性变换；由到的线性泛函类似地定义。例如，将的元素变换到的元素，其变换是一个矩阵，它是一个线性变换；积分算子是将变换到自身的变换，其中是正方形域上的连续函数，可以验证是一个线性变换。一般来说，变换是从一个抽象空间到一个抽象空间的映射。如果这些空间都是赋范线性空间，那就可以引进变换连续的概念。定义 设与是两个赋范线性空间，变换：。若对于任意的，存在，使得当时，有则称变换在处是连续的。如果变换在中的每一点处都是连续的，则简称是处处连续的，或直接称是连续的。这个定义同时依赖于与的范数。下面关于变换连续性的性质是非常有用的，这就是命题 设与是两个赋范线性空间，变换：。在点处连续，当且仅当时，有。证明 依变换连续性的定义，命题的充分性是显然的。下面只需证明必要性。用反证法。设序列，满足，但不成立。那么，对于某个，及每个，当时，有。于是，由于，这就意味着对于每个，都有点，使得当时，有，此与在点处连续不符。3.5 空 间 空间是一个无穷维赋范线性空间。它不仅在理论上，而且在应用上都很重要。同时，它更是一个经典的赋范线性空间。前已提到，所有形如的向量构成一个线性空间，现在对这个线性空间赋范。定义 设是满足的一个实数，并且 由这样的所有向量，当规定其范数为时，它构成一个赋范线性空间，记为。当时，我们定义为所有形如的有界向量，其范数规定为 构成的赋范线性空间。要断定的确为相应线性空间的范数，我们必须验证它需满足关于范数的三条公理。实际上， ，当且仅当及 都是显然的；关键的是三角不等式。这却需要以下的12和12两个重要的不等式作为先导。命题1 （不等式）设，且满足。又设则下面的不等式成立，即其中等式成立的充分必要条件是，对于每个有这里还约定，当时，；当时，。证明 我们首先假定及。再证明一个广义的平均不等式，即当及时，有当且仅当时，这个不等式取成等式。不失一般性，我们假定，因为当时，以上不等式成立是显然的。对此，我们在对它进行简单变形这就引出一个辅助函数求导，有因为，所以有这说明，在的左侧是上升的，在的右侧是下降的。由此得知，函数在时取得极大值，所以，有这便证明了平均不等式。在平均不等式中，分别令，就得到对上式两端求和，即得此即不等式。关于其中等号成立的充分必要条件，可以从的情形导出。对于，及，1的情形比较简单，在此不在赘述。不等式有个一个特征，即当时，这就是经常用到的不等式，即这里之所以没有写出求和的上限，是因为上限为或时均成立。利用上述的不等式，便可以推出关于范数的三角不等式。这就是命题2 （ 不等式）设，则有对于，当且仅当时，等号成立，其中是两个非负常数。证明 当时，证明比较简单，在此不赘述。下面只对于的情形进行证明。首先考虑有限和式，显然有 对于以上简单的不等式右端的每一个和式应用不等式，我们便有 对于以上不等式两端除以，并且取，便有 再令，即得不等式对于不等式中等号成立的充分必要条件，可由不等式中等号成立的充分必要条件导出。值得指出的是，从不等式和不等式中，我们还能顺便推出的确定是个线性空间。因为，当时，对于任意的标量，我们有 这说明，并且也的确是的范数。3.6 空 间 与赋范线性空间相类似，还可以定义空间，有时也简记为。当时，是由所有在上可积的实函数构成。其范数定义为首先是线性空间，这可由积分的性质直接得出。而要证明是范数，却遇到困难。欲证必须满足关于范数的三条公理，遗憾的是，首先就遇到，并不意味着，因为这时可以在测度为零的集合上不为零。为了不引入测度积分的更庞大的内容，我们只需简单地记住，首先，由有限个或可数个点组成的集合，其测度为零；其次，定义在上的两个函数，如果它们仅在测度为零的集合上有差异，而在其余处两个函数相等，那么我们就说这两个函数几乎处处( )相等，对于中几乎处处相等的函数，我们认为是同一函数；最后，我们记，它是由所有在上可积的函数构成，若对积分不太熟悉，则可用来代替，这在理解上不会有太多的损失，反而更易明了。当必须考虑时，也不妨用与之类比，这在后面要考虑的赋范线性空间的