高考数学一轮复习 坐标系课件 文 新人教A版选修44.ppt

选修4 4坐标系与参数方程第一节坐标系 知识梳理 1 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点p x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点p x y 对应到点p x y 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 2 极坐标系与点的极坐标 1 极坐标系 在平面内取一个定点o 即 自极点o引一条射线ox 即 再选定一个长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 就建立了极坐标系 2 点的极坐标 对于极坐标系所在平面内的任一点m 若设 om 0 以ox为始边 om为终边的角为 则点m可用有序数对 表示 极点 极轴 3 极坐标与直角坐标的互化公式 设点p的直角坐标为 x y 它的极坐标为 则互化公式为 3 直线的极坐标方程 1 特殊位置的直线的极坐标方程 sin cos 2 一般位置的直线的极坐标方程 若直线l经过点m 0 0 且极轴到此直线的角为 直线l的极坐标方程为 sin 0sin 0 4 半径为r的圆的极坐标方程 1 特殊位置的圆的极坐标方程 r 2rcos 2rsin 2rcos 2rsin 2 一般位置的圆的极坐标方程 若圆心为m 0 0 半径为r 则圆的极坐标方程为 小题快练 1 2015 南昌模拟 若原点与极点重合 x轴正半轴与极轴重合 则点 5 5 的极坐标是 解析 选b 设点 5 5 的极坐标为 则tan 因为x 0 所以最小正角 10 所以极坐标为 2 2014 江西高考 若以直角坐标系的原点为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 则线段y 1 x 0 x 1 的极坐标方程为 解析 选a 把x cos y sin 代入得 而0 x 1可得0 3 2015 惠州模拟 已知圆的极坐标方程为 4cos 圆心为c 点p的极坐标为 则 cp 解析 由 4cos 可得圆的直角坐标方程为 x 2 2 y2 4 圆心c 2 0 点p的直角坐标为p 2 2 所以 cp 2 答案 2 考点1伸缩变换 典例1 将圆x2 y2 1变换为椭圆 1的一个伸缩变换公式为 求 的值 解题提示 先将变换后的椭圆方程改写 再将变换公式代入此椭圆方程 整理求得 的值 规范解答 将变换后的椭圆方程 1改写为 1 将伸缩变换公式 代入上式得即与x2 y2 1比较系数得解得 互动探究 本例若改为将椭圆 1变换为圆x2 y2 1的一个伸缩变换公式为 则如何求m n的值 解析 将变换后的圆x2 y2 1改写为x 2 y 2 1 将伸缩变换 代入上式得m2x2 n2y2 1 与 1比较系数得解得 规律方法 伸缩变换公式应用时的两个注意点 1 曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的 解题时一定要区分变换前的点p的坐标 x y 与变换后的点p 的坐标 x y 再利用伸缩变换公式建立联系 2 已知变换后的曲线方程f x y 0 一般都要改写为方程f x y 0 再利用换元法确定伸缩变换公式 变式训练 求将曲线y sinx变换为曲线y 2sin3x的伸缩变换公式 解析 将变换后的曲线y 2sin3x改写为y sin3x 令即得伸缩变换公式 考点2极坐标与直角坐标的相互转化 典例2 2014 广东高考改编 在极坐标系中 曲线c1与c2的方程分别为2 cos2 sin 与 cos 1 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系 求曲线c1与c2交点的直角坐标 解题提示 将极坐标方程化为直角坐标方程再求交点坐标 规范解答 由2 cos2 sin 得2 2cos2 sin 由得2x2 y 由 cos 1 得x 1 代入2x2 y 解得x 1 y 2 所以曲线c1与c2交点的直角坐标为 1 2 规律方法 1 极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件 1 取直角坐标系的原点为极点 2 以x轴的非负半轴为极轴 3 两种坐标系规定相同的长度单位 2 直角坐标化为极坐标的关注点 1 根据终边相同的角的意义 角 的表示方法具有周期性 故点m的极坐标 的形式不唯一 即一个点的极坐标有无穷多个 当限定 0 0 2 时 除极点外 点m的极坐标是唯一的 2 当把点的直角坐标化为极坐标时 求极角 应注意判断点m所在的象限 即角 的终边的位置 以便正确地求出角 0 2 的值 变式训练 2014 上海高考改编 已知曲线c的极坐标方程为 3cos 4sin 1 求c与极轴的交点到极点的距离 解析 将极坐标方程 3cos 4sin 1化为直角坐标方程为3x 4y 1 则c与极轴的交点即为直线与x轴的交点 极点即为原点 故所求的距离为 加固训练 1 极坐标系中 求直角坐标为 1 的点的极径和极角 解析 直角坐标为 1 的点到极点的距离为 2 又tan 且点在第二象限 得 2k k z 于是点 1 的极坐标为 2 2k k z 所以此点的极径为2 极角为2k k z 2 在极坐标系中 求点关于直线 的对称点n的极坐标 并求mn的长 解析 点的直角坐标为 1 直线 的直角坐标方程为tan 1 即x y 0 点m 1 关于直线x y 0的对称点n的坐标为 1 化为极坐标得由于点m 1 到直线x y 0的距离所以mn的长为 mn 2d 考点3直线与圆的极坐标方程的应用 典例3 在极坐标系中 已知曲线c1与c2的极坐标方程分别为 2sin 与 cos 1 0 2 求 1 两曲线 含直线 的公共点p的极坐标 2 过点p被曲线c1截得弦长为的直线的极坐标方程 解题提示 1 利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的极坐标 2 利用数形结合思想 转化为几何性质解决 规范解答 1 由公式得曲线c1 2sin 与c2 cos 1 0 2 的直角坐标方程分别为x2 y2 2y x 1 联立方程组 解得由公式得点p 1 1 的极坐标为 2 方法一 由上述可知 曲线c1 2sin 即圆x2 y 1 2 1 如图所示 过p 1 1 被曲线c1截得弦长为的直线有两条 一条过原点o 倾斜角为 直线的普通方程为y x 极坐标方程为 r 另一条过点a 0 2 倾斜角为 直线的普通方程为y x 2 极坐标方程为 sin cos 2 即 方法二 由上述可知 曲线c1 2sin 即圆x2 y 1 2 1 过点被曲线c1截得弦长为的直线有两条 一条过原点o 倾斜角为 极坐标方程为 r 另一条倾斜角为 极坐标方程为 sin 即 规律方法 常见的直线与圆的综合问题 1 直线与圆的位置关系有三种 相离 相切 相交 设圆的半径为r 圆心到直线的距离为d 则有 2 若直线与圆相交于点a b 则弦长公式为 ab 变式训练 2015 广州模拟 在极坐标系 0 2 中 求直线 被圆 2sin 截得的弦长 解析 在极坐标系 0 2 中 直线 的直角坐标方程为x y 0 圆 2sin 的直角坐标方程为x2 y2 2y 即x2 y 1 2 1 圆心 0 1 到直线的距离为d 所以弦长为 加固训练 1 已知极坐标系中 圆c1 2cos 与圆c2 2asin a 0 1 将两圆的极坐标方程分别化为直角坐标方程 2 若两圆的圆心距为3 求a的值 解析 1 由圆c1 2cos 得 2 2 cos 化为直角坐标方程为x2 y2 2x 即 x 1 2 y2 1 圆c2 2asin a 0 即 2 2a sin 化为直角坐标方程为x2 y2 2ay 即x2 y a 2 a2 2 由于两圆的圆心距为3 得 3 解得a 2 2 已知圆o1和圆o2的极坐标方程分别为 4cos sin 1 把圆o1和圆o2的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求经过圆o1 圆o2的两个交点的直