高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例优化训练 北师大版必修4.doc

2.7 向量应用举例5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为（ ）a. b.2- c.-1 d.+1解析:指由点到直线距离公式得,|a+1|=.又a0,a=-1.答案:c2.已知三个力f1=（3，4），f2=（2，-5），f3=（x，y）的合力f1+f2+f3=0，则f3的坐标为（ ）a.(5,-1) b.(-5,1) c.(-1,5) d.(1,-5)解析：由题设f1+f2+f3=0，得（3，4）+（2，-5）+（x，y）=（0，0），即f3=(-5,1).答案:b3.已知两个力f1和f2的夹角是直角，如图2-7-1所示，且已知它们的合力f与f1的夹角是60，|f|=10 n，求f1和f2的大小.图2-7-1解：|f1|=|f|cos60=10=5 n，|f2|=|f|sin60=10=5n，f1的大小为5 n，f2的大小为5n.4.如图2-7-2所示，一艘船从a点出发以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.图2-7-2解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以ad、ab为邻边作平行四边形abcd，则就是船的实际航行的速度.在rtabc中，|=2，|=2，所以|=4.因为tancab=cab=60.所以，船的实际航行速度的大小为4 km/h，方向与水流速间的夹角为60.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列向量中，是直线y=2的法向量的是( )a.n=（0，1） b.n=（-1，0） c.n=（1，1） d.n=（-1，-1）解析：直线y=2的一个方向向量为（-1,0),故其法向量为与（-1,0)垂直的向量.答案:a2.一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳膊受伤，试用向量知识加以解释.解：设小孩的体重为g，两胳膊受力分别为f1、f2，且f1=f2，两胳膊的夹角为，胳膊受力分析如右图(不记其他因素产生的力)，不难建立向量模型：|f1|=,0,当=0时，|f1|=;当=时，|f1|=|g|；又(0,)时，|f1|单调递增，故当(0,)时,f1(,|g|),当(,)时，|f1|g|.此时，欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.3.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和方向.解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a.设=-a,=-2a.+=,=v-a.这就是感到由正北方向吹来的风速.+=,=v-2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意知pbo=45，pabo， ba=ao，可知pob为等腰直角三角形，po=pb=a，即|v|=a.实际风速是a的西北风.4.已知两恒力f1=(3,4),f2=(6,-5)作用于同一质点，使之由点a(20，15)移动到点b(7，0).试求：(1)f1、f2分别对质点所做的功；(2)f1和f2的合力f对质点所做的功.解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)w1=f1=(3,4)（-13，-15）=-99（焦耳）.w2=f2=（6，-5）（-13，-15）=-3（焦耳）.（2）w=fab=（f1+f2）=（3，4）+（6，-5）（-13，-15）=（9，-1）（-13，-15）=-102（焦耳）.5.如图2-7-3所示，有两条相交成60的直线xx1、yy1的交点为o.甲、乙分别在ox、oy1上，起初甲位于离o点3 km的a处，乙位于离o点1 km的b处.后来两个人同时用每小时4 km的速度，甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动(如图2-7-4所示，三角形中有如下结论：b2=a2+c2-2accosb).试求： 图2-7-3 图2-7-4(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?解：(1)起初两人分别在a、b两点，则|=3,|=1.|=|2+|2-2|cos60=9+1-231=7.|=km，即起初两人相距 km.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是p、q,则|=4t,|bq|=4t,又甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动，当0t时，|2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60=48t2-24t+7;当t时，|2=(3-4t)2+（1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos120=48t2-24t+7(t0),综上,|2=48t2-24t+7=48(t)2+4,t0,+).当t=，即在第15分钟末时，pq最短，两人最近，最近距离为2 km.6.在静水中划船的速度是每分钟40米，水流的速度是每分钟20米.如果从岸边o点出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，试问小船的行进方向应指向哪里?解：用向量的长度和方向分别表示水流的速度和方向，用表示船行进的方向，它的长度表示船的速度.以、为邻边作平行四边形oacb，连结oc.依题意ocoa，bc=oa=20，ob=40，boc=30，船应向上游与河岸夹角为30的方向行进.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.过点a（2，3）且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为( )a.2x+y-7=0 b.2x+y+7=0c.x-2y+4=0 d.x-2y-4=0解析：法向量a=(2,1),直线的斜率为k=.又直线过定点a(2,3),直线方程为2x+y-7=0.答案：a2.若=3e，=5e，且|=|，则四边形abcd是( )a.平行四边形 b.菱形c.等腰梯形 d.非等腰梯形解析：由=3e，=5e，可知与平行.又|，故四边形abcd为梯形.由|=|，可得四边形abcd为等腰梯形.因为向量是既有大小，又有方向的量，所以利用向量可判断平面中线段的数量关系，也可判断直线的位置关系.如平行、垂直、夹角等问题.答案：c3.某人用50 n的力（与水平方向成30角，斜向下）推动一质量为8 kg的木箱沿水平平面运动了20 m，若动摩擦因数=0.02，g取10 m/s2，则摩擦力f所做的功为( )a.42 j b.-42 j c.22 j d.-22 j解析：f=（80+50sin30）0.02 n=2.1 n，又f与位移所成的角为180，fs=|f|s|cos180=2.120（-1）j=-42 j.答案：b4.某人向正东走x km后，又向右转150，然后朝新方向走3 km.结果他离出发点恰好 km，那么x的值等于( )a. b. c. d.3解析：由分析知|a+b|=，a2+2ab+b2=3.x2+6xcos150+9-3=0，即x2-3x+6=0.解得x=或2.答案：c5.已知abc满足2=+，则abc是( )a.等边三角形 b.锐角三角形c.直角三角形 d.钝角三角形解析：2=+，2=（-）+，即2=（+）+.=0，即.故abc为直角三角形.答案：c6.已知一物体在共点力f1=（lg2，lg2），f2=（lg5，lg2）的作用下产生位移s=（2lg5，1），则这两个共点力对物体做的功w为( )a.lg2 b.lg5 c.1 d.2解析：f1+f2=（1，2lg2），s=（2lg5，1），共点力对物体做的功w=（f1+f2）s=2lg5+2lg2=2.答案：d7.有两个向量e1=（1，0），e2=（0，1），今有动点p，从p0（-1，2）开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1+e2|；另一动点q，从q0（-2，-1）开始沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1+2e2|.设p、q在时刻t=0秒时，分别在p0、q0处，则当时，t=_.解析：由题意知=t（e1+e2）=（t，t），故p点坐标为（t-1，t+2）.=t（3e1+2e2）=（3t，2t），故q点坐标为（3t-2，2t-1）.=（2t-1，t-3），=（-1，-3）.又，即=0，-2t+1-3t+9=0.解得t=2.答案:28.一艘船从a点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船实际航行的速度大小为4 km/h，方向与水流间的夹角是60.求v1和v2.解：v1=vsin60=4km/h=2km/h，v2=vcos60=4 km/h=2 km/h.v1的大小为2 km/h，v2的大小为2 km/h.9.在abc内求一点p,使2+2+2的值最小.解: