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第 31卷 第 5 期 2011 年 5 月 物 理 实 验 PHYSICS EXPERIMENT ATION Vol 31 No 5 May 2011 收稿日期 2010 06 18 修改日期 2010 09 18 基金项目 国家自然科学基金 No 10944005 东南大学人才引进科研启动经费支持 作者简介 石将建 1989 男 江苏南通人 东南大学物理系光信息科学与技术专业 2008级本科生 指导教师 薛 鹏 1976 女 河北邯郸人 东南大学物理系教授 博士 研究方向为量子光学 量子信息 基于实验观测的菲涅耳双棱镜干涉的理论探究 石将建 薛 鹏 东南大学 物理系 江苏 南京 211189 摘 要 从理论上研究菲涅耳双棱镜对于光的传播的影响以及发生干涉的光之间的物理关系即入射角与干涉位置 的关系 同时从实验计算的角度论证等效法的可行性 即从实验观测出发通过数值计算的方法证明等效前后用于分析干 涉光强分布情况的光程差计算结果相等 关键词 光线偏折 叠加 等效 光程差 数值计算 中图分类号 O436 1 文献标识码 A 文章编号 1005 4642 2011 05 0042 05 1 引 言 对菲涅耳双棱镜干涉 1 3 问题的研究通常使 用等效的方法进行简化分析 甚至在实验中也只 是研究等效后的干涉情景 从而在一定程度上简 化了分析过程 省去了许多繁琐的计算 那么 为 什么可以做如此的等效 本文将从几何光学和实 验观测的角度对此问题给予证明 2 光路分析 采用正向分析的思路 利用几何光学关于光 线传播定律 4 分析光线的传播路径及偏折情况 从而理论计算出各物理量 包括干涉的位置及此 位置所对应的光的入射角 并在此基础上研究所 得物理量之间的关系 寻找等效法成立的原因 图 1 为光线传播路径图 入射光线与水平方 向夹角为 第一次折射角为 1 第二次入射角为 2 第二次折射角即出射角为 3 出射光线与水平 方向夹角为 4 双棱镜的底角为 折射率为 n 这里涉及的角都非常小 则有 sin tan 为便于计算和分析 根据入射角 的大小进 行分类讨论 以上半棱镜为例 根据出射光线与 水平方向的夹角不同可以将入射角 分为 3 类 1 n 图 1 原始光路示意图 2 1 出射光线角度计算 首先研究 0 下面再根据对称性求当 0 下 0 即光屏上同一位置对应着 2 条入射光线 正是这 2条光线的叠加才产生了干涉现象 同时 根据式 1 和式 2 可求出可干涉区域 由式 1 可 知 随着 的减小 y 逐渐从正值变为负值 但由 于 只能从正向无限趋近于 0 所以这里的 y 会 存在最小值 而对于式 2 y 则存在最大值 所 以根据对称性或者计算式可以求得干涉区域为 n 1 D r y n 1 D r 干涉宽 度为 2 n 1 D r 理论上对干涉有贡献的有 效入射角为 2 n 1 D r D 2 n 1 D r D 图 2 清楚地表示了这样的关系 而 仅仅利用等效方法无法得出这样的结论 这也说 明了以上分析的必要性 图 2 理论上的干涉宽度和有效入射角 如图 3 所示 假设2 束光在光屏 y 处叠加 则 根据式 1 和式 2 计算可得 y 处叠加的2 条光线 的入射角为 上 n 1 y n 1 r D 3 下 n 1 y n 1 r D 4 图 3 等效前后光程差计算示意图 3 等效的可行性证明 前面已经交代角 n 1 是光线经过双棱镜 之后的偏转角 再结合式 3 和式 4 及相关的几 何知识可以知道 通过上半棱镜的出射光线与水 平方向夹角为 4上 y n 1 r D 相应地通过下 半棱镜的出射光线与水平方向夹角为 4下 y n 1 r D 如图 3所示 通常研究等效时都会选择反向延长出射光线 寻找相交点 在本文中也如此 不妨假设 S 点发出 2 束光线在 y 点叠加 由 4上和 4下的形式可知 经过上半棱镜出射的所有 光线的反向延长线交于点 S1 D n 1 r 而下半棱镜则反向交于点 S2 D n 1 r 如图 4 所示 图 4 菲涅耳双棱镜干涉等效示意 图 由此便可认为从 S 发出的光可以等效为从 S1和 S2发出 同时根据几何关系可求出等效光 源间距为 d 2 n 1 r 43第 5 期 石将建 等 基于实验观测的菲涅耳双棱镜干涉的理论探究 即等效于杨氏双缝干涉 5 中的双缝之间的距离 以上分析说明了等效的几何来源 即所有出 射光线反向相交 但研究干涉问题时 一般通过 计算光程差分析干涉条纹特性 也就是说只有等 效前后计算所得的光程差相等或只相差实验上的 不可察觉的小量 等效的方法才有效成立 图 5 棱镜内部光路放大图 假设实际光路的光程差为 1 表示图 3 中经 过下半棱镜的实际光线与经过上半棱镜的实际光 线的光程差 可表示为 1 r4 r2 nr5 r3 r1 nr6 同样 用 2表示等效光路光程差 可表示为 2 r4 r2 r5 r3 r1 r6 用 表示由于等效而产生的光程差偏差 则 2 1 r4 r3 r4 r3 nr5 r5 nr6 r6 r4 r4 r3 r3 n 1 r5 r6 令 0 n 1 r5 r6 5 则根据图 3 和上面的光路分析可得 r cos y n 1 r D r cos n 1 y n 1 r D r cos y n 1 r D r cos n 1 y n 1 r D 0 6 由于所研究的角度都很小 可以对 r5和 r6 做近似计算 即近似认为它们与棱镜竖直边垂直 如图 5 假设棱镜半高度为 a 宽度为 l0 根据三角 形相似原理有 r5 l0 a r tan 下 a 即 r5 1 r tan 下 a l0 同理 r6 1 r tan 上 a l0 代入式 5 得 0 n 1 r l0 a tan 上 tan 下 2 n 1 ry D 此式直接说明菲涅尔双棱镜的干涉效果由棱镜底 角大小决定 与棱镜尺寸无关 下面通过 计算来估算 的 大小 设 r 25 cm D 100 cm n 1 5 30 650 nm 则根据式 6 计算可得 随y 的变化数据见表 1 表 1 干涉区域内光程差偏差 以及相位偏差 2 的数值计算结果 y mm nm 10 5rad 000 0 10 001 841 782 05 0 20 002 692 597 45 0 30 004 534 379 50 0 40 006 376 161 55 0 50 009 228 910 24 0 60 013 0612 625 58 0 70 006 906 674 47 0 80 010 7510 389 81 0 90 014 5914 105 15 1 00 018 4417 820 48 1 10 022 2821 535 82 1 20 026 1225 251 16 1 30 019 9719 300 05 1 40 023 8123 015 39 1 50 027 6526 730 72 1 60 031 5030 446 06 1 70 035 3434 161 40 1 80 039 1837 876 73 1 90 043 0341 592 07 2 00 046 8745 307 40 2 10 050 7149 022 74 2 20 054 5652 738 08 2 30 058 4056 453 41 2 40 062 2560 168 75 2 50 066 0963 884 09 2 60 069 9367 599 42 2 70 073 7871 314 76 2 80 077 6275 030 09 2 90 091 4688 411 87 3 00 095 3192 127 20 44 物 理 实 验第 31 卷 不计棱镜对光强的影响 干涉区域光强 4 可 计算为 I 2I0 1 cos 0 2I0 2 cos 2I0 1 cos cos sin sin 0表示实际的相位差 表示用等效法计算得到 的相位差 由以上计算数据可知 0 所以 cos 1 sin 0 则 I 2I0 1 cos 7 式 7 说明完全可以用等效法计算所得的相位差 代替 0研究干涉条纹特性 即等效法在研究菲 涅耳双棱镜干涉时是有效的 在以上计算中默认 角为实验允许最大的 值 那么 角的大小又会怎样影响 呢 以计算 说明见表 2 拟合曲线见图 6 实验中一般 10 30 y 取最大值 表 2 光程差偏差 随棱镜底角 的变化 nm nm 100 001 4210 027 2 110 002 05220 032 76 120 002 9230 039 13 130 003 99240 046 4 140 005 37250 054 63 150 007 08260 063 9 160 009 16270 074 32 170 011 68280 085 96 180 014 68290 098 91 190 018 22300 113 27 200 022 37 图 6 角 对光程差偏差 的影响曲线 由图 6 可见实验中减小 角可以使得计算偏 差变小 从而控制实验的系统误差 4 结 论 本文通过以上讨论可以得出结论 菲涅耳双 棱镜干涉是可以实现的 而且在对棱镜 角和干 涉范围控制的情况下可以用等效法进行相关的计 算 由此产生的偏差可以忽略不计 即在不计光 强损耗的情况下干涉光强分布满足 I 2I01 cos 4 n 1 ry D n 1 D r y n 1 D r 8 由式 8 我们可绘制光干涉强度关于干涉位置 y 的变化曲线 如图 7 所示 图 7 理论上双棱镜干涉强度 I I0 关于 干涉位置 y 的分布曲线 实验上 利用类似于图 7 的干涉光强分布 主要指亮条纹分布 和式 8 所表示的各物理量 之间的关系对未知参量进行测量 参考文献 1 张小平 马自军 大学物理实验 M 2 版 北京 中国农业大学出版社 2007 115 116 2 王明吉 张利巍 王晓莉 双棱镜干涉 4 种实验方法 的研究和探讨 J 物理实验 2008 28 4 25 28 3 廖立新 刘生长 米贤武 用双棱镜测激光波长的简 单方法 J 物理实验 2007 27 7 34 35 4 石顺祥 王学恩 刘劲松 物理光学与应用 光学 M 2 版 西安 西安电子科技大学出版社 2009 58 320 321 55 5 姚启钧 光学教程 M 4 版 北京 高等教育出版 社 2008 14 21 45第 5 期 石将建 等 基于实验观测的菲涅耳双棱镜干涉的理论探究 Theoretical study of interference phenomenon by Fresnel biprism SHI Jiang jian XUE Peng Department of Physics Southeast University Nanjing 211189 China Abstract T he route of light in Fresnel biprism and the relationship of some physical quantity de scribing interference were studied The feasibility of the method of equal effects was confirmed by ex periment Numerical calculation showed that the optical path difference before and after the applica tion of the equa l effects method used was equal Key words light deflection overlay of light field equa l effects method optical path difference numerical calculation 责任编辑 郭 伟 上接第 41 页 Moir fringe in electrically addressed liquid crystal light valve system SUN Xiang ZHOU Hu i jun WANG S i hui Department of Physics Nanjing University Nanjing 210093 China Abstract Electrically addressed liquid crystal light valve system LCLV was used to manipulate Moir fringe and simulate the round grating and its dynamic fringe which were difficult in teaching lab T he rotate speed of dynamic round fringe was measured by LCLV Besides a meth