（试题 试卷 真题）专题52 平面几何的综合

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题52：平面几何的综合一、选择题1. （2012湖北鄂州3分）如图，四边形OABC为菱形，点A、B在以O为圆心的弧上，若OA=2，1=2，则扇形ODE的面积为【 】A.B.C.D.【答案】A。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。【分析】如图，连接OBOA=OB=OC=AB=BC，AOB+BOC=120。又1=2，DOE=120。又OA=2，扇形ODE的面积为。故选A。2. （2012湖南岳阳3分）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切O于A、B两点，CD切O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：OD2=DECD；AD+BC=CD；OD=OC；S梯形ABCD=CDOA；DOC=90，其中正确的是【 】A B C D【答案】A。【考点】切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质。1052629【分析】如图，连接OE，AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，DAO=DEO=OBC=90，DA=DE，CE=CB，ADBC。CD=DE+EC=AD+BC。结论正确。在RtADO和RtEDO中，OD=OD，DA=DE，RtADORtEDO（HL）AOD=EOD。同理RtCEORtCBO，EOC=BOC。又AOD+DOE+EOC+COB=180，2（DOE+EOC）=180，即DOC=90。结论正确。DOC=DEO=90。又EDO=ODC，EDOODC。，即OD2=DCDE。结论正确。来源:学。科。网Z。X。X。K而，结论错误。由OD不一定等于OC，结论错误。正确的选项有。故选A。3. （2012四川乐山3分）如图，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；点C到线段EF的最大距离为其中正确结论的个数是【 】A1个B2个C3个D4个【答案】B。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】连接CD（如图1）。ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS）。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90。DFE是等腰直角三角形。故此结论正确。当E、F分别为AC、BC中点时，由三角形中位线定理，DE平行且等于BC。四边形CEDF是平行四边形。又E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，四边形CEDF是菱形。又C=90，四边形CEDF是正方形。故此结论错误。 如图2，分别过点D，作DMAC，DNBC，于点M，N， 由，知四边形CMDN是正方形，DM=DN。 由，知DFE是等腰直角三角形，DE=DF。 RtADERtCDF（HL）。 由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。 四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。 故此结论错误。由，DEF是等腰直角三角形，DE=EF。当DF与BC垂直，即DF最小时， EF取最小值2。此时点C到线段EF的最大距离为。故此结论正确。故正确的有2个：。故选B。4. （2012四川广元3分） 如图，A，B是O上两点，若四边形ACBO是菱形，O的半径为r，则点A与点B之间的距离为【 】A. B. C. r D. 2r【答案】B。【考点】菱形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，连接AB，与OC交于点D， 四边形ACBO为菱形，OA=OB=AC=BC，OCAB。又OA=OC=OB，AOC和BOC都为等边三角形，AD=BD。在RtAOD中，OA=r，AOD=60，AD=OAsin60=。AB=2AD=。故选B。5. （2012辽宁锦州3分）下列说法正确的是【 】 A.同位角相等 B.梯形对角线相等C.等腰三角形两腰上的高相等 D.对角线相等且垂直的四边形是正方形【答案】C。【考点】同位角、梯形、等腰三角形的性质，正方形的判定。【分析】根据同位角、梯形、等腰三角形的性质和正方形的判定逐一作出判断： A.两直线平行，被第三条直线所截，同位角才相等，说法错误； B.等腰梯形的对角线才相等，说法错误； C.根据等腰三角形等边对等角的性质，两腰上的高与底边构成的两直角三角形全等（用AAS），从而得出等腰三角形两腰上的高相等的结论 ，说法正确； D.对角线相等且垂直的四边形是不一定是正方形，还要对角线互相平分，说法错误。故选C。二、填空题1. （2012宁夏区3分）如图,在矩形ABCD中，对角线AC、BD相较于O,DEAC于E，EDCEDA=12，且AC=10，则DE的长度是 【答案】。【考点】矩形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】四边形ABCD是矩形，ADC=90，AC=BD=10，OA=OC=AC=5，OB=OD= BD=5。OC=OD，ODC=OCD。EDC：EDA=1：2，EDC+EDA=90，EDC=30，EDA=60。DEAC，DEC=90。DCE=90EDC=60。ODC=OCD=60。COD=60。DE= OD sin 60= 。2. （2012浙江、舟山嘉兴5分）如图，在RtABC中，ABC=90，BA=BC点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF给出以下四个结论：；点F是GE的中点；AF=AB；SABC=5SBDF，其中正确的结论序号是 【答案】。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。【分析】在RtABC中，ABC=90，ABBC。又AGAB，AGBC。AFGCFB。BA=BC，。故正确。ABC=90，BGCD，DBE+BDE=BDE+BCD=90。DBE=BCD。AB=CB，点D是AB的中点，BD=AB=CB。又BG丄CD，DBE=BCD。在RtABG中，。，FG=FB。故错误。AFGCFB，AF：CF=AG：BC=1：2。AF=AC。AC=AB，AF=AB。故正确。设BD= a，则AB=BC=2 a，BDF中BD边上的高=。SABC=， SBDFSABC=6SBDF，故错误。因此，正确的结论为。3. （2012浙江丽水、金华4分）如图，在直角梯形ABCD中，A90，B120，AD，AB6在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得DEF120(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是 ；(2)若射线EF经过点C，则AE的长是 【答案】6；2或5。【考点】直角梯形的性质，勾股定理，解直角三角形。【分析】(1)如图1，过E点作EGDF，EGAD。E是AB的中点，AB6，DGAE3。DEG60（由三角函数定义可得）。DEF120，FEG60。tan60，解得，GF3。EGDF，DEGFEG，EG是DF的中垂线。DF2 GF6。1世纪教育网(2)如图2，过点B作BHDC，延长AB至点M，过点C作CFAB于F，则BHAD。ABC120，ABCD，BCH60。CH，BC。设AEx，则BE6x，在RtADE中，DE，在RtEFM中，EF，ABCD，EFDBEC。DEFB120，EDFBCE。，即，解得x2或5。4. （2012浙江宁波3分）如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 【答案】。【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由垂线段的性质可知，当AD为ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OHEF，垂足为H。 在RtADB中，ABC=45，AB=2，AD=BD=2，即此时圆的直径为2。由圆周角定理可知EOH=EOF=BAC=60，在RtEOH中，EH=OEsinEOH=1。由垂径定理可知EF=2EH=。5. （2012湖北十堰3分）如图，RtABC中，ACB=90，B=30，AB=12cm，以AC为直径的半圆O交AB于点D，点E是AB的中点，CE交半圆O于点F，则图中阴影部分的面积为 cm2【答案】。【考点】含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。【分析】连接OD，OF。RtABC中，ACB=90，B=30，AB=12cm，AC=AB=6cm，BAC=60。E是AB的中点，CE=AB=AE。ACE是等边三角形。ECA=60。又OA=OD，AOD是等边三角形。DOA=60。COD=120。同理，COF=60。DOA=COE=60。，AD=CF。与弦AD围成的弓形的面积等于与弦CF围成的弓形的面积相等。AC是直径，CDA=90。又BAC=60，AC =6cm，。又OCD中CD边上的高=,.又，。6. （2012四川宜宾3分）如图，在O中，AB是直径，点D是O上一点，点C是的中点，弦CEAB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC给出下列结论：BAD=ABC；GP=GD；点P是ACQ的外心；APAD=CQCB其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）【答案】。【考点】切线的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】如图，连接BD， 点C是的中点，ABC =CBD，即ABD=2ABC。又AB为圆O的直径，ADB=90。BADABD=900，即BAD2ABC =900。当ABC =300时，BAD=ABC；当ABC 300时，BADABC。BAD与ABC不一定相等。所以结论错误。GD为圆O的切线，GDP=ABD。又AB为圆O的直径，ADB=90。CEAB，AFP=90。ADB=AFP。又PAF=BAD， ABD=APF。又APF=GPD，GDP=GPD。GP=GD。所以结论正确。直径ABCE，A为的中点，即。又点C是的中点，。CAP=ACP。AP=CP。又AB为圆O的直径，ACQ=90。PCQ=PQC。PC=PQ。AP=PQ，即P为RtACQ斜边AQ的中点。P为RtACQ的外心。所以结论正确。如图，连接CD，B=CAD。又ACQ=BCA，ACQBCA。，即AC2=CQCB。，ACP=ADC。又CAP=DAC，ACPADC。，即AC2=APAD。APAD=CQCB。所以结论正确。则正确的选项序号有。7. （2012山东日照4分）如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1 S2（用“”、“”或“=”填空）.【答案】。【考点】轴对称的性质，正方形和圆的性质，勾股定理，实数的大小比较，【分析】结合图形发现：图1阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积，图2每个阴影部分正好是它所在的圆的四分之一，则阴影部分的面积大圆面积的四分之一。计算出结果后再比较S1与S2的大小即可：正方形OCDE的边长为1，根据勾股定理得OD=， AO=。AC=AOCO= 1。大圆面积=r2=。 ，S1S2。三、解答题1. （2012北京市5分）已知：如图，AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE（1）求证：BE与O相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，求BF的长【答案】证明：（1）连接OC，ODBC，OC=OB，CD=BD（垂径定理）。CDOBDO（HL）。COD=BOD。在OCE和OBE中，OC=OB，COE=BOE，OE=OE，OCEOBE（SAS）。OBE=OCE=90，即OBBE。BE与O相切。（2）过点D作DHAB，ODBC，ODHOBD，。又 ，OB=9，OD=6。OH=4，HB=5，DH=2。又ADHAFB，即，解得FB=。【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OC，先证明OCEOBE，得出EBOB，从而可证得结论。（2）过点D作DHAB，根据 ，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由ADHAFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长。2. （2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为（1）如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形的边长；（3）如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由【答案】解：（1）如图，正方形即为所求。 （2）设正方形的边长为x ABC为正三角形，。，即。 （3）如图，连接NE，EP，PN，则。 设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n（mn），它们的面积和为S，则，。 . 。 延长PH交ND于点G，则PGND。 在中，。 ，即. 。 当时，即时，S最小。 。 当最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大。 ，由（2）知，。 。【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形EFPN，如答图所示。（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式EF+AE+BF=AB，列方程求得正方形EFPN的边长 （3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（mn），求得面积和的表达式为：，可见S的大小只与m、n的差有关：当m=n时，S取得最小值；当m最大而n最小时，S取得最大值m最大n最小的情形见第（1）（2）问。3. （2012广东肇庆8分） 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BEAC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE；（2）若DBC=30，BO=4，求四边形ABED的面积.【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，AC=BD，ABCD，BEAC，四边形ABEC是平行四边形。AC=BE。BD=BE。（2）解：在矩形ABCD中，BO=4，BD=2BO=24=8。DBC=30，CD=BD=8=4，BC=BDcosDBC=8。BD=BE，BCDE，CE=CD=4，DE=8四边形ABED的面积=（AB+DE）BC=（4+8）。【考点】矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证。（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，根据30角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，根据锐角三角函数求出BC的长（或用勾股定理求），并根据等腰三角形三线合一的性质求出DE的长，最后利用梯形的面积公式列式计算即可得解。4. （2012广东梅州8分）如图，AC是O的直径，弦BD交AC于点E（1）求证：ADEBCE；（2）如果AD2=AEAC，求证：CD=CB【答案】证明：（1）A与B都是弧所对的圆周角， A=B， 又AED =BEC，ADEBCE。（2）AD2=AEAC，。又A=A，ADEACD。AED=ADC。又AC是O的直径，ADC=90。AED=90。直径ACBD，CD=CB。【考点】圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线上点的性质。【分析】（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得A=B，又由对顶角相等，可证得：ADEBCE。（2）由AD2=AEAC，可得，又由A是公共角，可证得ADEACD，又由AC是O的直径，可求得ACBD，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得CD=CB。5. （2012广东肇庆10分）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：（1）D是BC的中点；（2）BEC ADC；（3）AB CE=2DPAD【答案】证明：（1）AB是O的直径，ADB=90，即ADBC。AB=AC，D是BC的中点。（2）AB是O的直径，AEB=ADB=90，即CEB=CDA=90，C是公共角，BECADC。（3）BECADC，CBE=CAD。AB=AC，AD=CD，BAD=CAD。BAD=CBE。ADB=BEC=90，ABDBCE。BC=2BD，即。BDP=BEC=90，PBD=CBE，BPDBCE。，即ABCE=2DPAD。【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由AB是O的直径，可得ADBC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。（2）由AB是O的直径，AEB=ADB=90，又由C是公共角，即可证得BECADC。（3）易证得ABDBCE与BPDBCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得ABCE=2DPAD。6. （2012浙江台州12分）已知，如图1，ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，ABC=DBE，BD=BE（1）求证：ABDCBE；（2）如图2，当点D是ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论7. （2012浙江杭州12分）如图，AE切O于点E，AT交O于点M，N，线段OE交AT于点C，OBAT于点B，已知EAT=30，AE=3，MN=2（1）求COB的度数；（2）求O的半径R；（3）点F在O上（是劣弧），且EF=5，把OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC的周长之比【答案】解：（1）AE切O于点E，AECE。又OBAT，AEC=CBO=90，又BCO=ACE，AECOBC。又A=30，COB=A=30。（2）AE=3，A=30，在RtAEC中，tanA=tan30=，即EC=AEtan30=3。OBMN，B为MN的中点。又MN=2，MB=MN=。连接OM，在MOB中，OM=R，MB=，。在COB中，BOC=30，cosBOC=cos30=，BO=OC。 又OC+EC=OM=R，。整理得：R2+18R115=0，即（R+23）（R5）=0，解得：R=23（舍去）或R=5。R=5。（3）在EF同一侧，COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示，FDE即为所求。EF=5，直径ED=10，可得出FDE=30，FD=5。则CEFD=5+10+5=15+5，由（2）可得CCOB=3+，CEFD：CCOB=（15+5）：（3+）=5：1。【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，垂径定理，平移、旋转的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AECE，又OBAT，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出AECOBC，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与A相等，由A的度数即可求出所求角的度数。（2）在RtAEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OBMN，根据垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在RtOBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在RtOBC中，由表示出OB及cos30的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OEOC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值。（3）把OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合在EF的同一侧，这样的三角形共有6个。顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，FDE即为所求。根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到FDE为直角三角形，由FDE为30，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出EFD的周长，再由（2）求出的OBC的三边表示出BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比。8. （2012浙江湖州10分）已知，如图，在梯形ABCD中，ADBC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的D与AB相切于A，与BC交于点F，过点D作DEBC，垂足为E（1）求证：四边形ABED为矩形；（2）若AB=4， ，求CF的长【答案】（1）证明：D与AB相切于点A，ABAD。ADBC，DEBC，DEAD。DAB=ADE=DEB=90。四边形ABED为矩形。（2）解：四边形ABED为矩形，DE=AB=4。DC=DA，点C在D上。D为圆心，DEBC，CF=2EC。，设AD=3k（k0）则BC=4k。BE=3k，EC=BCBE=4k3k=k，DC=AD=3k。由勾股定理得DE2EC2=DC2，即42k2=（3k）2，k2=2。k0，k=。CF=2EC=2。【考点】切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，待定系数法，垂径定理。【分析】（1）根据ADBC和AB切圆D于A，求出DAB=ADE=DEB=90，即可推出结论。（2）根据矩形的性质求出AD=BE=AB=DE=4，根据垂径定理求出CF=2CE，设AD=3k，则BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在DEC中由勾股定理得出一个关于k的方程，求出k的值，即可求出答案。9. （2012江苏南京8分）如图，在直角三角形ABC中，ABC=90，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BEAC，与BD的垂线DE交于点E，（1）求证：ABCBDE（2）三角形BDE可由三角形ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）证明：在RtABC中，ABC=90，ABE+DBE=90。BEAC，ABE+A=90。A=DBE。DE是BD的垂线，D=90。在ABC和BDE中， A=DBE ，AB=DB ，ABC=D，ABCBDE（ASA）。（2）如图，点O就是所求的旋转中心。【考点】三角形内角和定理，全等三角形的判定，作图（旋转变换），线段垂直平分线的性质。【分析】（1）利用已知得出A=DBE，从而利用ASA得出ABCBDE即可。（2）利用垂直平分线的性质可以作出，或者利用正方形性质得出旋转中心也可。10. （2012江苏扬州10分）如图，在四边形ABCD中，ABBC，ABCCDA90，BEAD，垂足为E求证：BEDE【答案】证明：作CFBE，垂足为F， 21世纪教育网BEAD，AEB90。FEDDCFE90，CBEABE90，BAEABE90。BAECBF。四边形EFCD为矩形。DECF。在BAE和CBF中，CBEBAE，BFCBEA90，ABBC，BAECBF（AAS）。BECF。又CFDE，BEDE。【考点】全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】作CFBE，垂足为F，得出矩形CFED，求出CBFA，根据AAS证BAECBF，推出BECF即可。11. （2012广东河源7分）如图，AC是O的直径，弦BD交AC于点E(1)求证：ADEBCE；(2)若AD2ACAE，求证：BCCD【答案】证明：（1）A与B都是弧所对的圆周角， A=B， 又AED =BEC，ADEBCE。（2）AD2=AEAC，。又A=A，ADEACD。AED=ADC。又AC是O的直径，ADC=90。AED=90。直径ACBD，CD=CB。【考点】圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线上点的性质。【分析】（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得A=B，又由对顶角相等，可证得：ADEBCE。（2）由AD2=AEAC，可得，又由A是公共角，可证得ADEACD，又由AC是O的直径，可求得ACBD，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得CD=CB。12. （2012湖北随州10分）如图，已知直角梯形ABCD ,B=900。,ADBC,并且AD+BC=CD,O为AB的中点. (1)求证：以AB为直径的O与斜腰CD相切； (2)若OC=8 cm，OD=6 cm,求CD的长.【答案】解：（1）在CD上取中点F，连接OF， O为AB的中点，由梯形中位线可知OF=(AD+BC)，OFADBC。 又AD+BC=CD，OF=CD=CF。FOC=FCO。 又由OFBC得FOC=OCB，OCF=OCB。在CD上取点E，使DE=DA，则CE=CB。在OBC和OEC中，CE=CB，OCB=OCE，OC=OC，OBCOEC（SAS）。B=OEC，OE=OD。B=900, OEC=90。OECD。又O为AB的中点，OE=OD=OA为O的半径。以AB为直径的O与CD相切于E。（2）由（1）知，OF=CF=DF，O点在以CD为直径的F上。 COD=90。在RtCOD中，OD=6cm，OC=8cm，根据勾股定理得：。【考点】直角梯形的性质，梯形中位线定理，平行的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理。【分析】（1）在CD上取中点F，连接OF，由已知，根据梯形中位线定理和平行的性质，可由SAS得出OBCOEC，从而由B=900，证得OECD。由OE=OD=OA为O的半径得出以AB为直径的O与CD相切于E。（2）由（1）可知O点在以CD为直径的F上，根据直径所对的圆周角为直角得到DOC为直角，在直角三角形COD中，由OD与OC的长，利用勾股定理即可求出CD的长。 13. （2012湖北武汉8分）在锐角ABC中，BC5，sinA(1)如图1，求ABC外接圆的直径；(2)如图2，点I为ABC的内心，BABC，求AI的长。【答案】解：（1）作ABC的外接圆的直径CD，连接BD。 则CBD=900，D=A。 。 BC5，。 ABC外接圆的直径为。 （2）连接BI并延长交AC于点H，作IEAB于点E。 BA=BC，BHAC。IH=IE。 在RtABH中，BH=ABsinBDH=4，。 ， ，即。 IH=IE，。 在RtAIH中，。【考点】三角形外心和内心的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）作ABC的外接圆的直径CD，连接BD，由直径所对圆周角是直角的性质得CBD=900，由同圆中同弧所对圆周角相等得D=A，从而由已知，根据锐角三角函数定义即可求得ABC外接圆的直径。 （2）连接BI并延长交AC于点H，作IEAB于点E，由三角形内心的性质和角平分线的判定和性质，知IH=IE。在RtABH中，根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出BH=4和AH=3，从而由求得。在RtAIH中，应用勾股定理求得AI的长。14. （2012湖北荆门10分）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图已知图中ABCD为等腰梯形（ABDC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m设油罐横截面圆心为O，半径为5m，D=56，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积（参考数据：sin530.8，tan561.5，3，结果保留整数）【答案】解：如图，连接AO、BO过点A作AEDC于点E，过点O作ONDC于点N，ON交O于点M，交AB于点F则OFABOA=OB=5m，AB=8m，AF=BF=AB=4（m），AOB=2AOF，在RtAOF中，AOF=53，AOB=106。（m），由题意得：MN=1m，FN=OMOF+MN=3（m）。四边形ABCD是等腰梯形，AEDC，FNAB，AE=FN=3m，DC=AB+2DE。在RtADE中，DE=2m，DC=12m。（m2）。答：U型槽的横截面积约为20m2。【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。【分析】连接AO、BO过点A作AEDC于点E，过点O作ONDC于点N，ON交O于点M，交AB于点F，则OFAB。根据垂径定理求出AF，再在RtAOF中利用锐角三角函数的定义求出AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由即可得出结果。15. （2012湖北宜昌8分）如图，ABC和ABD都是O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点（1）求证：OFBD；（2）若，且O的半径R=6cm 求证：点F为线段OC的中点； 求图中阴影部分（弓形）的面积【答案】（1）证明：OC为半径，点C为的中点，OCAD。AB为直径，BDA=90，BDAD。OFBD。（2）证明：点O为AB的中点，点F为AD的中点，OF=BD。FCBD，FCE=DBE。FEC=DEB，ECFEBD，FC=BD。FC=FO，即点F为线段OC的中点。解：FC=FO，OCAD，AC=AO，又AO=CO，AOC为等边三角形。根据锐角三角函数定义，得AOC的高为。（cm2）。答：图中阴影部分（弓形）的面积为cm2。【考点】圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。【分析】（1）由垂径定理可知OCAD，由圆周角定理可知BDAD，从而证明OFBD。 （2）由OFBD可证ECFEBD，利用相似比证明BD=2CF，再证OF为ABD的中位线，得出BD=2OF，即CF=OF，证明点F为线段OC的中点；根据S阴=S扇形AOCSAOC，求面积。16. （2012湖北黄冈8分）如图，在ABC 中，BA=BC，以AB 为直径作半圆O，交AC 于点D.连结DB，过点D 作DEBC，垂足为点E.（1）求证：DE 为O 的切线；（2）求证：DB2=ABBE.【答案】证明：（1）连接OD、BD，则ADB=90（圆周角定理），BA=BC，CD=AD（三线合一）。又AO=BO，OD是ABC的中位线。ODBC。DEB=90，ODE=90，即ODDE。DE为O的切线。（2）BED=BDC =900，EBD=DBC，BEDBDC，。又AB=BC，。BD2=ABBE。【考点】切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接OD、BD，根据圆周角定理可得ADB=90，从而得出点D是AC中点，判断出OD是ABC的中位线，利用中位线的性质得出ODE=90，这样可判断出结论。（2）根据题意可判断BEDBDC，从而可得BD2=BCBE，将BC替换成AB即可得出结论。17. （2012湖北鄂州10分）如图，梯形ABCD是等腰梯形，且ADBC，O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆，交BC于E，过E作EHAB于H。 （1）求证：OEAB; （2）若EHCD，求证：AB是O的切线； （3）若BE=4BH，求的值。来源:Z+xx+k.Com【答案】解：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，B=C。OE=OC，OEC=C，B=OEC。OEAB。（2）证明：过点O作OFAB于点F，过点O作OGBC交AB于点G。AB=DC，B=C。OC=OE，OEC=C。OEC=B。OEGB。又EHAB，FOHE。四边形OEHF是平行四边形。OF=EH。又EH=CD，OF=CD，即OF是O的半径。AB是O的切线。（3）连接DE。CD是直径，DEC=90。DEC=EHB。又B=C，EHBDEC。BE=4BH，设BH=k，则BE=4k，CD=2EH=2。【考点】等腰梯形（三角形）的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）判断出B=OEC，根据同位角相等得出OEAB。（2）过点O作OFAB于点F，过点O作OGBC交AB于点G，证明OF是O的半径即可。（3）求出EHBDEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答。 18. （2012湖南长沙8分）如图，A，P，B，C是半径为8的O上的四点，且满足BAC=APC=60，（1）求证：ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD19. （2012湖南怀化10分）如图，已知AB是O的弦，OB=4，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交O于点D，连接AD、DB.（1）当=时，求的度数；（2）若AC=，求证ACDOCB.【答案】解：（1）连接OA，OA=OB=OD，=，OAB=OBC=30，OAD=ADC=18。DAB=DAOBAO=48。由圆周角定理得：DOB=2DAB=96。（2）证明：过O作OEAB于E，由垂径定理得：AE=BE。在RtOEB中，OB=4，OBC=30，OE=OB=2。由勾股定理得：BE=AE，即AB=2AE=。AC=，BC=，即C、E两点重合。DCAB。DCA=OCB=90。DC=ODOC=24=6，OC=2，AC=BC=。ACDOCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）。【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定。【分析】（1）连接OA，根据OA=OB=OD，求出DAO、OAB的度数，求出DAB，根据圆周角定理求出即可。（2）过O作OEAB于E，根据垂径定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得出ACD=OCB=90，求出DC长得出 ，根据相似三角形的判定推出即可。20. （2012湖南衡阳8分）如图，AB是O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BFCD交AD的延长线于点F，若AB=10cm（1）求证：BF是O的切线（2）若AD=8cm，求BE的长（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由【答案】解：（1）证明：CDAB，BFCD，BFAB。又AB是O的直径，BF是O的切线。 （2）如图1，连接BD。AB是O的直径，ADB=90（直径所对的圆周角是直角）。又DEAB，ADEABD。AD2=AEAB。AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm。BE=ABAE=3.6cm。（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形。理由如下：连接BC。四边形CBFD为平行四边形，BCFD，即BCAD。BCD=ADC（两直线平行，内错角相等）。BCD=BAD，CAB=CDB，（同弧所对的圆周角相等），CAB+BAD=CDB+ADC，即CAD=BDA，又BDA=90（直径所对的圆周角是直角），CAD=BDA=90。CD是O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆心O）。在OBC和ODA中，OC=OD，COB=DOA=90，OB=OA，OBCODA（SAS）。BC=DA（全等三角形的对应边相等）。四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形），ACB=90（直