课例大家评_评_数学归纳法的教学设计_.pdf

课例点评 课 例 大 家 评 评 数学归纳法的教学设计 编者按 课例大家评 是本刊 课例点评 栏目 1999 年推出的一项新举措 第 1 2 合期发表了两个课例后 许多老师寄来点评稿件 本期我们选择关于 数学归纳法的教学设计 具有典型性和代表性的点评文章集中发表 下一期将集中发表关于 尚未成功的课例 的点评文章 以飨读者 教有定律 教无定法 即使是同样的教学内容 不同的教师也会采取不同的教法 因此 我们发表这组点评 文章 旨在抛砖引玉 希望更多的读者参与评议和讨论 共同探讨教学规律 以促进大家不断丰富教学经验 提高 教学水平 同时 互相取长补短 逐步形成自己的教学风格 今后我们将继续举办 课例大家评 活动 欢迎广大读 者提供课例或参与点评 也希望大家对这一活动多提宝贵意见和建议 难点的突破技术 知识的形成过程 陕西师范大学 惠州人 数学归纳法是传统的教学难点和教研重点 但是 到底难在哪里 一共有几个主要难点 并不很清楚 因 而 全面突破难点的措施也就并不总是很得力 本刊知 心老师的教学设计 1999 年第 1 2 合期 表现出一 种突破徘徊局面的努力 我们认为有两个较明显的特 点 1 对难点的认识比较清醒 突破措施比较有效 2 注重知识的形成过程 学习环节比较完整 为了叙述上的方便 我们先对数学归纳法本身进 行分析 找出有哪些接受上的困难 然后看知心老师是 如何突破的 一 数学归纳法及其教学难点 1 数 学归纳法所说明的 是无穷个命 题 p 1 p 2 p 3 p n 恒为真 这是一个以数量 n 1 2 3 为自变量 而以命题真值为因变量的 命题值 函数 为了理解这样的函数 我们需要对先期存在的 函数概念作必要的推广 这就清楚地表明中学生在接 受上会有两个困难 难点 1 对象的无限性 这是一个很抽象的概念 我们不能一一检验p 1 p 2 p 3 p n 需 要找出一个好的办法来解决它 难点 2 作为认识这个抽象 对象 的必要基础 学 生对 命题值函数 的知识准备不足 把 归纳法 作为 数学归纳法 的知识生长点又不完全对口 这就使得 原有的认知结构很难直接同化 数学归纳法 2 为了说明无穷个 命题值函数 恒为真 这里提 供了一个全新的证明模式 分为两步 第一步 证明一个 真实的命题 p 1 真 它要解 决的是 命题的真实性 这个事实可以感知 一般情况 下不构成接受上的困难 第 二 步 证 明 一 个 有 效 的 推 理 p n p n 1 它要解决的是 传递的有效性 但很容易误 解为 证明 p n 1 的真实性 因而也就搞不清楚 为 什么需要证的结论 p n 真 可以作为证明 p n 1 真 的前提来运用 其实 这一步真正有作用的不是 p n 1 这个结论 而是推理过程本身 即前一号命题 p n 与后一号命题 p n 1 是否有 蕴涵关系 这事 实上又包含了一个着眼点的转移 由证 p n 真转移到 证一个蕴涵关系 这就使得接受 数学归纳法 除了要 对函数概念作出推广外 还需有关的逻辑知识 这也是 学生不完全具备的 难点 3 对数学归纳法第二步的真实作用不够明 确 所需要的逻辑知识不完全具备 3 有了这两步之后 我们就建立起了这样一个推 理格式 p n 真且 p n p n 1 进而 推理反复进行 得到一个真值的传递关系 p 1 真 第二步 p 2 真 第二步 p 3 真 第二步 所以 数学归纳法是一个无穷递推过程 但是在具体使 22 中学数学教学参考 1999 年第 5 期 用中 人们并不总是停留于具体的过程 而是把它看成 一种十分明确的证明方法 动态的过程表现为静态的 描述 完成第一 二步 则无穷个命题 p 1 p 2 p 3 恒为真 由于在这个静态的描述中隐去了本 来就不太好理解的逻辑过程 这就使得学生在接受上 更充满迷惑 由第一 二步得出结论可靠吗 做第一步 时总想多验证几个具体数值 做完第一 二步后总感到 不放心 甚至放弃归纳假设 p n 真 直接去证p n 1 真 当然 这也反映了对第二步的作用不理解 难点 4 对数学归纳法反复使用递推格式 不够 理解 对无穷递推 传递 的过程 不够清楚 难点 5 具体使用数学归纳法是一种全新的证明 格式 它的掌握需要一个过程 尤其对第二步的证明更 感陌生 不知道如何使用 甚至不使用 归纳假设 不能 自觉寻找 p n 1 与 p n 的递推关系 由上面的分析可以清楚看到 数学归纳法内容抽 象 思想新颖 结构复杂 加上学生原有的认知结构对 于同化 数学归纳法 无论是数学知识还是逻辑知识都 不够充分 所以 这是一个难点非常集中的深奥课题 我们自己的经验表明 对数学归纳法的掌握长期停留 在 形式 上 例如 用数学归纳法证明不等式 Sn 1 1 2 1 2n 1 2 时 只会用递推关系 证第二步时 Sk 1 Sk ak 1 2 ak 1 但怎么也证不出来 而不会用 Sk 1 1 1 2 Sk 1 1 2 2 2 二 难点的突破技术 从知心老师的教学设计看 他对数学归纳法的教 学难点是心中有数的 因而 许多措施都直接瞄准我们 上面提到的 5 个难点 并且 在突破难点时 他不是逐 一进行的 而是从整体上作综合处理 毕竟 各个难点 之间不是孤立的 也不是难度等值的 我们来谈较突出 的两方面处理 1 关于原有的认知结构同化数学归纳法存在数学 知识和逻辑知识上准备不足的困难 知心老师从具体 到抽象 从特殊到一般 设计了知识形成的完整过程 可以细分为 4 步 1 直接从生活经验中提炼数学归纳法的基本结 构 接受摆砖游戏 或鞭炮 烽火台 多米诺骨牌 学生 不会有困难 因而 第一次提炼是可以完成的 但这还 不是数学归纳法 具有必要因素的问题情景 2 立即使用这样的结构去解决具体数学问题 例 1 例 2 暴露数学归纳法证题的直观过程 并作第二 次提炼 得出数学归纳法 这样的全程显示 有助于解 决难点 4 也使我们看到了数学归纳法证题的概貌 第一步是正确性的基础 验证 p 1 真 第二步是传递性的依据 证明从前一号命题 p n 到后一号命题 p n 1 有传递性 第三步是传递的过程 即 式 第四步是传递的结论 即由第三步无穷传递下去 可得p n 对一切正整数n都成立 这 4 步不是对数学归纳法的证明 但直观地说明 了数学归纳法的递推过程 当中传递过程的具体化 p 1 真 第二步 p 2 真 第二步 p 3 真 第二步 能使我们清楚地看到第一步与第二步在功能上有不同 的分工 但又缺一不可 服务于同一目的 这对化解难 点 1 至难点 4 都有积极作用 3 正式命名数学归纳法之后 在上述 4 个步骤的 基础上 进一步认识数学归纳法的条件与结论 并总结 出数学归纳法证恒等式f n g n 第二步 的基本 方法 这相当于证明一个条件等式 已知 f k g k 求证 f k 1 g k 1 证明 f k 1 F f k k 找出递推关系 F g k k 代入归纳假设 g k 1 进行恒等变形 这种初步的程序 有化解难点 5的积极作用 4 通过具体的练习 巩固这个新方法 或新概 念 使之纳入到学生自己的知识体系中去 形成新的 认知结构 与原有的解题方法并列 2 关于 无穷递推合理性 的突破技术 采取了 3 项措施 1 暗示 想象无穷 思维具有间接性 概括性 在摆砖游戏的思维实验 中 设想 摆砖从教室摆到操场 从学校摆到街道 从中 国摆到外国 所有这些砖块都按照 前砖碰倒后砖 的规格 没完没了地摆下去 那么你一个人还能不能一 块又一块地去推倒这所有的砖块 这就是充分发挥人 的思维的作用 1 用肉眼看不见的地方来暗示 无穷 2 用不断增加的大数量来想象 无穷 2 直观显示无穷 即将数学归纳法直观地分成 4 步 其中的第三步 即 式 能使我们看到p 1 的正确性是如何有效地 一步一步传递下去 以至于无穷的 当然 这里也离不 开思维的想象 但式 为想象的展开提供了形象 3 反证法说理间接肯定无穷递推的合理性 即 数学归纳法可靠性的解释 其实质是用 最小 数原理 去证实 数学归纳法 这也就表明 凡能用数 学归纳法证明的命题 都可改写为反证法 但出于量 力性的考虑 只是举例说明 这 3 点措施 对于化解难点 1 与难点 4 都有积极 的作用 并且有助于从整体上理解数学归纳法 23 中学数学教学参考 1999 年第 5 期 三 几个建议 从字面看知心老师的这篇设计确实有很多优点 但拿到课堂上是否行得通 恐怕还需要实践检验 1 因为这是教师的教学设计 所以学生的活动还 没有充分反映出来 在真实的教学中 还存在一个如何 调动学生的问题 2 全文有一个引进 三个例子 两个正例 一个反 例 三个练习 其中的例 1 例 2 均使用了两次 用途 不同 这样的容量会不会大 如果大的话 可把数学归 纳法可靠性的解释移到下一节 3 第 1 次布置作业 其第 1 题不妨要求学生先按 4 步来书写 直到学生感到第 3 步 千篇一律 纯属多 余 之后 从第 2 题开始按标准格式书写 4 掌握一个新方法 或新概念 既需要正例也需要 反例 特别是误用数学归纳法的表现很多 在后续课中 有必要出现来自学生作业的错例分析 从 数学归纳法 课的特点 看 数学归纳法的教学设计 湖北省武汉市教研室 裴光亚 数学归纳法是数学中重要而基本的方法 用以证 明特定的命题 与自然数有关 且具有递推性 又有固 定的程式 但对初学这一内容的学生而言 却是一个陌 生的课题 此前 学生既进行过大量的几何论证 也接 触过与函数 不等式有关的代数论证 其证明思路和表 达方式都类似于日常生活中的推理 容易被学生理解 而数学归纳法却完全不同 学生也许从来没有想过可 以这样来说明一件事的真实性 这也叫 证明 吗 为什 么证明了 两个步骤 就可以断言命题对一切自然数 n 都成立呢 为什么只须验证 n 1 的情况呢 为什么可 以 假设 n k 时结论正确 呢 正是这些困惑 构成了 教学的难点 消除这些困惑 理解数学归纳法的实质 就成为教学的关键 数学归纳法的教学设计 以下称 设计 抓住了 这个关键 首先 设计 不是把 方法 直接交给学生 而是寻 求感性经验的支持 让学生体验数学归纳法的形成过 程 这里采取了两项措施 一是借助 生活经验 通过 推倒砖块 的实验 为 递推原理 两个步骤 的必要 性 以及 数学归纳法 的应用前提和场合提供了形象 化的参照物 为理解数学归纳法作了感性上的铺垫 二 是突出 传递过程 设计 第二部分把证明分为四步 即在 递推基础 递推依据 后加进了 递推过程 这 实际上是 数学归纳法 的一种直观解释 人教社 1990 年 10 月版的必修本教材在例 1 的证明中也有这段叙 述 但附在 结论 中 其教学价值往往没有引起人们的 重视 本 设计 对这一步先 引 后 删 强化了它的解 读功能 第二 设计 不是让 框架 即数学归纳法的固定 程式 充塞学生的头脑 而是通过深入的剖析和理性的 解释 来促进学生理解数学归纳法的认识过程 这里有 三个层次 一是 两个步骤 由 四步 归结而来 除前述 意义外 既阐明了实质 又突出了 两个步骤 的作用 二是对 两个步骤 进行剖析 揭示各自的作用和方法 特别是把每一步骤中的 推理格式 归结为以前的推 理模式 以促进知识的同化过程 三是对 可靠性 给出 解释 进一步消除疑虑 以加强学生对 数学归纳法 的 认同感 第三 从 设计 的整个结构来看 先唤起学生的生 活经验 再让学生初步体验 最后形成正确的认识 并 通过进一步辨析完善这种认识 基本上体现了从感性 到理性 从粗糙到精确的过程 特别是第一部分的构 思 设计者为 数学归纳法 教学中的每个关节都建立 起了 形象 对应物 其中关于 推砖实验 提及的每一 个问题实际上是数学归纳法教学中必须提出和解决的 相应问题 设计者的意图非常明确 试图为理解数学归 纳法提供完备的感性材料 因此 可以这样说 设计者把握了数学归纳法课的 特点 围绕 理解数学归纳法实质 这个关键 进行了全 面的构思 同样 也为我们留下了一些值得思考的问 题 1 应该何时引进 生活经验 换言之 一开始就 引进 生活经验 是否恰当 当教师展示这段 思维实 验 的时候 学生既不可能认识到 经验