陕西省宝鸡市高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

陕西省宝鸡市2015届高考 数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）1已知，如图所示，全集u，集合m=z（整数集）和n=xn|lg（1x）1，则图中阴影部分所示的集合的元素共有( )a9个b8个c1个d无穷个2若，则实数m的值为( )ab2c1d3扇形aob的半径为1，圆心角为90，点c、d、e将弧ab分成四等分，连结oc、od、oe，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰好为的概率是( )abcd4若（x2+）n展开式中的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )a1215b9c27d15同时具有性质：最小正周期是；图象关于直线x=对称的一个函数是( )ay=cos（）by=sin（2x）cy=cos（2x）dy=sin（2x+）6下列说法中，正确的是( )a命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题b命题“存在xr，2x0，”的否定是：“任意xr，2x0”c命题p或q为真命题，则命题p和命题q均为真命题d命题p且q为真命题，则命题p和q命题至少有一个是真命题7正方体的内切球和外接球的表面积之比为( )a3：1b3：4c4：3d1：38设sn为等差数列an前项和，s6=3a3，a6=2，则a8=( )a6b2c4d29在平面直角坐标系xoy中，不等式组，所表示平面区域的外接圆面积等于( )a8bc4d210如图，abc中，|=3，|=1，d是bc边中垂线上任意一点，则（）的值是( )a1bc2d411设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a2）x的导函数是f（x），且f（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为( )ay=4xby=3xcy=3xdy=2x12已知函数f（x）=，其中表示不超过实数x的最大整数，如=2，=1，若，则f（x）的值域为( )a0，1，2b0，1，2，3c2，1，0d1，0，1，2二、填空题（每小题5分）13执行如图所示的程序框图，输出结果s的值是_14已知数列an满足log3an+1=log3an+1（nn），且a2+a4+a6=9，则logb（a5+a7+a9）的值等于_15若z=sin+i（cos），z是纯虚数，则tan（）=_16“无字证明”（proofswithoutwords）就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用下面两个三角形（acd和ecd）的面积关系，写出高中数学中的一个重要关系式：_三、解答题17abc中，角a、b、c对边分别是a、b、c，满足2=a2（b+c）2（）求角a的大小；（）求2cos2sin（b）的最大值，并求取得最大值时角b、c的大小18如图，已知三棱柱pa1b1c1中，侧棱与底面垂直，ab=bc=2aa1，abc=90，m是bc的中点（1）求证；a1b平面amc1；（2）求直线cc1与平面amc1所成角的正弦值19下表是我市2014年12月18日至31日的空气质量指数统计表，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，假设此期间恰逢本市创建“全国文明城市”验收评估，专家组随机选择12月18日至29日的某一天到达本市，并住留3天（包括到达的当天） 日期18192021222324空气质量指数794560155210209160日期25262728293031空气质量指数90781501239690180（1）请作出18日至31日的空气质量指数变化趋势的拆线图，并由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）（2）设x表示专家组停留期间空气质量优良的天数，求x的分布列和数学期望20设椭圆c1与抛物线c2的焦点均在x轴上，c1的中心及c2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：x324y204（1）求曲线c1、c2的标准方程；（2）设直线l过抛物线c2的焦点f，l与椭圆交于不同的两点m，n，当=0时，求直线l的方程21已知函数f（x）=lnxax2bx（i）当a=1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（）若f（x）的图象与x轴交于a（x1，0），b（x2，0）（x1x2）两点，且ab的中点为c（x0，0），求证：f（x0）0四、选修题选修4-1：几何证明选讲22如图所示，已知圆o1与圆o2相交于a、b两点，过a点作圆o1的切线交圆o2于点c，过点b作两圆的割线，分别交圆o1、圆o2于点d、e，de与ac相交于点p（1）求证：adec；（2）若pa=6，pc=2，bd=9，求pe的长23【选修44：坐标系与参数方程】（1）求点m（2，）到直线=上点a的距离的最小值（2）求曲线关于直线y=1对称的曲线的参数方程24已知a，b均为正数，且a+b=1，证明：（1）（ax+by）2ax2+by2（2）（a+）2+（b+）2陕西省宝鸡市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）1已知，如图所示，全集u，集合m=z（整数集）和n=xn|lg（1x）1，则图中阴影部分所示的集合的元素共有( )a9个b8个c1个d无穷个考点：venn图表达集合的关系及运算 专题：集合分析：由韦恩图中阴影部分表示的集合为mn，然后利用集合的基本运算进行求解即可解答：解：n=xn|lg（1x）1=xn|01x）10=xn|9x1=0，由韦恩图中阴影部分表示的集合为mn，mn=0，有一个元素，故选：c点评：本题主要考查集合的基本运算，利用韦恩图确定集合关系，然后利用集合的运算确定交集元素即可2若，则实数m的值为( )ab2c1d考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差，由积分值为0求得m的值解答：解：=，m=故选：d点评：本题考查了定积分，关键是求出被积函数的原函数，是基础题3扇形aob的半径为1，圆心角为90，点c、d、e将弧ab分成四等分，连结oc、od、oe，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰好为的概率是( )abcd考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：图中共有10个不同的扇形，其中面积为的扇形（即相应圆心角恰为的扇形）共有3个，故选a解答：解：依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形aob，aoc，aod，aoe，eob，eoc，eod，doc，dob，cob，r=1其中面积为的扇形（即相应圆心角恰为的扇形）共有3个：aod，eoc，bod，即扇形因此所求的概率等于，故选：a点评：本题考查了几何概型，确定基本事件个数和事件发生个数是关键4若（x2+）n展开式中的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )a1215b9c27d1考点：二项式系数的性质 专题：计算题；二项式定理分析：利用二项式的系数和列出方程求出n，再利用二项展开式的通项公式求出x的指数为0的项，即得展开式的常数项解答：解：（x2+）n展开式中的二项式系数之和为64，2n=64，解得n=6；展开式的通项公式为tr+1=（x2）6r=3rx123r，令123r=0，解得r=4；常数项为t4+1=34=8115=1215故选：a点评：本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题，也考查了二项式系数的应用问题，是基础题目5同时具有性质：最小正周期是；图象关于直线x=对称的一个函数是( )ay=cos（）by=sin（2x）cy=cos（2x）dy=sin（2x+）考点：正弦函数的对称性；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件根据函数y=asin（x+）的周期性和图象的对称性，逐一判断各个函数的周期性和图象的对称轴方程，从而得出结论解答：解：由于y=cos（）的周期为=4，不满足条件，故排除a对于函数y=sin（2x），它的周期为=，当x=时，函数取得最大值为1，故图象关于直线x=对称，故满足条件对于函数y=cos（2x），它的周期为=，当x=时，函数值为0，不是最值，故图象不关于直线x=对称，故不满足条件对于函数y=sin（2x+），它的周期为=，当x=时，函数值为，不是最值，故图象不关于直线x=对称，故不满足条件故选：b点评：本题主要考查函数y=asin（x+）的周期性和图象的对称性，属于基础题6下列说法中，正确的是( )a命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题b命题“存在xr，2x0，”的否定是：“任意xr，2x0”c命题p或q为真命题，则命题p和命题q均为真命题d命题p且q为真命题，则命题p和q命题至少有一个是真命题考点：命题的真假判断与应用 专题：综合题；推理和证明分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论解答：解：对于a，逆命题是：若ab，则am2bm2，当m=0时，结论不成立，故a错；对于b，命题“存在xr，2x0，”的否定是：“任意xr，2x0”，正确；对于c，命题p或q为真命题，则命题p和命题q，一真一假，故错误；对于d，命题p且q为真命题，则命题p和q命题都是真命题，故错误故选：b点评：本题考查四种命题、全称命题及特称命题的真假判断，要弄清条件和结论再解决问题7正方体的内切球和外接球的表面积之比为( )a3：1b3：4c4：3d1：3考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：设出正方体的棱长，利用正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，分别求出半径，即可得到结论解答：解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是aa=2r内切球，r内切球=，a=2r外接球，r外接球=，r内切球：r外接球=1：正方体的内切球和外接球的表面积之比为1：3故选：d点评：本题是基础题，本题的关键是正方体的对角线就是外接球的直径，正方体的棱长是内切球的直径，考查计算能力8设sn为等差数列an前项和，s6=3a3，a6=2，则a8=( )a6b2c4d2考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出解答：解：设等差数列an的公差为d，s6=3a3，a6=2，=3（a1+2d），a1+5d=2，解得a1=3，d=1则a8=37=4，故选：c点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，属于基础题9在平面直角坐标系xoy中，不等式组，所表示平面区域的外接圆面积等于( )a8bc4d2考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：不等式的解法及应用分析：根据已知和图形可知，不等式组围成的平面区域是一个直角三角形，分别求出外接圆的圆心和半径即可得到圆的方程解答：解：根据题意可知不等式组表示的平面区域为直角oab，其中oa为直径，a（0，4），则直径2r=4，则圆的半径为r=2，则外接圆面积s=22=4故选：c点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键10如图，abc中，|=3，|=1，d是bc边中垂线上任意一点，则（）的值是( )a1bc2d4考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：由d是bc边中垂线上任意一点，不妨取bc的中点，则（）=，代入可求解答：解：d是bc边中垂线上任意一点，不妨取bc的中点即可又|=3，|=1，（）=故选d点评：本题主要考查了向量的数量积的表示，注意解答本题的方法：一般问题特殊化的应用11设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a2）x的导函数是f（x），且f（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为( )ay=4xby=3xcy=3xdy=2x考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算 专题：导数的概念及应用；直线与圆分析：求出函数的导数，由函数的奇偶性定义，可得a=0，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程解答：解：函数f（x）=x3+ax2+（a2）x的导函数是f（x）=3x2+2ax+a2，由f（x）是偶函数，即有f（x）=f（x），即为3x22ax+a2=3x2+2ax+a2，可得a=0，即有f（x）=x32x，f（x）=3x22，即有曲线y=f（x）在原点处的切线斜率为2，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=2x，故选d点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性，正确求导是解题的关键12已知函数f（x）=，其中表示不超过实数x的最大整数，如=2，=1，若，则f（x）的值域为( )a0，1，2b0，1，2，3c2，1，0d1，0，1，2考点：函数的值域 专题：函数的性质及应用分析：先对x的取值进行分类讨论，从而求出：，1x0，0x1，然后求出对应的x的范围，从而求出x的范围，进而求出f（x）的取值，从而求得f（x）的值域解答：解：时，=2，2x3，f（x）=2；1x0时，=1，0x1，f（x）=0；0x1时，=0，x=0，f（x）=0；1x时，=1，1，f（x）=1；f（x）的值域为0，1， 2故选a点评：考查对定义的理解，为求x的范围，从而需对x的取值进行分类讨论的方法，以及函数值域的概念二、填空题（每小题5分）13执行如图所示的程序框图，输出结果s的值是考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s的值，当i=100时，不满足条件i100，退出循环，输出s为解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=0a1=，s=满足条件i100，i=2，a2=，s=+满足条件i100，i=3，a3=，s=+满足条件i100，i=100，a100=，s=+不满足条件i100，退出循环，输出s=+=+（+）=+（）=故答案为：点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，其中用裂项法求s的值是解题的关键，属于基本知识的考查14已知数列an满足log3an+1=log3an+1（nn），且a2+a4+a6=9，则logb（a5+a7+a9）的值等于5考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由数列递推式可得数列log3an为以log3a1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后进一步得到数列an是以a1为首项，以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得log3（a5+a7+a9）的值解答：解：log3an+1=log3an+1（nn），log3an+1log3an=1，则数列log3an为以log3a1为首项，以1为公差的等差数列，log3an=log3a1+（n1）=，则，即数列an是以a1为首项，以3为公比的等比数列，又a2+a4+a6=9，a5+a7+a9=933=35，log3（a5+a7+a9）=故答案为：5点评：本题考查了数列递推式，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题15若z=sin+i（cos），z是纯虚数，则tan（）=7考点：复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的概念即可得到结论解答：解：z是纯虚数，cos0且sin=0，即cos且sin=，则cos=，故tan=，则tan（）=，故答案为：7点评：本题主要考查复数的有关概念以及两角和的正切公式的计算，比较基础16“无字证明”（proofswithoutwords）就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用下面两个三角形（acd和ecd）的面积关系，写出高中数学中的一个重要关系式：考点：进行简单的合情推理 专题：推理和证明分析：由三角形相似把ab的长度用a，b表示，然后利用三角形acd的面积小于等于三角形ecd的面积得到不等式解答：解：由图可知：ab2=ab，则，而，由sacdsecd，得（当且仅当a=b时等号成立），故答案为：点评：本题考查了数形结合证明基本不等式，考查了学生的推理能力，是中档题三、解答题17abc中，角a、b、c对边分别是a、b、c，满足2=a2（b+c）2（）求角a的大小；（）求2cos2sin（b）的最大值，并求取得最大值时角b、c的大小考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域 专题：计算题分析：（）通过化简向量的表达式，利用余弦定理求出a的余弦值，然后求角a的大小；（）通过a利用2012年6月7日 17：54：00想的内角和，化简为c的三角函数，通过c的范围求出表达式的最大值，即可求出最大值时角b、c的大小解答：解 （）由已知，化为2bccosa=a2b2c22bc，由余弦定理a2=b2+c22bccosa得4bccosa=2bc，0a，（），=，当c+=，取最大值，解得b=c=点评：本题借助向量的数量积考查余弦定理以及三角函数的最值，考查计算能力18如图，已知三棱柱pa1b1c1中，侧棱与底面垂直，ab=bc=2aa1，abc=90，m是bc的中点（1）求证；a1b平面amc1；（2）求直线cc1与平面amc1所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）证明线面平行，可以利用线面平行的判定定理，只要证明 a1bom可；（2）可判断ba，bc，bb1两两垂直，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面amc1的法向量、直线cc1的阐释，向量，代入向量夹角公式，可求直线cc1与平面amc1所成角的正弦值解答：（1）证明：连接a1c，交ac1于点o，连接omabca1b1c1是直三棱柱，四边形acc1a1为矩形，o为a1c的中点又m为bc中点，om为a1bc中位线，a1bom，om平面amc1，a1b平面amc1，a1b平面amc1（2）解：由abca1b1c1是直三棱柱，且abc=90，故ba，bc，bb1两两垂直可建立如图空间直角坐标系bxyz设ba=2，则b（0，0，0），c（2，0，0），a（0，2，0），c1（2，0，1），m（1，0，0）则=（1，2，0），=（2，2，1），设平面amc1的法向量为=（x，y，z），则有所以取y=1，得=（2，1，2）又=（0，0，1）直线cc1与平面amc1所成角满足sin=故直线cc1与平面amc1所成角的正弦值为点评：本题考查线面平行，考查线面夹角，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确运用向量的方法解决线面角、线线角19下表是我市2014年12月18日至31日的空气质量指数统计表，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，假设此期间恰逢本市创建“全国文明城市”验收评估，专家组随机选择12月18日至29日的某一天到达本市，并住留3天（包括到达的当天） 日期18192021222324空气质量指数794560155210209160日期25262728293031空气质量指数90781501239690180（1）请作出18日至31日的空气质量指数变化趋势的拆线图，并由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）（2）设x表示专家组停留期间空气质量优良的天数，求x的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（i）仔细阅读表格判断即可（ii）确定x的所有取值有：0，1，2，3求解p（x=0）=p（x=1）=，p（x=2）=p（x=3）=，列出分布列，运用数学期望求解即可解答：解：（i）如下图：12月20日开始连续3天的空气质量指数方差最大（ii）x的所有取值有：0，1，2，3p（x=0）=p（x=1）=，p（x=2）=p（x=3）=， x 0 1 2 3 pe（x）=0=点评：本题综合考查了概率在解决实际问题中的应用，仔细阅读题意，准确计算概率，列出分布列，难度不大，属于中档题20设椭圆c1与抛物线c2的焦点均在x轴上，c1的中心及c2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：x324y204（1）求曲线c1、c2的标准方程；（2）设直线l过抛物线c2的焦点f，l与椭圆交于不同的两点m，n，当=0时，求直线l的方程考点：抛物线的标准方程；椭圆的标准方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题意（2，0），一定在椭圆c1上，设c1方程为（ab0），可得a=2于是椭圆c1上任何点的横坐标|x|2可判断点（，）也在c1上，代入椭圆方程即可解得b2，因此得到椭圆的方程从而（3，2），（4，4）一定在抛物线c2上，设c2的方程为y2=2px（p0），把其中一个点的坐标代入即可得出（2）假设直线l过c2的焦点f（1，0）分类讨论：当l的斜率不存在时，得出m，n的坐标，然后验证是否满足=0，即可，当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k（x1）代入c1方程并整理可得根与系数的关系，利用=0，可得k的值即可解答：解：（1）由题意（2，0），一定在椭圆c1上，设c1方程为（ab0），则a=2，椭圆c1上任何点的横坐标|x|2（，）也在c1上，代入椭圆方程，解得b2=1，c1的方程为+y2=1从而（3，2），（4，4）一定在抛物线c2上，设c2的方程为y2=2px（p0），可得（4）2=2p4p=2，即c2的方程为y2=4x（2）假设直线l过c2的焦点f（1，0）当l的斜率不存在时，则m（1，），n（1，）此时=1=0，与已知矛盾 当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k（x1）代入c1方程并整理得，（1+4k2）x28k2x+4k24=0直线l过椭圆内部（1，0）点，故必有两交点 设m（x1，y1），n（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=y1y2=k（x11）k（x21）=k2（x1x2x1x2+1）=，=0，x1x2+y1y2=0，k24=0，k=2，存在符合条件的直线l且方程为y=2（x1）点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积与向量垂直的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知函数f（x）=lnxax2bx（i）当a=1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（）若f（x）的图象与x轴交于a（x1，0），b（x2，0）（x1x2）两点，且ab的中点为c（x0，0），求证：f（x0）0考点：函数的单调性与导数的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：计算题；综合题；转化思想分析：（i）将f（x）在（0，+）上递增，转化成f（x）0对x（0，+）恒成立，即b+2x对x（0，+）恒成立，只需b即可，根据基本不等式可求出 ；（ii）根据f（x）的图象与x轴交于a（x1，0），b（x2，0）（x1x2）两点，得到，两式相减，可得，利用中点坐标公式和导数，即可证明结论解答：解：（）依题意：f（x）=lnx+x2bxf（x）在（0，+）上递增，f（x）=+2xb0对x（0，+）恒成立即b+2x对x（0，+）恒成立，只需bx0，+2x2 当且仅当x=时取“=”，b2 ，b的取值范围为（，2 ；（ii）证明：由已知得，即，两式相减，得：，由f（x）=2axb及2x0=x1+x2，得f（x0）=2ax0b=，令t=（0，1），且（t）=，（t）=，（t）是（0，1）上的减函数，（t）（1）=0，又x1x2，f（x0）0点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了转化与划归的思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题四、选修题选修4-1：几何证明选讲22如图所示，已知圆o1与圆o2相交于a、b两点，过a点作圆o1的切线交圆o2于点c，过点b作两圆的割线，分别交圆o1、圆o2于点d、e，de与ac相交于点p（1）求证：adec；（2）若pa=6，pc=2，bd=9，求pe的长考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；推理和证明分析：（1）连接ab，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到bac=d，又根据同弧所对的圆周角相等得到bac=e，等量代换得到d=e，根据内错角相等得到两直线平行即可；（2