【志鸿优化设计】九年级数学下册 26.3 圆的确定讲解与例题 沪科版(1).doc

圆的确定1过已知点作圆由圆的定义可知，作圆需两个要素：一个是圆心，另一个是半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小由于作圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定了，所以作过已知点的圆的问题，就是找圆心的问题(1) 经过一点的圆(2)以这个点外任意一点为圆心，以这一点与已知点的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个如图，过点a的圆有无数个(2)经过两点的圆以连接两点的线段的垂直平分线上的任意一点为圆心，以这一点和已知两点中任意一点的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数个如图，过a，b两点的圆也有无数个(3)经过三点的圆经过在同一直线上的三点不能作圆过不在同一直线上的三个点可以作且只可以作一个圆具体作法如下：(如下图所示)已知：不在同一条直线上的三点a，b，c.求作：o，使它经过点a，b，c.作法：连接ab，作线段ab的垂直平分线ef；：连接bc，作线段bc的垂直平分线mn，与ef交于点o；：以交点o为圆心，以oa为半径作圆则o就是所求作的圆【例1】如图，aob和角的内部有一点m，求作圆心在aob的边上，且经过点o和点m的圆，这样的圆能作几个？分析：过两点o，m的圆的圆心应满足到点o，m的距离相等，所以圆心在线段om的垂直平分线上，圆心同时又在aob的边上，所以圆心是线段om的垂直平分线与aob两边oa，ob的交点，故可作两个圆解：如下图，连接om，作线段om的垂直平分线分别交oa，ob于点o1，o2.分别以o1，o2为圆心，以o1o，o2o为半径作圆，o1，o2即为所求作的圆这样的圆有两个2确定圆的条件定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆(1)“不在同一直线上”是该定理成立的前提“确定”一词应理解为“有且只有”，表示存在和唯一；(2)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出三条线段的垂直平分线事实上，这三条线段的垂直平分线交于同一个点【例2】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是()a第块 b第块c第块 d第块解析：由不在同一直线上的三个点可以确定一个圆可知，要配到与原来大小一样的圆形玻璃，必须找到圆上的三个点显然，小明带到商店去的应是一块能确定其圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的玻璃碎片，图中的4块碎玻璃只有才能找到符合要求的圆上的三个点，因此所带的玻璃碎片应是第块(如图)，故选b答案：b3三角形的外接圆(1)经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆这个三角形叫做圆的内接三角形如图所示，abc是o的内接三角形，o是abc的外接圆(1)要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指三角形外，“内”是指圆内；(2)三角形的外接圆和圆的内接三角形是针对上述同一个图形而言的，从不同角度的两种不同的说法(2)外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心它到三角形三个顶点的距离都相等，即为外接圆的半径因此，只要三角形确定了，它的外心及外接圆半径也随之确定了三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合【例3】如图所示，在等腰abc中，abac13 cm，bc10 cm.求abc的外接圆的半径分析：根据三角形外接圆的性质作辅助线构造出abc的外接圆的圆心与半径然后运用勾股定理构造方程，并通过解方程得出结论解：过a点作adbc，垂足为点d，设o是abc的外心，连接ob，则oa，ob是abc的外接圆的半径，可设oaobx cm.abac，bdcd5 cm.在rtabd中，由勾股定理得：ad12(cm)，od(12x) cm.在rtbod中，由勾股定理得：ob2od2bd2，x252(12x)2，解得x，即abc的外接圆的半径为 cm.4三角形的外心的位置与三角形形状的关系不同类型的三角形其外心的位置不同，如图所示：(1)锐角三角形：由于三边的垂直平分线的交点在三角形的内部，故锐角三角形的外心在三角形的内部(2)直角三角形：由于直角三角形三边的垂直平分线的交点是斜边的中点，故直角三角形的外心就是斜边的中点(3)钝角三角形：由于钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形的外部，故钝角三角形的外心在三角形的外部【例4】如图，o是等边三角形abc的外接圆，o的半径为2，则等边三角形abc的边长为()a b c2 d2解析：连接ob，过点o作odbc，在rtobd中，ob2，obd30，od1.由勾股定理，得bd.bc2bd2.答案：c5经过四点的圆(1)四点中有三个点在同一条直线上，则过这四个点无法作圆(2)经过不在同一条直线上的四点，用三条线段顺次将这四个点连接起来，分别作这三条线段的垂直平分线，如果这三条垂直平分线交于一点，则有经过四点的圆，否则没有(3)要判定四个点是否共圆，只要看能否找到一点到这四个点的距离都相等即可【例5】如图，在锐角三角形abc中，bd，ce为高，求证：b，c，d，e四点在同一个圆上分析：利用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”证明