综合与实践面积与代数恒等式.doc

华东师大版八年级上册实践与探索面积与代数恒等式教学案例泽州县巴公镇中学校 秦海霞教学目标：知识与技能：1、通过对几何图形的面积关系的观察、分析、研究，从中抽象、归纳出一些代数恒等式；2、根据代数恒等式的特点，设计相应的图形验证其正确性；3、体会数量关系与图形之间的内在联系，体会数形结合的数学思想。过程与方法：学生经历探索、讨论、交流、应用的过程，发展数学思维能力，获得一些研究问题和解决问题的经验和方法。情感态度价值观：通过学生之间的交流与合作，培养学生在独立思考问题的基础上，能尊重与理解他人意见，体验成功的喜悦，建立自信心。教学重点：从图形面积到代数恒等式；教学难点：从代数恒等式到图形面积。教学准备：正方形、长方形卡片若干教学流程：课前热身：孩子们大家困吗？请大家跟我一起做，大拇指和中指敲击是小雨，两手轮拍大腿是中雨，大力鼓掌是大雨，跺脚是暴雨。请听口令，现在开始下起了淅淅沥沥的小雨，小雨渐渐变成了中雨，中雨变成了大雨，大雨变成了暴雨，暴风雨减弱变成了大雨，大雨变成了中雨，又逐渐变成了小雨，最后雨过天晴了。刚才我们一起演奏了一曲雨点变奏曲，看大家已经精神了很多。一、创设情境，引入新课师：同学们好，大家玩过拼图吗？ 生：玩过。师：请大家试一试，利用手中的纸片，发挥你的想象，来拼图。大家可以一个人拼，也可以两三人一块拼或者小组拼出一幅图。活动一：学生小组内进行拼图，选部分作品，请学生放到黑板上或者展台上。师：我们一起来欣赏每个组的拼图。请看这幅图，是什么呢？ 生：长方形。师：这幅图呢？ 生：正方形。师：假设拼图所用的纸片的各边分别为大正方形边长为a；长方形长为a，宽为b；小正方形的边长为b. 那么拼图的面积可以如何表示呢？（出示幻灯片）如何解释所列出的面积表示式呢？aababb2、欣赏所拼的图形，如何表示它们的面积？为什么？ 图1 图2生：图1面积表示为，它可以看作是一个边长为的大正方形；生：图1面积还可以表示为，它可以看作是由一个边长为的正方形、一个边长为的正方形和两个长为，宽为的长方形组成的。（师板书代数式）师：解释得非常正确，那么这两个代数式相等吗？生：相等。师：为什么？生：它们表示的是同一个图形的面积，因此它们是相等的。师：请看这个小组拼的图形，它的面积可以如何表示呢？生：它可以看作是一个长为，宽为的长方形，面积表示为；也可以看作是由一个边长为的正方形和一个长为，宽为的长方形组成的，面积表示为。（师板书代数式）师：这两个代数式相等吗？生：相等。师：3、像上述这种，无论字母取什么值，左边恒等于右边的式子，叫做代数恒等式。师：不论、为何值时，左边的代数式的值恒等于右边代数式的值，像这样的式子，叫做代数恒等式。（板书：代数恒等式）师：刚才的这些等式是怎样建立的呢？生：用不同的方法表示同一图形的面积。师：这节课我们就来研究一下面积与代数恒等式之间有何关系？（板书：面积与）二、由形到数的探究 1、思考：仔细观察拼图过程，由图形可得出怎样的代数恒等式？师：请同学们仔细观察，如何表示红色部分的面积？为什么？生：红色部分面积可以表示为（），红色部分可以看作是边长为的正方形被一个长为，宽为的长方形覆盖后剩下的部分；生：红色部分面积还可以表示为，红色部分可以看作是一个长为，宽为的长方形。师：可以得到一个代数恒等式，等号左边是一个单项式乘多项式，它表示长为，宽为的长方形的面积，即为的几何意义。2、再思考：再给上图加一个同样大小的长方形放在它的右侧，红色部分面积如何表示？师：请大家再思考一下给上图加一个同样大小的长方形，红色部分面积又该如何表示呢？生：面积可以表示为，它可以看作是上图又加了一个长为，宽为的长方形；生：还可以表示为，也可以看作是长为，宽为的长方形被长为，宽为的长方形覆盖后剩下的部分；师：这位同学解释得非常正确，给他点个赞。那么又可以得到一个代数恒等式。板书：3、再思考，如果右下角被一个边长为的小正方形覆盖，这时红色部分面积又该如何表示呢？ 平方差公式：师：请大家仔细观察，这时红色部分面积该如何表示呢？生：红色部分面积可以看作是刚才图形的面积减去一个边长为的小正方形的面积，表示为或者表示为生：红色部分面积还可以看作是一个长为，宽为的长方形的面积，表示为师：请大家把刚才的两个代数式化简，你有何发现？生：、化简后都是师：是我们之前学过的哪个乘法公式？（板书：）活动二：4、拼一拼：请同学们按要求拼图。师：请同学们仔细阅读要求，以小组为单位进行拼图，并说明构图经验。5、学生展示拼图，及所对应的代数恒等式。生：代数恒等式为，这个图形是由两个边长为的正方形和两个长为，宽为的长方形组成的一个长为，宽为的大长方形。生：6、归纳：利用同一图形面积的不同表示方法，可得出代数恒等式。面积板书：形 数三、由数到形的探究1、已知代数恒等式，能否设计相应图形来验证其正确性？代数恒等式 (1) (2) (3)活动三：2、请你试一试，先完成前两个代数恒等式，并展示交流。 (1) 生：第一个代数恒等式的图形，先看等号的右边为，因此需要准备四个长为，宽为的长方形，然后根据等号的左边单项式乘单项式的几何意义，表示长为，宽为的长方形面积。(2)生：由等号右边可以先准备出两个边长为的正方形，一个边长为的正方形和3个长为，宽为的长方形；再根据等号左边多项式乘多项式的几何意义，表示为长为，宽为的长方形的面积。3、设计第三个代数恒等式的图形，并展示交流。(3)生：先根据等号右边准备两个边长为的正方形，3个长为，宽为的长方形，两个边长为的正方形，再根据等号左边多项式乘多项式的几何意义拼图。师：如何达到减的效果呢？生：可以采用覆盖的办法。归纳：根据代数恒等式的特点，能得出相应的图形，并能说明其正确性。几何意义板书：形 数四、谈收获：请谈一下你学到了什么？1、利用同一图形面积的不同表示方法得出代数恒等式；2、根据代数恒等式的几何意义，设计相应图形来验证其正确性；3、体会数形结合思想的美妙之处。五、课堂检测如图，请同学们利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式。baba师：列出代数恒等式的同学，请举手示意。（师巡视，并请列出来的同学把自己的结果板书到黑板上。）师：请同学说一下自己所列恒等式的解释。生：大正方形的边长可以看作，面积为；小正方形的边长可以看作，面积为；黄色部分面积为。师：是如何得来的？（播放课件）生：大正方形面积减去小正方形的面积，可以看作一个长为，宽为的长方形的面积。师：这个代数恒等式能否用乘法公式进行验证？（生口答，师板书证明过程） 左边= 右边= 左边=右边六、拓展延伸请你用四个全等的直角三角形（两直角边不相等），拼成一个正方形。abaaabbbccccabacba（学生按要求试一试，以小组为单位活动）师：提示大家一下，联系刚才的图形，看是否能拼出来。师巡视，发现部分小组拼出来的图形，有重叠的部分；如果拼出来的有重叠部分，那么请试一试，没有重叠部分的话，该如何拼呢？请拼好的小组到黑板上进行展示。师：拼好的图形又可以得到怎样的代数恒等式？课下请同学们试一试。对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边