全国高中数学竞赛二试模拟训练题(34)(1).doc

加试模拟训练题（34）1、 双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形，证明对这样的四边形，两个圆心与对角线交点共线2、 已知,且,求证: 3、 有17位科学家，其中每一人和其他所有人通信，他们通信中只讨论三个题目，且每两个科学家之间只讨论一个题目求证：至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目4求不定方程(x+y)(y+z) (z+x)+(x+y+z)3=1xyz的所有整数解。加试模拟训练题（34）1、 双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形，证明对这样的四边形，两个圆心与对角线交点共线【题说】 第三十届(1989年)imo预选题14本题由印度提供【证】 设四边形abcd为双心四边形，其外接圆圆心为o，内切圆圆心为i，对角线交点为k，不难推出下列三个引理：(1)对圆外切四边形abcd，设切点为p、q、r、s，则pr、qs的交点就是对角线ac，bd的交点k(2)若k为i内一定点，则对k点张直角的弦ef的中点的轨迹是一个圆，圆心为ik的中点m(3)在(1)中若四边形abcd有外接圆，则prqs由(3)，pq、qr、rs、sp对k点张直角，因而它们的中点a、b、c、d均在以ik的中点m为圆心的圆上由于ia与pq相交于a，所以a就是以i为反演中心，i为反演圆时，a经反演所得的像，同样b、c、d分别为b、c、d的像，因此o经过反演成为abcd的外接圆，从而o与这圆的圆心m，反演中心i共线，所以o在直线im上，即o、m、k共线，从而问题得证 2、 已知,且,求证: 分析与证明:为书写简便,首先令;则原不等式可化为:结合条件知只需证齐次不等式:.因为=.所以原不等式得证.3、 有17位科学家，其中每一人和其他所有人通信，他们通信中只讨论三个题目，且每两个科学家之间只讨论一个题目求证：至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目【题说】 第六届(1964年)国际数学奥林匹克题4本题由匈牙利提供【证】 将科学家对应于点，两科学家之间讨论的题目对应两点连线的颜色，原题转化为：17个点两两连边，边用红、蓝、白之一染色，每边一色证明必存在同色三角形a1点引出的16条边，根据抽屉原则，其中至少有六条同色不妨设六条边同为红色，另一端点分别为a2，a3，a4再考虑这六个点两两连线的颜色，如果其中有一条为红色，则存在红色三角形；如果其中任一边都不是红色，那么只能是蓝、白两色于是由a2引出的a2a3，a2a7、五条边至少有三条同色不妨设a2a3，a2a4，a2a5同为蓝色，考虑a3a4a5的三边，若有一边为蓝，则存在蓝色三角形；若任一边都是白色，则a3a4a5为白色三角形，命题成立4求不定方程(x+y)(y+z) (z+x)+(x+y+z)3=1xyz的所有整数解。解：作代换，设x+y=u，y+z=v，z+x=w，则方程变形为：4uvw+(u+v+w)3=8(uv+w)(u+vw)(u+v+w)，即4(u2v+v2w+w2u+uv2+vw2+wu2)+8uvw=8，即u2v+v2w+w2u+uv2+vw2+wu2+2uvw=2。故(u+v)(v+w)(w+u)=2.于是：（u+v，v+w，w+u）=（1，1，2），（1，1，2），（2，1，1）及对称的情形，分别求解得：（u，v，w）=（1，0，1），（1，2，1），（1，0，2），故（x，y，z）=(1，0，0)，(2，1，1)。故整数