（江苏专用）高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第43课 数列的综合应用 文.doc

第43课 数列的综合应用(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5p38练习4改编)已知一个直角三角形的三边的长组成等差数列，其中最小边长为3，那么该直角三角形的斜边长为.【答案】5【解析】设另一直角边长为b，斜边长为c，则3+c=2b，又32+b2=c2，解得c=5.2.(必修5p39习题8改编)已知x0，y0，x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，那么的最小值是.【答案】4【解析】因为a1+a2=x+y，b1b2=xy，所以=+22+2=4，当且仅当x=y时取“=”.3.(必修5p48习题13改编)如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第n行(n2)第2个数是.(第3题)【答案】【解析】设第n行的第2个数为an，不难得出规律，a3-a2=2，a4-a3=3，an-an-1=n-1，累加得an=.4.(必修5p44例4改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有个座位.【答案】8205.(必修5p55例5改编)某人为了购买商品房，从2001年起，每年1月1日到银行存入a元一年期定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款，到2009年1月1日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取人民币为元.【答案】【解析】由题知，到2009年1月1日可取回钱总数为a(1+p)8+a(1+p)7+a(1+p)=.1.数列可以与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、解析几何等组成综合问题，灵活地运用等差、等比数列的知识分析问题、解决问题是关键.2.解答有关数列的实际应用问题，通常可分为三步：(1)根据题意建立数列模型；(2)运用数列知识求解数列模型；(3)检验结果是否符合题意，给出问题的答案.【要点导学】要点导学各个击破子数列问题例1已知在等差数列an中，a2=5，前10项和s10=120，若从数列an中依次取出第2项、第4项、第8项、第2n项，按原顺序组成新数列bn，求数列bn的前n项和tn.【解答】设an的公差为d ，则所以an=3+(n-1)2=2n+1，bn=22n+1.所以tn=n+2(21+22+2n)=n+2=2n+2+n-4.变式已知an为等差数列，公差d0，an中的部分项组成的数列，恰为等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求kn.【解答】由题设知，即为a1，a5，a17，成等比数列，则(a1+4d)2=a1(a1+16d)，因为d0，所以a1=2d.公比q=3，所以=a1qn-1=a13n-1，又=a1+(kn-1)d=a1+(kn-1)，所以a1+(kn-1)=a13n-1，因为a10，所以kn=23n-1-1.数列与函数、不等式等综合问题例2设不等式组所表示的平面区域为dn，记dn内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为f(n)(nn*).(1)求f(1)，f(2)的值及f(n)的表达式.(2)设sn为数列bn的前n项的和，其中bn=2f(n)，是否存在正整数n，t，使得成立?若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由.【思维引导】(1)直接把n=1，2代入即可求出f(1)，f(2)的值；再把x=1，x=2代入综合求出f(n)的表达式.(2)先利用bn=2f(n)求出数列bn的通项公式，进而求出sn；把sn代入，化简得1求出其对应的n即可说明结论.【解答】(1)f(1)=3，f(2)=6.当x=1时，y取值为1，2，3，2n，共有2n个格点；当x=2时，y取值为1，2，3，n，共有n个格点.所以f(n)=n+2n=3n.(2)因为bn=2f(n)=23n=8n，所以sn=(8n-1).将sn代入，化简得，若t=1，即1，式化简为8n，不可能成立.综上，存在正整数n=1，t=1使得成立.【精要点评】本题综合考查了数列、不等式表示的平面区域、不等式恒成立问题等知识.在解题时，要时刻注意n的整数特征.变式已知数列an，bn满足a1=，an+bn=1，bn+1=.(1)求b1，b2，b3，b4；(2)求数列bn的通项公式；(3)设sn=a1a2+a2a3+a3a4+anan+1，求当4asnbn恒成立时实数a的取值范围.【解答】(1)由题设得bn+1=，因为a1=，b1=，所以b2=，b3=，b4=.(2)因为bn+1-1=-1，所以=-1+，所以数列是以-4为首项、-1为公差的等差数列.所以=-4-(n-1)=-n-3，所以bn=1-=.(3)an=1-bn=，所以sn=a1a2+a2a3+anan+1=+=-=，所以4asn-bn=-=.当(a-1)n2+3(a-2)n-80恒成立即可满足题意，设f(n)=(a-1)n2+3(a-2)n-8.当a=1时，f(n)=-3n-81时，由二次函数的性质知不可能恒成立；当a1时，对称轴方程为-=-0.因为f(n)在1，+)上为单调减函数，f(1)=(a-1)+(3a-6)-8=4a-150，所以a，所以a1时，4asn80，a9=760的等差数列an的四个命题：数列an是递增数列；数列nan是递增数列；数列是递增数列；数列an+3nd是递增数列.其中真命题为.(填序号)4.设等差数列an的前n项和为sn，若=a1+a200，且a，b，c三点共线(该直线不过原点o)，则s200=.5.(2014江苏模拟)将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第k行有k个奇数)，其中第i行第j个数表示为aij (i，jn*)，例如a42=15.若aij=2 017，则i-j=. 1 35 791113151719 (第5题)6.若数列an满足a1=2，an=(n=2，3，4，)，且有一个形如an=sin(n+)+的通项公式，其中，均为实数，且0，|，则=，=.7.在各项均为正数的等比数列an中，若a11，a22，a33，则a4的取值范围是.8.已知数列an的通项为an=7n+2，数列bn的通项为bn=n2.若将数列an，bn中相同的项按从小到大的顺序排列后记作数列cn，则c9的值为.二、 解答题 9.(2014南京、盐城一模)设等差数列an的前n项和为sn，已知a1=2，s6=22.(1)求sn；(2)若从an中抽取一个公比为q的等比数列，其中k1=1，且k1k2kn，knn*，当q取最小值时，求kn的通项公式.10.(2014江西九校联考)已知数列an满足a1=2，对一切正整数n，都有an+1+an=32n.(1)探讨数列an是否为等比数列，并说明理由；(2)设bn=，求证：b1+b2+bn0，显然an为递增数列，故正确；因为(n+1)an+1-nan=a1+2nd不一定大于0，所以错误；同知错误；因为数列3nd也是递增数列，故an+3nd是递增数列，所以正确.4. 100【解析】依题意知a1+a200=1，s200=200=100.5.26【解析】前k行共有奇数1+2+3+k=个，所以第k行的最后一个数为2-1=k2+k-1，第k+1行的第一个数为k(k+1)+1.当k+1=45时，k(k+1)+1=4445+1=1 981，即第45行的第一个数为1 981.因为=18，所以2 017是第45行的第19个数，即i=45，j=19，所以i-j=45-19=26.6.0【解析】由题意得a2=-1，a3=，a4=2=a1，所以数列an是周期为3的周期数列.又因为an=sin(n+)+是该数列的一个通项公式，所以t=3=，当n=1时，a1=sin+=2sin=，又|1.若k2=2，则由a2=，得q=，此时=2=，由=(n+2)，解得n=n*，所以k22.同理，k23.若k2=4，则由a4=4，得q=2，此时=22n-1，因为=(kn+2)，所以(kn+2)=2n，即kn=32n-1-2.所以最小的公比q=2，此时kn=32n-1-2.10.(1) 假设an是等比数列，由a1+a2=6，得a2=4，所以an=2n.此时an+1+an=2n+1+2n=32n，满足题意.所以an可以为等比数列.(2)由(1)知bn=1+.因为=2-，所以bn1+4-，所以b1+b2+bnn+4=n+4-n+4.11.(1) 当n=2时，4s4+5s2=8s3+s1，即4+5=8+1，解得a4=.(2) 因为4sn+2+5sn=8sn+1+sn-1(n2)，所以4sn+2-4sn+1+sn-sn-1=4sn+1-4sn(n2)，即4an+2+an=4an+1(n2)，因为4a3+a1=4+1=6=4a2，所以4an+2+an=4an+1.因为=，所以数列是以a2-a1=1为首项、为公比的等比数列。(3) 由(2)知，数列是以a2-a1=1为首项、为公比的等比数列，所以an+1-an=.即-=4，所以数列是以=2为首项、4为公差的等差数列，所以=2+(n-1)4=4n-2，即an=(4n-2)=(2n-1)，所以数列an的通项公式为an=(2n-1).12. (1