【创新设计】高考数学一轮复习 第八章 直线的倾斜角与斜率直线的方程训练 理 新人教A版.doc

【创新设计】2014高考数学一轮复习 第八章 直线的倾斜角与斜率直线的方程训练 理 新人教a版备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如2012年浙江t3等3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主(2)主要是涉及直线方程和斜率.归纳知识整合1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角一个前提：直线l与x轴相交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0.倾斜角的取值范围为0，)(2)直线的斜率定义：若直线的倾斜角不是90，则斜率ktan_.计算公式：若由a(x1，y1)，b(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k.探究1.直线的倾角越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确由ktan 知，当 时，越大，斜率越大且为正；当时，越大，斜率也越大且为负但综合起来说是错误的2两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系探究2.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为1，这句话正确吗？提示：不正确，当一条直线与x轴平行，另一条与y轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在3直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式斜率k与截距bykxb不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式截距a与b1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式axbyc0(a2b20)平面直角坐标系内的直线都适用探究3.过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？提示：当x1x2，或y1y2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示自测牛刀小试1(教材习题改编)若直线x2的倾斜角为，则()a等于0b等于c等于 d不存在解析：选c因为直线x2垂直于x轴，故其倾斜角为.2(教材习题改编)过点m(2，m)，n(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()a1 b4c1或3 d1或4解析：选a由题意知，1，解得m1.3过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为()axy30 bxy30cxy30 dxy30解析：选b直线斜率为1，其方程为yx3，即xy30.4直线l的倾斜角为30，若直线l1l，则直线l1的斜率k1_；若直线l2l，则直线l2的斜率k2_.解析：l1l2，kl1tan 30.l2l，kl2.答案：5已知a(3,5)，b(4,7)，c(1，x)三点共线，则x等于_解析：因为kab2，kac.a，b，c三点共线，所以kabkac，即2，解得x3.答案：3直线的倾斜角和斜率例1(1)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()a0，)b.c. d.(2)已知两点a(m，n)，b(n，m)(mn)，则直线ab的倾斜角为_；(3)直线l过点p(1,0)，且与以a(2,1)，b(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为_自主解答(1)设直线的倾斜角为，则有tan sin ，其中sin 1,1又0，)，所以0 或 0，b0)则有1，且ab12.解得a6，b4.所以所求直线l的方程为1，即2x3y120.法二：设直线l的方程为y2k(x3)(k0；令y0，得x30.所以soab(23k)12，解得k，故所求直线方程为y2(x3)，即2x3y120.答案(1)d(2)2x3y120求直线方程的常用方法(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程5abc的三个顶点为a(3,0)，b(2,1)，c(2,3)，求：(1)bc所在直线的方程；(2)bc边上中线ad所在直线的方程；(3)bc边的垂直平分线de的方程解：(1)因为直线bc经过b(2,1)和c(2,3)两点，由两点式得bc的方程为，即x2y40.(2)设bc中点d的坐标(x，y)，则x0，y2.bc边的中线ad过点a(3,0)，d(0,2)两点，由截距式得ad所在直线方程为1，即2x3y60.(3)bc的斜率k1，则bc的垂直平分线de的斜率k22，由点斜式得直线de的方程为y22(x0)，即2xy20.1个关系直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率(2)直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：009090900不存在k03个注意点与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论. 易误警示有关直线方程中“极端”情况的易误点典例(2013常州模拟)过点p(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为_解析当截距不为0时，设所求直线方程为1，即xya0.点p(2,3)在直线l上，23a0，a1，所求直线l的方程为xy10.当截距为0时，设所求直线方程为ykx，则有32k，即k，此时直线l的方程为yx，即3x2y0.综上，直线l的方程为xy10或3x2y0.答案xy10或3x2y01因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x2y0而致错，所以可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解2在选用直线方程时，常易忽视的情况还有：(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为_解析：当m2时，直线l的方程为x2；当m2时，直线l的方程为，即2x(m2)ym60.因为m2时，方程2x(m2)ym60，即为x2，所以直线l的方程为2x(m2)ym60.答案：2x(m2)ym60一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2013秦皇岛模拟)直线xy10的倾斜角是()a.b.c. d.解析：选d由直线的方程得直线的斜率为k，设倾斜角为，则tan ，所以.2已知点a(1，2)，b(m,2)，且线段ab垂直平分线的方程是x2y20，则实数m的值是()a2 b7c3 d1解析：选c由已知kab2，即2，解得m3.3若直线经过点(1,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线共有()a4条 b3条c2条 d1条解析：选b作图易得在第一、二、四象限各能围成一个4(2013银川模拟)已知直线l1：xay60和l2：(a2)x3y2a0，则l1l2的充要条件是a等于()a3 b1c1 d3或1解析：选c由题意知，l1l2，即a1.5直线2xmy13m0，当m变化时，所有直线都过定点()a. b.c. d.解析：选d原方程可化为(2x1)m(y3)0，令解得x，y3，故所有直线都过定点.6设a，b，c分别是abc中角a，b，c所对边的边长，则直线xsin aayc0与直线bxysin bsin c0的位置关系是()a平行 b重合c垂直 d相交但不垂直解析：选c由已知得a0，sin b0，所以两条直线的斜率分别为k1，k2，由正弦定理得k1k21，所以两条直线垂直二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_解析：当时，ktan ；当时，ktan ，0)综上k，0).答案：，0)8已知直线xky10与直线ykx1平行，则k的值为_解析：若两直线平行，则k，解得k1.答案：19(2013皖南八校联考)已知直线a2xy20与直线bx(a21)y10互相垂直，则|ab|的最小值为_解析：两直线互相垂直，a2b(a21)0且a0，a2ba21，aba，|ab|a|2(当且仅当a1时取等号)答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10设直线l的方程为xmy2m60，根据下列条件分别确定m的值：(1)直线l的斜率为1；(2)直线l在x轴上的截距为3.解：(1)因为直线l的斜率存在，所以m0，于是直线l的方程可化为yx.由题意得1，解得m1.(2)法一：令y0，得x2m6.由题意得2m63，解得m.法二：直线l的方程可化为xmy2m6.由题意得2m63，解得m.11已知两点a(1,2)，b(m,3)(1)求直线ab的方程；(2)已知实数m，求直线ab的倾斜角的取值范围解：(1)当m1时，直线ab的方程为x1，当m1时，直线ab的方程为y2(x1)(2)当m1时，.当m1时，m1，即k(， ，所以.综合知，直线ab的倾斜角的取值范围为.12如图，射线oa，ob分别与x轴正半轴成45和30角，过点p(1,0)作直线ab分别交oa，ob于a，b两点，当ab的中点c恰好落在直线yx上时，求直线ab的方程解：由题意可得koatan 451，kobtan(18030)，所以直线loa：yx，lob：yx.设a(m，m)，b(n，n)，所以ab的中点c，由点c在yx上，且a，p，b三点共线得解得m，所以a(， )又p(1,0)，所以kabkap.所以lab：y(x1)，即直线ab的方程为(3)x2y30.1直线l过点(1,2)且与直线3y2x1垂直，则l的方程是()a3x2y10b3x2y70c2x3y50 d2x3y80解析：选a法一：设所求直线l的方程为3x2yc0，则3(1)22c0，得c1，即l的方程为3x2y10.法二：由题意知，l的斜率是k，则直线l的方程为y2(x1)，即3x2y10.2直线l经过点a(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是()a1k1或k或k或k1解析：选d设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，令y0，得直线l在x轴上的截距为1，则31或k0，b0)，则直线l的方程为1，l过点p(3,2)，1，b.从而saboaba.故有sabo(a3)62 612，当且仅当a3，即a6时，(sabo)min12，此时b4.故所求直线l的方程为1，即2x3y120.法二：设直线方程为1(a0，b0)，代入p(3,2)，得12 ，得ab24，从而saobab12，当且仅当时，等号成立，此时k，故所求直线l的方程为2x3y120.法三：依题意知，直线l的斜率存在设直线l的方程为y2k(x3)(k0)，则有a，b(0,23k)，则saob(23k)(1212)12，当且仅当9k，即k时，等号成立故所求直线l的方程为2x3y120.法四：如右图所示，过p分别作x轴，y轴的垂线pm，pn，垂足分别为m，n.设pambpn，则saobspbns四边形npmospma33tan 6226tan 62 12，当且仅当tan ，即tan 时，saob12，此时直线l的斜率为，其方程为2x3y120. 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出现在相关的位置关系中2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与圆或圆锥曲线的问题中来考查.归纳知识整合1两条直线的交点设两条直线的方程为l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，则两条直线的交点坐标就是方程组的解，(1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立探究1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合2距离点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)之间的距离|p1p2| 点p0(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离d两条平行线axbyc10与axbyc20间的距离d探究2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等自测牛刀小试1(教材习题改编)原点到直线x2y50的距离是()a1b.c2 d.解析：选dd.2点a在x轴上，点b在y轴上，线段ab的中点m的坐标是(3,4)，则ab的长为()a10 b5c8 d6解析：选a设a(a,0)，b(0，b)，则a6，b8，即a(6,0)，b(0,8)所以|ab|10.3若三条直线2x3y80，xy10和xby0相交于一点，则b()a1 bc2 d.解析：选b由得将其代入xby0，得b.4已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_解析：设直线l1的方程为xy0，则，解得1或3.即直线l1的方程为xy10或xy30.答案：xy10或xy305点(2,3)关于直线xy10的对称点是_解析：设对称点为(a，b)，则解得答案：(4，3)两条直线的交点问题例1(1)经过直线l1：xy10与直线l2：xy30的交点p，且与直线l3：2xy20垂直的直线l的方程是_(2)已知两直线l1：mx8yn0与l2：2xmy10，若l1与l2相交，则实数m，n满足的条件是_自主解答(1)法一：由方程组解得即点p(2,1)，l3l，k，直线l的方程为y1(x2)，即x2y0.法二：直线l过直线l1和l2的交点，可设直线l的方程为xy1(xy3)0，即(1)x(1)y130.l与l3垂直，2(1)(1)0，解得.直线l的方程为xy0，即x2y0.(2)因为两直线l1与l2相交，所以当m0时，l1的方程为y，l2的方程为x，两直线相交，此时m，n满足条件m0，nr；当m0时，由两直线相交所以，解得m4，此时，m，n满足条件m4，nr.答案(1)x2y0(2)m4，nr若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l的方程解：由方程组解得 即点p(2，1)又ll3，即k2，故直线l的方程为y12(x2)，即2xy50.经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线a1xb1yc10和a2xb2yc20的交点的直线系方程为a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(这个直线系方程中不包括直线a2xb2yc20)或m(a1xb1yc1)n(a2xb2yc2)0.1设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上证明：(1)反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，则有k1k2，代入k1k220得kk2，显然不成立，与已知矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(2)由方程组解得交点p的坐标为，而2x2y22221，即交点p(x，y)在椭圆2x2y21上距离公式的应用例2已知点p(2，1)(1)求过p点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过p点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过p点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由自主解答(1)过p点的直线l与原点距离为2，而p点坐标为(2，1)，可见，过p(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过p点与原点o的距离最大的直线是过p点且与po垂直的直线，如图由lop，得klkop1，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.即直线2xy50是过p点且与原点o距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过p点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过p点且到原点距离为6的直线求两条平行线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)利用两平行线间的距离公式2已知a(4，3)，b(2，1)和直线l：4x3y20，在坐标平面内求一点p，使|pa|pb|，且点p到直线l的距离为2.解：设点p的坐标为(a，b)a(4，3)，b(2，1)，线段ab的中点m的坐标为(3，2)而ab的斜率kab1，线段ab的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点p(a，b)在上述直线上，ab50.又点p(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联立可得或所求点p的坐标为(1，4)或.对 称 问 题例3已知直线l：2x3y10，点a(1，2)求：(1)点a关于直线l的对称点a的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程自主解答(1)设a(x，y)，再由已知解得故a.(2)在直线m上取一点，如m(2,0)，则m(2,0)关于直线l的对称点m必在直线m上设对称点m(a，b)，则得m.设直线m与直线l的交点为n，则由得n(4,3)又m经过点n(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.求点关于直线对称问题的基本方法(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直；(2)已知点与对称点的中点在对称轴上利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题3直线y2x是abc的一个内角平分线所在的直线，若点a(4,2)，b(3,1)，求点c的坐标解：把a，b两点的坐标代入y2x知，a，b不在直线y2x上，因此y2x为acb的平分线，设点a(4,2)关于y2x的对称点为a(a，b)，则kaa，线段aa的中点坐标为，解得a(4，2)y2x是acb平分线所在直线的方程，a在直线bc上，直线bc的方程为，即3xy100.由解得c(2,4)1条规律与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线axbyc0(a2b20)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：bxaym0；(2)平行：axbyn0.1种思想转化思想在对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决2个注意点判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；(2)运用两平行直线间的距离公式d的前提是将两方程中的x，y的系数化为分别相等. 创新交汇新定义下的直线方程问题1直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中2解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中典例(2013上海模拟)在平面直角坐标系中，设点p(x，y)，定义op|x|y|，其中o为坐标原点对于以下结论：符合op1的点p的轨迹围成的图形的面积为2；设p为直线x2y20上任意一点，则op的最小值为1；其中正确的结论有_(填上你认为正确的所有结论的序号)解析由op1，根据新定义得，|x|y|1，上式可化为yx1(0x1)，yx1(1x0)，yx1(1x0)，yx1(0x1)，画出图象如图所示根据图形得到四边形abcd为边长是的正方形，所以面积等于2，故正确；当点p为时，op|x|y|01，所以op的最小值不为1，故错误；所以正确结论有.答案1本题有以下创新点(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新(2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同2解决本题的关键有以下两点(1)根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到op的最小值为1是假命题3在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点(1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何四边形oabc的四个顶点坐标分别为o(0,0)，a(6,2)，b(4,6)，c(2,6)，直线ykx把四边形oabc分成两部分，s表示靠近x轴一侧那部分的面积(1)求sf(k)的函数表达式；(2)当k为何值时，直线ykx将四边形oabc分为面积相等的两部分解：(1)如图所示，由题意得kob.当k时，直线ykx与线段ab：2xy14相交，由解得交点为p1.因为点p1到直线oa：x3y0的距离为d，所以s|oa|d；当k4或m4 b4m3或m3 d3m4或m0；圆心坐标，半径r.探究1.方程x2y2dxeyf0一定表示圆吗？提示：不一定只有当d2e24f0时，上述方程才表示圆2如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示：3点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三个结论圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点m(x0，y0)(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外；(x0a)2(y0b)2r2点在圆内自测牛刀小试1(教材习题改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标是()a(2,3)b(2,3)c(2，3) d(2，3)解析：选d圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)2已知方程x2y22kx4y3k80表示一个圆，则实数k的取值范围是()a1k4 b4k1ck1 dk4解析：选d由(2k)2424(3k8)4(k23k4)0，解得k4.3若点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，则a的取值范围是()a1a1 b0a1c