数列求和习题精选精.doc

数列求和习题精选精讲一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 例1 已知，求的前n项和.例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：例4 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. 例6 求的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例7 求数列的前n项和：，例8 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）例9 求数列的前n项和.例10 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.例11 求证： 计算： 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例12 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.例13 数列an：，求S2002.例14 在各项均为正数的等比数列中，若的值。七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. 例15 求之和.解：由于 例16 已知数列an：的值.数列通项的求法【知识点精讲】求数列的通项方法1、 由等差，等比定义，写出通项公式2、 利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代3、一阶递推,我们通常将其化为看成bn的等比数列4、利用换元思想5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明6、对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题【例题选讲】例1、设an的首项为1的正项数列，且求它的通项公式。解：由题意a1=1 , an0,(n=1,2,3,.) 变式：已知数列an,a1=2,an+1=an+3n+2,求an,解：an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+.+（a2-a1）+a1点评根据数列递推公式，利用迭加（an-an-1=f(n)）、迭乘（an/an-1=f(n)）、迭代例2、已知数列an，a1=1,an+1=解法一：由(1)-(2)得： 设 法二：设设，法三： 点评注意数列解题中的换元思想,如对数列递推式,我们通常将其化为看成bn的等比数列练习:(1):数列an中,a1=1,2an=解方法同上:(2) 数列an中,a1=1,解:原式化为,利用换元思想。利用上法得例3、（猜证）已知数列an满足a1=1,（1）求a2,a3 ,a4 (2)证明：解：（1）a24a313 a4=40（2）a1 ,a2,a3 ,a4由前可知，成立假设n=k时也成立，即n=k+1时, 也成立综上，练习：设正数数列an前n项和Sn，存在正数t，使得对所有自然数n，有则通过归纳猜想得到Sn并证明？ 解：n=1时，得a1=t，n=2时，得a2=3t，n=3时，得a2=5t,猜测an=(2n-1)t证明：n=1,2,3时,已经成立假设n=k时也成立，即ak=(2k-1)t,则Skk2tn=k+1时，也成立综上，an=(2n-1)t , Sn= n2t点评用数学归纳法，由n=k证明n=k+1成立时，从递推式入手例4、设数列an的首项为1，前n项和为Sn，满足关系（1） 求证：数列an是等比数列；（2） 设数列an的公比为f(t)，作数列bn,使b1=1,bn= (n=2,3,4,.) 求bn的通项公式解L(1)由又 得证(2)点评对an与Sn进行熟练转化解题练习:设数列an为正项数列,若对任意正整数n, an与2得 等差中项等于其前n项和Sn与2的等比中项, 求an的通项公式解:备用补充：求下列数列（1）（2）（3）答案【课堂小结】求数列的通项方法1.由等差，等比定义，写出通项公式2.利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/